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1. 理解空间直线、平面位置关系的定义 . 2. 了解可以作为推理依据的公理和定理 . 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空 间图形的位置关系的简单命题 .

1. 理解空间直线、平面位置关系的定义 . 2. 了解可以作为推理依据的公理和定理 . 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空 间图形的位置关系的简单命题. 1. 平面的基本性质. 2. 直线与直线的位置关系. 平行于同一条直线的两条直线平行. (2) 平行公理：. [ 思考探究 ]. 　垂直于同一直线的两条直线有怎样的位置关系？. 提示： 可能平行、相交或异面. (3). 3. 直线和平面的位置关系. 4. 平面与平面的位置关系. 1. 用符号表示 “ 点 A 在直线 l 上， l 在平面 α 外 ” ，正确的是 ( )

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1. 理解空间直线、平面位置关系的定义 . 2. 了解可以作为推理依据的公理和定理 . 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空 间图形的位置关系的简单命题 .

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Presentation Transcript

  1. 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空 间图形的位置关系的简单命题.

  2. 1.平面的基本性质

  3. 2.直线与直线的位置关系 平行于同一条直线的两条直线平行 (2)平行公理：

  4. [思考探究] 　垂直于同一直线的两条直线有怎样的位置关系？ 提示：可能平行、相交或异面.

  5. (3)

  6. 3.直线和平面的位置关系

  7. 4.平面与平面的位置关系

  8. 1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是 () A.A∈l，l ∉αB.A∈l，l ⊄α C.Al，l ⊄α D.Al，l ∉α 解析：本小题考查立体几何中的符号语言. 答案：B

  9. 2.已知a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b () A.一定是异面直线B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 解析：c与b不可能是平行直线，否则c∥b，又c∥a， 则有a∥b，与a，b异面矛盾. 答案：C

  10. 3.直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线 的平面的个数为 () A.1 B.3 C.6 D.0 解析：如图所示，可知确定3个平面. 答案：B

  11. 4.若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α 的关系是. 解析：当这两点在α的同侧时，l与α平行； 当这两点在α的异侧时，l与α相交. 答案：平行或相交

  12. 5.(文)如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且 是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是 .

  13. 解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交.解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交. 答案：③

  14. (理)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是.(理)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是.

  15. 解析：如图所示，取CC1的中点N， 连结MN，DN，则MN AD， ∴四边形AMND为平行四边形， ∴AM DN，∴∠B1DN即为异面直线所成角. 连结B1N，设正方体棱长为a，则B1D＝ a，DN＝ a， B1N＝ a，∴cos∠B1DN＝ ＝ . 答案：

  16. 1.公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个 平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 这三个推论可以作为证明共面问题的理论依据.

  17. 2.证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况，其 常用方法如下： (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内. (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再 证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合.

  18. 如图，四边形ABEF和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC AD，BE FA， G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

  19. [思路点拨] (2)方法一：证明D点在EF、CH确定的平面内. 方法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交.

  20. [课堂笔记](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得[课堂笔记](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得 GH AD. 又BC AD，∴GH BC， ∴四边形BCHG是平行四边形.

  21. (2)法一：由BE AF，G为FA中点知BE GF， ∴四边形BEFG为平行四边形， ∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH， ∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面.

  22. 法二：如图，延长FE、DC分别 与AB交于点M，M′， ∵BE AF，∴B为MA的中点， ∵BC AD，∴B为M′A的中点， ∴M与M′重合，即EF与CD相交 于点M(M′)， ∴C、D、E、F四点共面.

  23. 1.证明共线问题的理论依据 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过这个点的公共直线. 2.证明共线问题的常用方法 (1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；

  24. (2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交 两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个 适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的 公共点.

  25. 如图，在四面体ABCD中作截 面PQR，PQ、CB的延长线交于M， RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的 延长线交于K. 求证：M、N、K三点共线.

  26. [思路点拨]

  27. [课堂笔记]⇒M、 N、K在平面BCD与平面PQR的交线上，即M、N、K三点共线.

