河南省新课程高考讲座

1. 河南省新课程高考讲座 郑州一中数学组 孙士放 sunshifang2003@163.com 2010年11月12日

2. 解析几何模块高考新特点及分析 考试必考内容的变化 新课程版的考试要求：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．直线系方程，两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交点．点到直线的距离； 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程以及圆系方程． 删除了的有：两条直线的交角．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．圆的参数方程．

3. 直线与方程 大纲版：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． 新课标：（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素. 大纲版：（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 新课标：（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. （4）掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式，了解斜截式与一次函数的关系.

4. 圆与方程 大纲版：（6）掌握圆的标准方程和一般方程， 新课标： （1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. （2）能根据给定直线的方程、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系. （3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. （4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 新课标： 空间直角坐标系 （1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标刻画点的位置. （2）会简单应用空间两点间的距离公式.

5. 圆锥曲线与方程 大纲版：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程． 　　（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 　　（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 　　（4）了解圆锥曲线的初步应用． 新课标： （1）掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程和椭圆的简单的几何性质．（范围、对称性、顶点、离心率）． （2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质．（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）． （3）了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质．（范围、对称性、顶点、离心率）． （4）理解数形结合的思想. （5）了解圆锥曲线的简单应用.

6. 解析几何高考试题特点

7. （2010 ·宁夏·理T15）过点A(4,1)的圆C与直线 相切于点B(2,1)．则圆C的方程为. 1.直线与圆以选择填空题为主，文理要求基本一致 【命题立意】本题主要考察了圆的相关知识，如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键.

8. （2010·山东文·Ｔ１6）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l： 被该圆所截得的弦长为 ，则圆C的标准方程为. 【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】根据弦长及圆心在x轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径.

9. （2010·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长轴、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 2.圆锥曲线的选择填空题主要以研究圆锥曲线的性质如圆锥曲线的离心率、双曲线的渐近线、抛物线的准线（不涉及椭圆和双曲线的准线及第二定义），或与其它知识（如向量）综合 【命题立意】本题考察椭圆的基本性质以及等差数列的定义.

10. （2010·安徽高考理科·Ｔ5）双曲线方程为 ，则它的右焦点坐标为（ ） A、 B、 C、 D、 （2010·浙江理·Ｔ8）设 、 分别为双曲线 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ） （A） （B） （C） （D） 【命题立意】本题考查圆锥曲线的相关知识，考查双曲线的基础知识，解题的关键是熟练掌握双曲线的定义、渐近线的求法.

11. （2010·天津高考理科·Ｔ5）已知双曲线 的一条渐近线方程是y= ,它的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) （A） （B） （C） （D） 【命题立意】考查双曲线、抛物线的方程和几何性质.

12. （2010·山东高考文科·Ｔ9）已知抛物线 ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与 、 两点，若线段 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 （A） (B) (C) (D) （2010·福建理·Ｔ7） 若点O和点F（-2，0）分别为双曲线 的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【命题立意】本题主要考查求解双曲线的方程以及以平面向量为背景的最值的求解,属中档题.

13. 3.解析几何的解答题主要以椭圆为背景命制试题，双曲线和抛物线仅涉及基础知识. 主要类型有：求圆锥曲线方程、直线和椭圆问题、轨迹问题、定点问题、定值问题、最值问题 文科相对基础，理科多综合并多以探索性形式出现.

14. 理(21)文(22) 已知抛物线 的焦点为F，过点 的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F在直线BD上； （Ⅱ）设 ，求 的内切圆M的方程 . 先看2010河南高考试题 [考查意图] 本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想..

15. [错因分析] 1、计算错误；2.不会证“三点共线”； 3、求错斜率；4、不清楚三角形内心的定义及性质； 5、抛物线定义不清如焦点坐标不会求； 6、根与系数的关系（韦达定理）掌握得不牢固； 7.不会转化，如：

16. （2010·辽宁高考文科·Ｔ20） 设F1，F2分别为椭圆C: =1(a>b>0)的左右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为2 . (Ⅰ)求椭圆C的焦距； (Ⅱ)如果 ，求椭圆C的方程. 【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程，直角三角形中的边角关系，考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，平面向量的坐标以及推理运算能力. 【思路点拨】（1）利用直角三角形中的边角关系直接求解. （2）联立直线方程和椭圆方程，消去x,解出两个交点的纵坐标，利用这两个纵坐标间的关系，求出a ,进而求出椭圆方程.

