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等腰三角形和直角三角形

等腰三角形和直角三角形. 回民中学付灵强. 等腰三角形和直角三角形. 知识要点 1: (1) 掌握等腰三角形的两底角相等 ; 底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质 ; (2) 掌握等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法 , 能够灵活应用它们进行有关的论证和计算. A. 证明：∵ AB = AC , 且 BD 、 CE 为中线， ∴. E. D. O. 1. 2. C. B. 例 1 、如图 , 等腰 △ ABC 两腰上的中线 BD 、 CE 交于 O 点 , 求证 : △BOC 和△ EOD 都是等腰三角形。. A.

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等腰三角形和直角三角形

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  1. 等腰三角形和直角三角形 • 回民中学付灵强

  2. 等腰三角形和直角三角形 知识要点1: (1)掌握等腰三角形的两底角相等;底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质; (2)掌握等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法,能够灵活应用它们进行有关的论证和计算.

  3. A 证明：∵AB=AC,且BD、CE为中线， ∴ E D O 1 2 C B 例1、如图,等腰△ABC两腰上的中线BD、CE交于O点,求证:△BOC和△EOD都是等腰三角形。

  4. A F D E B C 练习1、(02 河北)在△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC交AB于D,交AC于E,若BD+CE=9,则线段DE 的长为. 9

  5. A 答:是等腰三角形.原因是:延长AD到E,使DE=AD,连结BE. ∵BD=DC,∠BDE=∠ADC DE=AD ∴△ADC≌ △EDB ∴BE=AC ∠E=∠DAC B D C 又∵∠DAC=∠BAE ∴ ∠E=∠BAE ∴AB=DE ∴AB=AC 即△ABC是等腰三角形。 练习2、△ABC中,AD既是角平分线又是中线,则△ABC是等腰三角形吗?为什么? E

  6. A 1 2 F C D B E 例2、AD是△ABC为角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E，EF∥AC交AB于F，求证：AF=FB ∵EF∥AC ∴∠2=∠AEF，∴ ∠1=∠AEF ∴AF=FE ∵BE⊥AE，∴∠BEF+∠FEA=90° ∠ABE+∠1=90° ∴∠ABE=∠FEB∴BF=EF ∴AF=FB

  7. A 2 F C D B E 证法二:延长BE、AC相交于G， ∵AE平分∠BAG ∴∠1=∠2 ∵ AE⊥BG ∴ ∠AEB=∠AEG=900 ∵ AE=AE ∴ △ABE≌ △AGE ∴BE=EG ∵EF∥AC ∴F是AB中点，∴AF=FB 1 G

  8. C B/ A/ A B 例3、(1)如图,已知△ABC和△A/B/C都是等边三角形,B/在BC上,求证:AB/=A/B 证明：∵ △ABC和△A/B/C/都是等边三角形 ∴B/C=A/C AC=BC ∠ACB/=60°=∠BCA/ ∴△ACB/≌△BCA/ ∴AB/=A/B.

  9. A/ C α A B/ B (2)如图保持(1)中的△ABC不动,把△A/B/C绕点C按逆时针方向旋转一个角度α,此时,AB/与A/B是否仍然相等?若相等给出证明,若不相等,说明理由. 答:仍有AB/=A/B. 证明:在△ACB/和△BCA/中, B/C=A/C, ∠ACB/=60°+α=∠BCA/ 又AC=BC, 所以△ACB/≌△BCA/ ,故AB/=A/B

  10. 知识要点2: (1)掌握勾股定理,会用勾股定理进行有关的证明和计算; (2)会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.

  11. C D 60° A B 例4、四边形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°, ∠D=150°,四边形的周长为32.求四边形ABCD的面积. 解:连BD,∵AB=AD=8,∠A=60° ∴△ABC是等边三角形 ∴∠ADB=60°,BD=8. ∵∠ADC=150°∴∠BDC=90° 设CD=χ, 则BC=16-χ ,在Rt△BCD中, ∵BD2+CD2=BC2 有82+χ2=(16-χ)2 ∴χ=6

  12. A D E B F C 证明:设正方形边长为4a,有: 例5、已知:正方形ABCD,点E是DC中点,F是BC上一点, BF=3FC,求证:△AEF为直角三角形.

  13. 知识要点3: (1)理解线段的垂直平分线的概念,掌握“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”,“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的定理; (2)了解轴对称及轴对称图形;会画对称轴及画与已知图形成轴对称的图形.

  14. A B D C 例6、已知:如图, △ABC中,AB=AC,∠A=120°, AB边的垂直平分线交BC于D,求证:DC=2BD

  15. M N A B . N A B M 例7、已知同一平面内直线AB和任意两点M、N,在直线AB上取一点P,使点P到点M、N的距离和最小. 解:由于M,N与直线的位置关系没有确定,故可分为以下几种情况: (1)点M,N都在直线AB上,则点P是线段M,N上(包括点M和N)的任意一点. P (2)点M,N只有一个点在直线AB上,则点M就是所求的点P. (P)

  16. M B A N (3)点M,N都在直线AB外,分以下两种情况: ①M,N在直线AB两侧； 连结M、N交AB于P,则点P就是所求的点. . P .

  17. ②M,N在直线AB同侧： 做点M关于直线AB的对称点M/,连结M/N交直线AB于点P,则PM+PN最小. . . M N P B A M/

  18. C A D B 练习1、小明在距河边4百米的A处放牛,A处位于他家B的西8百米,北7百米,小明晚上要去河边给牛饮水,他给牛饮水再回家的最近距离是( ) A、19百米 B、16百米 C、17百米 D、18百米 C E F

  19. y B(1,4) A(3,2) O x 练习2.如图,在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小. P C (-3,2) 解:作点B关于y轴的对称点C,则 则点C的坐标为(-3,2),连结AC交y轴于点P.设过AC的直线的解析式为y=kx+b,于是有:

  20. 例8、求证:(1)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上 的高。 已知:点D是等腰三角形ABC的底边BC上的任意一点,DE⊥AB于点E,DH⊥AC于点H,BF⊥AC于点F. A F G 求证:BF=DE+DH E H 证明:过点D作DG⊥BF于点G, ∵ DH⊥AC BF⊥AC B D C ∴四边形DHFG是矩形∴DH=GF.又∵DG∥AC ∴∠C=∠GDB ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∴∠ABC=∠GDB ∵DE⊥AB ∴∠DEB=∠BGD ∵BD=DB ∴△BDE≌△DBG ∴BG=DE ∴ BF=DE+DH

  21. A H F C B D E (2)填空并证明:等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离。 之差等于一腰上 的高 已知:点D是等腰三角形ABC的底边BC延长线上的任意一点,DE⊥AB于点E,DH⊥AC 于点H,BF⊥AC于点F. G 求证:BF=DH-DE 简证:过点D作BG⊥DH于点G, 先证四边形DHFG是矩形∴DH=GF 再证△BDE≌△BDG ∴DG=DE ∴ BF=DE+DH

  22. P A D E O F B (3)已知矩形ABCD,P是AD上任意一点,PEBD于E,PFAC于F.且AB=3,AD=4,则PE+PF=. H

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