  28. 在四面体ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、AD、BC、 CD上的点，且EF∩GH＝P， 求证：B、D、P三点共线.

  29. 证明：∵E∈AB，F∈AD， ∴EF⊂平面ABD， 同理，GH⊂平面BCD，又EF∩GH＝P， ∴P∈平面ABD，P∈平面BCD， 而平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈直线BD，即B、D、P三点共线.

  30. 1.异面直线的判断方法 (1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内. (2)反证法：反证法是证面异面直线的常用方法. 定义法仅仅用来直观判断，直观判断还可用以下结论： 过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过 该点的直线是异面直线.

  31. 2.(理)异面直线所成角 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法 一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用 特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. (2)求异面直线所成角的步骤： ①作：通过作平行线，得到相交直线； ②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角； ③求：通过解三角形，求出该角.

  32. (2009·辽宁高考改编)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一个平面内，M、N分别为AB、DF的中点. (1)(文)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长； (1)(理)若平面ABCD⊥平面DCEF，求异面直线MN与AF所成的角； (2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线.

  33. [思路点拨]

  34. [课堂笔记](1)(文)取CD的中点G，连结MG，NG， 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2， 所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ . 因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF. 可得MG⊥NG， 所以MN＝ ＝ .

  35. (1)(理)如图，取EF的中点G， 连结MG， 则GF CD，又MA CD， ∴GF MA. ∴四边形MAFG为平行四边形， ∴MG AF. ∴∠GMN即为异面直线MN与AF所成的角. 连结AN，NG，设正方形棱长为a，

  36. 则有MG＝ a，NG＝ a，MN＝ ＝ a， 在△MNG中， cos∠GMN＝ ＝ ＝ ， ∴∠GMN＝30°， 此即为异面直线MN与AF所成的角.

  37. (2)证明：假设直线ME与BN共面， 则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN. 由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF. 又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF. 而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以AB∥EN. 又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF， 这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立. 所以ME与BN不共面，它们是异面直线.

  38. (文)空间两直线位置关系的判定，特别是两直线异面与共面的判定是高考对本节内容的考查热点，2009年湖南高考考查了共面直线的判定问题，是较典型的代表.(文)空间两直线位置关系的判定，特别是两直线异面与共面的判定是高考对本节内容的考查热点，2009年湖南高考考查了共面直线的判定问题，是较典型的代表.

  39. (理)通过将直线平移将异面直线所成的角(空间角)转化为平面角，进而通过解三角形求角来刻画空间两直线的位置关系，是高考的一个常考知识点.2009年上海高考以正四棱柱为载体，考查了异面直线所成的角，代表着此类问题考查的方向.

  40. [考题印证] (文)(2009·湖南高考)平行平面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面，也与CC1共面的棱的条数为 () A.3 B.4 C.5 D.6

  41. 【解析】　根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件.【解析】　根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件. 【答案】C

  42. (理)(2009·上海高考改编)如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的余弦值为.

  43. 【解析】　由题意知， A1D1∥AD， ∴∠A1D1B即为异面直线BD1与AD所成的角. 连结A1B，则A1D1⊥A1B， 由底面边长为2，高为4， 得A1B＝ ＝2 ， BD1＝ ＝ ＝2 ， ∴cos∠A1D1B＝ ＝ . 【答案】

  44. [自主体验] (文)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由. (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.

  45. 解：(1)不是异面直线. 理由：连接MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的 中点， ∴MN∥A1C1. 又∵A1A C1C， ∴A1ACC1为平行四边形. ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一平面内， 故AM和CN不是异面直线.

  46. (2)是异面直线，证明如下： ∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴B、C、C1、D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α， ∴D1、B、C、C1∈α， ∴与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾. ∴假设不成立， ∴即D1B与CC1是异面直线.

  47. (理)一个正方体纸盒展开后如 图所示，在原正方体纸盒中有下列 结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60° 角；③EF与MN是异面直线；④MN ∥CD，其中正确的是 () A.①②　　　　 　　B.③④ C.②③ D.①③

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