17. （2010·山东文·Ｔ22）如图，已知椭圆 过点 ，离心率为 ，左、右焦点分别为 、 .点 为 直线 上且不在轴上的任意一点，直线 和 与椭圆的交点分别为A、B 和C、D，O为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线 、 的斜线分别为 、 . ①证明： ； ②问直线上是否存在点P，使得直线OA、OB 、OC、OD的斜率 、 、 、 满足 ？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由. 【命题立意】本题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查了数形结合思想，分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。

18. （2010·山东高考理科·Ｔ21）如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和与椭圆的交点分别为A,B和C,D . （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 ； （3）是否存在常数 ，使得 恒成立？ 若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 【命题立意】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了考生的观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.

19. 解析几何中的存在判断型问题解题策略 1、基本特征：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形)是否存在或某一结论和参数无关. 2、基本策略：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的.

20. （2010·江苏高考·Ｔ１8）在平面直角坐标系 中 ，如图，已知椭圆 的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（ ）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M 、 ，其中m>0, 。 （1）设动点P满足 ,求点P的轨迹； （2）设 ，求点T的坐标； （3）设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。 【命题立意】本题主要考查求曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程及其相关的基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。

21. 定点定值问题解题技巧和方法 由于定点、定值是变化中得不变量，引进参数表述这些量，不变的量就是与参数无关的量，通过研究何时变化的量与参数无关，找到定点或定值的方法叫做参数法，其解题的关键是合适的参数表示变化的量. 当要解决动直线过定点问题时，可以根据确定直线的条件建立直线系方程，通过该直线过定点所满足的条件确定所要求的定点坐标.

22. （2010·广东高考理科·Ｔ20） 已知双曲线 的左、右顶点分别为A1,A2，点 ， 是双曲线上不同的两个动点 (1)求直线A1P与A2 Q交点的轨迹E的方程式； (2)若过点H(O, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。 注：点E的轨迹方程为： .（椭圆） 解析几何的解答题涉及双曲线和抛物线的基础知识 【命题立意】本题为解析几何综合问题，主要考察点的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系.

23. （2010·福建文·Ｔ１9）已知抛物线C： 过点A （1 , -2）. （I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程； （II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于 ？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由. 【命题立意】本题考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类与整合思想. 涉及双曲线和抛物线的解答题，主要以抛物线和双曲线的基础知识为主，一般较少考查直线与这两种曲线的的位置关系，尤其是直线与双曲线文理都不涉及，而直线与抛物线在其它省市高考文科试题中有所涉及.

24. （2010·湖南文·Ｔ19）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。（2010·湖南文·Ｔ19）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。 （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程： （Ⅱ）如图所示，设线段 是冰川 的部分边界线（不考虑其他边界）， 当冰川融化时，边界线沿与其垂直的 方向朝考察区域平行移动，第一年移 动0.2km，以后每年移动的距离为前 一年的2倍。问：经过多长时间，点A 恰好在冰川边界线上？ 解析几何应用性问题

25. 【命题立意】把直线和圆锥曲线的关系问题放在生活实际中考查充分体现了知识的应用性。能很好的体现学生应用知识的能力，而且打破了解析几何的固定命题模式。【命题立意】把直线和圆锥曲线的关系问题放在生活实际中考查充分体现了知识的应用性。能很好的体现学生应用知识的能力，而且打破了解析几何的固定命题模式。 【思路点拨】题目的阐述比较新颖，把求曲线的方程阐述成求区域的边界。不受表面阐述所干扰，还是利用定义法求轨迹即可。第二问是数列问题，巧妙地把解析几何和数列的求和结合起来。 说明：2010·湖南高考理科试题与此类似.

