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第三章 線性規劃對偶性質與其他解法

作業研究. 第三章 線性規劃對偶性質與其他解法. 林吉仁 著 高立圖書公司出版. 3-1 對偶問題. 原始問題 (primal problem)  對偶問題 (dual problem) 原始問題與對偶問題目標、關係符號等的關係. 3 . 原始問題與對偶問題間「係數的對應關係」. . 例 3-1. 求以下問題的對偶問題. (1). (2). 解：. (1) 的對偶問題為. (2) 的對偶問題為. 3-2 對偶性質.  性質 1  對偶問題的對偶問題即為原始問題  性質 2  若原始問題目標為 max(min) 則對偶問

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第三章 線性規劃對偶性質與其他解法

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  1. 作業研究 第三章線性規劃對偶性質與其他解法 林吉仁 著 高立圖書公司出版

  2. 3-1對偶問題 • 原始問題 (primal problem)  對偶問題 (dual problem) • 原始問題與對偶問題目標、關係符號等的關係

  3. 3.原始問題與對偶問題間「係數的對應關係」

  4. 例3-1 求以下問題的對偶問題 (1) (2)

  5. 解： (1)的對偶問題為 (2)的對偶問題為

  6. 3-2對偶性質 性質1對偶問題的對偶問題即為原始問題  性質2 若原始問題目標為max(min)則對偶問 題目標為min(max) 性質3對偶問題是唯一的  性質4若原始問題有最佳解，則對偶問題也 必有最佳解，反之亦然  性質5 ( 弱對偶定理) 原始、對偶均是可行解條件下，最小 化問題的目標值恆大於等於最大化問 題之目標值

  7. 性質6( 強對偶定理) 原始問題與對偶問題中任一個存在最 佳解，則另一個也必存在最佳解，且 兩目標值相等。  性質7 若 X為原始問題可行解，Y為對偶問題可行解。 若且唯若 CX=Yb，則 X, Y分別為原始問題與對偶問題的最佳解

  8. 性質8原始問題與對偶問題之間解答的關係僅有四種，列表如下性質8原始問題與對偶問題之間解答的關係僅有四種，列表如下

  9. 性質9一般而言(會有例外)，若原始問題為退化最佳解，對偶問題有多重最佳基解；若原始問題有多重最佳基解，對偶問題有退化最佳解。性質9一般而言(會有例外)，若原始問題為退化最佳解，對偶問題有多重最佳基解；若原始問題有多重最佳基解，對偶問題有退化最佳解。

  10. 以下設 V、U分別是原始問題與對偶問題的虛變數矩陣  性質10 互補基解性質： 在原始問題中的每一基解 (x, s) ( 可行或不可行 )，在其對偶問題中均有一基解 (y, u) ( 可行或不可行 ) 與之對應，兩者互稱為互補基解，且兩者的目標值相等，即 cx=yb  性質11 (x, s)、(y, u) 為一組互補基解 1.若 (x, s) 為原始問題的可行解，但非最佳解，則 (y, u) 為對偶問題的不可行解 2.若 (y, u) 為對偶問題的可行解，但非最佳解，則 (x, s) 為原始問題的不可行解 3.若且唯若 (x, s)、y, u) 分別為原始、對偶問題的可 行解，則 (x, s)、(y, u) 分別為兩問題的最佳解。

  11. 性質12互補最佳基解性質： 若 (x*, s*) 為原始問題最終單體表的最佳基解，則必同時存在一對偶問題的互補最佳基解 (y*, u*)，且 cx*=y*b 性質13互補差額性質： 若 (x, s)、(y, u) 為一組互補基解，x與 u、s與 y稱為對應的互補變數，且 (x, s) 中之基變數，其在 (y, u) 中的互補變數必為非基變數。而 (y, u) 中之基變數，其在 (x, s) 中的互補變數必為非基變數。故而xu=0 且 ys=0必成立。

  12. 性質14互補差額定理： 若 (x, s)、(y, u) 為一組可行互補基解，則 (x, s)、(y, u) 均為最佳解，若且唯若 xu=0 且 ys=0。 性質15線性規劃模式的KKT條件： 一組互補解 (x*, s*)、(y*, u*) 分別為原始問題與對偶問題的最佳解，若且唯若同時滿足 (1) 所有原始問題的限制式(可行性)；(2) 所有對偶問題的限制式(最佳化)；(3) 互補差額性質。