26. 解析几何命题趋势： 1.解析结合部分所占分数稳定在15%-18%,即22分—27分. 2.选择题和填空题主要集中到双曲线,抛物线,简单的线性规划问题上,直线方程,直线与圆的位置关系等,题目集中到中档和简单题 3.解答题集中到第20题上,文科题目集中直线与圆的位置关系和椭圆与直线的位置关系问题,属于中等题目,理科题目集中到椭圆与直线的位置关系,文理的难度有所区别.并且简单轨迹方程问题也常考查. 4.命题的趋势仍然是解答题是椭圆与直线位置关系问题是考查的重点,兼顾轨迹方程的探索问题.在选择和填空题中,以考查直线及线性规划,圆,双曲线,抛物线的几何性质,标准方程.以及与直线的位置关系的简单应用为主.

27. [新课程复习建议] （１）对于曲线的方程和方程的曲线要求掌握基本的求曲线方程的方法，比如相关点代入法、定义法等，这常常是解答题第一小问的命题点； （２）重视数学思想方法的应用 分类讨论思想、数形结合思想、转化与思想、函数与方程思想以及解析法、待定系数法等在各种题型中均有体现．圆锥曲线问题的解答过程计算量较大，对运算能力要求较高，寻求简捷合理的运算途径显得尤为重要．常用的减负途径有：设而不求、活用定义、妙用平面几何性质、根与系数的关系、统一方程、巧用对称等． （３）发挥向量的工具作用平面向量与圆锥曲线都涉及坐标表示和坐标运算，坐标法可以将两者有机结合起来，使向量的有关运算与圆锥曲线的坐标运算产生了有机联系，形成了新的知识交汇点，这既给圆锥曲线的命题提供了新的思路，也为解答圆锥曲线问题提供了新的工具，复习时切不可忽视． （４）适度关注平面几何的性质圆锥曲线研究的对象毕竟是几何图形，所以应重视发挥平面几何有关性质在圆锥曲线中的应用，特别应重视平面几何重要定理的深化和推广以及射影几何某些性质特殊化可能成为圆锥曲线为命题的新的命题点．

28. 函数与导数高考试题分析 （含集合与简易逻辑、算法、框图）

29. 内容 变化（描述的更具体） 集合和简易逻辑 强调：Venn图的应用. 由理解变了解：逻辑联结词“或”、“且”、“非’’的含义、四种命题及其相互关系” 增加：全称量词与存在量词． 函数 由理解变了解：函数的概念； 由了解变理解：函数的单调性； 提出分段函数、实数指数幂、对数换底公式的要求； 增加：幂函数、函数与方程、函数模型及其应用 降低：函数定义域和值域反函数

31. 1．算法每年都有一道选择题，主要考查程序框图的应用，重点是对条件结构和循环结构的意义的考查，文理相同，属容易题.具体情况见下表：1．算法每年都有一道选择题，主要考查程序框图的应用，重点是对条件结构和循环结构的意义的考查，文理相同，属容易题.具体情况见下表：

32. 集合与简易逻辑一般以选择题形式出现，属容易题. 具体情况见下表：

33. 函数与导数在高考中仍占有较大比重，不但单独命题，而且与其它知识综合或函数思想在其他模块中的应用，三种题型都有所体现，难度属中档题和难题，解答题一般以压轴题的形式出现. 具体情况见下表：

35. （2010·天津高考理科·Ｔ2）函数f(x)= 的零点所在的一个区间是( ) (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2） 【命题立意】考查函数零点的概念及运算 【思路点拨】逐一代入验证. 函数与导数客观题特点 1.体现新增内容（函数与方程、积分）

36. （2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y= ,y= 围成的封闭图形面积为（ ） （A） (B) (C) (D) 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y= ,y= 的交点坐标，再利用定积分求面积. 1.体现新增内容（函数与方程、积分）

37. （2010·福建理科·Ｔ4）函数 的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2.强化分段函数 【命题立意】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。 【思路点拨】作出分段函数的图像，利用数形结合解题。

38. （2010·陕西高考理科·Ｔ１0）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ） • y= (B) y= (C) y= (D) y= • 【命题立意】本题考查灵活运用已有的知识解决新问题的能力，属难题。 • 【思路点拨】理解y=[x]的含义及选法规定是解题的关键，可用特例法进行解答. 3.体现函数的应用

39. （2010·北京理科·Ｔ１4）如图放置的边长为1的正方形PABC沿 轴滚动.设顶点 的轨迹方程是 ，则函数 的最小正周期为； 在其两个相邻零点间的图象与 轴所围区域的面积为. 【命题立意】本题考查函数的相关知识，考查了函数的周期、零点。要求考生具有探索意识和动手能力，属创新题。 【思路点拨】先让AP与 轴重合，再向右滚动，作出 的图象。利用图象求最小正周期及面积。

41. （2010·福建理·Ｔ10）对于具有相同定义域D的函数 和 ，若存在函数 （ 为常数），对任给的正数m，存在相应的 ，使得当 且 时， 总有 则称直线l:y=k+b为曲线 与 的“分渐近线”。给出定义域均为 的四组函数如下： ① ② ③ ④ 其中，曲线 与 存在“分渐近线”的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 4.创新意识

42. 【命题立意】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质进行做答，是一道好题，思维灵活。【命题立意】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质进行做答，是一道好题，思维灵活。 【思路点拨】读懂新定义、利用新定义，在新背景下进行即时性学习，即可解决问题。

43. 5.综合性 （2010·陕西理·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为； 【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。 【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可

44. （2010 ·海南高考·理科T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分 ,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数 , … ,和 , … , ,由此得到N个点 （i=1,2,…,N）,在数出其中满足 ≤ （i=1,2,…,N）的点数 ，那么由随机模拟方法可得积分 的近似值为. 【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式. 【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.

45. （2010 ·全国新课标理科·T21）设函数 = . （Ⅰ)若 ,求 的单调区间; （Ⅱ）若当 时 ，求 的取值范围. 函数与导数解答题特点 1.理科解答题保持相对稳定 【命题立意】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值问题. 【思路点拨】利用导数求出函数的单调区间，然后再利用单调性求参数的取值.

46. （2010·全国卷Ⅰ理·Ｔ20） 已知函数 . （Ⅰ）若 ，求 的取值范围； （Ⅱ）证明： . 【命题立意】首先对函数 进行求导. 然后将 代入 中建立新的函数 ， 再对 求导，利用函数的单调性求 的取值范围； 问题（Ⅱ）的证明，利用问题（Ⅰ）的结论进行合理配凑求解. 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.

47. [错因分析] 1. 步骤不规范，证明的严谨性不够，如第（Ⅰ）问对 在 最大的证明不充分，只是因为 即得最大值点. 2．第（Ⅱ）问盲目地把 展开设为 ，造成求导的复杂运算甚至不能正确、严格地分析 的单调性. 3．对求导公式不熟悉造成求导出错是本题出错的另一主要原因. 4．证明第（Ⅱ）问时分类讨论意识不足或不能正确灵活地实现问题的转化导致出错. 5．对本题不理解或思维深度不够导致本题做不出来.

48. （2010·全国高考卷Ⅱ理·Ｔ22）设函数 ． （Ⅰ）证明：当 时， ； （Ⅱ）设当 时， ，求a的取值范围． 【命题立意】本题考查了导数的单调性、极值等知识，结合不等式考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想。 【思路点拨】（Ⅰ）可以构造函数，利用导数单调性，求已知区间的最值证明不等式成立， （Ⅱ）可结合（Ⅰ）的结论和方法证明，要注意对a分类讨论.

49. （2010·全国卷Ⅰ理·Ｔ20） 已知函数 . （Ⅰ）若 ，求 的取值范围； （Ⅱ）证明： . （2010 ·全国新课标理科·T21）设函数 = . （Ⅰ)若 ,求 的单调区间; （Ⅱ）若当 时 ，求 的取值范围. （2010·全国高考卷Ⅱ理·Ｔ22）设函数 ． （Ⅰ）证明：当 时， ； （Ⅱ）设当 时， ，求a的取值范围． 三道题汇总后比较一下可发现体型类似，甚至解题方法如出一辙.

50. （2010·全国卷Ⅰ文科·Ｔ21）已知函数 （I）当 时，求 的极值; （II）若 在 上是增函数，求 的取值范围. 2.文科解答题要求有所加强，由多项式函数向指对函数过渡利用导数研究函数的性质 【命题立意】本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调区间和确定参数的取值范围. 考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.