  13. 假設以下符號： 原始問題的決策變數是 xi，差額變數 si，餘額變數 ui，人工變數 ri 對偶問題的決策變數是 yi，差額變數 i，餘額變數 vi，人工變數 i 1.若原始問題是最大化 (max) 時， yi=目標列的 (1) si欄係數，或 (2) ri欄係數 M，或 (3) ui欄係數變號 i=目標列 xi欄係數 vi=目標列 xi欄係數

  14. 2.若原始問題是最小化 (min) 時， yi=目標列的 (1) si欄係數，或 (2) ri欄係數 +M，或 (3) ui欄係數變號 i=目標列 xi欄係數變號 vi=目標列 xi欄係數變號

  15. 例題3-2 線性規劃問題 對偶問題 如下：

  16. 以大 M法解得原始問題最終單體表為

  17. 下表可觀察互補差額性質

  18. 3-3經濟意義 • 介紹如何利用生產上的意義來解釋原始-對偶的關係。 • 原始-對偶關係的其他解釋 (1)指派問題的 “最大可指派數 = 最少劃線數” (2)流量問題的“最大流量 = 最小割值” (3)兩人競賽 的雙方競賽值相等

  19. 3-3-1影價(shadow price) • 影價就是對偶問題變數最佳解的值 yi* • 影價經濟上而言是該資源的邊際利潤(Z/bi) • yi= bi每增加一單位時，目標函數值 Z的增加量 • yi =Z列差額變數 (si) 欄之值 或 Z列餘額變數 (ui) 欄之值變號 • si(或ui)各欄其他列的值，可視為資源bi對該列基變數的邊際增量 (或減量)

  20. 例題3-3 製造甲、乙產品所耗用的 A, B, C原料數，與其每個產品的利潤如下表 線性規劃模式如下：

  21. 最終單體表為 A, B, C三原料影價分別是 0, 1, 2

  22. 3-3-2對偶問題的經濟解釋 • 對偶問題的目標函數： 買方會希望付出的總金額愈少愈好，所以目標為min • 對偶問題的功能限制式： 賣方要求製造一單位i產品的原料應至少賣得其影價，否則寧可留下原料自己製造生產 • 對偶問題的非負限制式： 影價當然是非負值

  23. 3-4對偶單體法(Dual Simplex method) • 當Z列符合最佳解條件而RHS不符合可行解條件，則適用對偶單體法 • 對偶單體法在運算過程中，一直保持目標列係數符合最佳解條件，而在尋求滿足右手常數均非負 ( 可行解條件 ) 的可行解，它同時就是最佳解 • 對偶單體法也是在單體表中運算，它如同在對偶問題上利用單體法來演算

  24. 對偶單體法與單體法不同處 • 填入單體表前，功能限制式“”號者，添加一差額變數“+s”。“”號者，添入餘額變數“u”，再將全式乘上一負號。“=”號的則先拆為“”、“”兩式，再分別依上述方式處理 • 選取RHS最負值之列為基準列 • 選定比率 (r.t.) 最小的為基準行 ，而

  25. 對偶單體法的步驟(max) • 將目標函數移項，功能限制式處理後，填入單體表，起始時以各si或ui為基變數 • 最佳解檢定：若RSH均非負值，則已得最佳解，停止運算。否則到步驟3. • 選定基準列 • 選定基準行。若基準列無負值係數，無法選定基準行，表本題無解，停止運算 • 作列運算，產生新單體表。回步驟2.

  26. 例題3-5 求解線性規劃問題

  27. 解： 適用對偶單體法

  28. 故 x1=1 ,x2=2 ,u1=0 , u2=0 ,s3=7 時 Z有最大值 11，即 Z有最小值11

  29. 例題3-6 請利用對偶單體法求解下LP問題

  30. 解：

  31. 續下張

  32. 故 x1 =6, x2 =4, x3 =3, s1 =s2 =u3 =u4 =0 時， Z有最大值 23

  33. 3-5一般化單體法 • 使用時機： 適當型的單體表，卻既不合可行解條件也不合最佳解條件 • 步驟如下： (1)選取RHS右手常數負值的為基準列 (2)任意選取基準列負值的為基準行，以列運 算作基底變換 (3)反覆進行(1)、(2)直到RHS符合可行解條 件，或可判斷出問題是無解時為止。符合 可行解條件了，續以單體法求解

  34. 3-6上界技巧 • 變數有上界限制式時使用 • 避免功能限制式與差額變數的增加，在運用電腦解大型線性規劃問題時，可大量降低運算時間 詳細步驟、例題請參見課本

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