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第一部分 数学基础 §0-1 常用函数 — 变型

f ( x ). x. bf ( x ). f (- x ). f ( x- x 0 ). f ( x / a ). -f ( x ). x. x. x. x. x. x 0. 第一部分 数学基础 §0-1 常用函数 — 变型. 倍乘 y 方向幅度变化. 平移 ( 原点移至 x 0 ). 折叠 与 f ( x ) 关于 y 轴 镜像对称. 取反 与 f ( x ) 关于 x 轴 镜像对称. 比例缩放 a >1, 在 x 方向展宽 a 倍 a <1, 在 x 方向压缩 a 倍. x, 0< x <1 0 其它.

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第一部分 数学基础 §0-1 常用函数 — 变型

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Presentation Transcript

  1. f(x) x bf(x) f(-x) f(x- x0) f(x/a) -f(x) x x x x x x0 第一部分 数学基础§0-1 常用函数 —变型 倍乘 y方向幅度变化 平移 (原点移至x0) 折叠 与f(x)关于y轴 镜像对称 取反 与f(x)关于x轴 镜像对称 比例缩放 a>1, 在x方向展宽a倍 a<1, 在x方向压缩a倍

  2. x, 0<x<1 0 其它 例: f(x)={ f(x) x 0 1 先折叠 再压缩 最后平移 f(-x) f[-2(x-2)] f(-2x) x -1 0 x 0 3/2 x -1/2 0 练习：f(x)={ cos(x), |x|p/2 0 其它 求 f(-x/2+p/4) §0-1 常用函数—变型（例） 求 f(-2x+4) 解： f(-2x+4)= f[-2(x-2)]，包含折叠、压缩、平移

  3. f(x) cos(x), |x|p/2 0 其它 f(x)={ x p/2 -p/2 0 f(-x) 注意： 在缩放前后的变化 x -p/2 p/2 0 曲线下面积: §0-1 常用函数—变型（练习） 求 f (-x/2+p/4) 解： f(-x/2+p/4)= f[- (x- p/2)/2]，包含折叠、扩展、平移 先折叠， 偶函数折叠后不变 再扩展,最后平移

  4. 1 , x>0 1/2, x=0 0, x<0 定义: Step(x)={ 0 Step(x) 1 x 0 x §0-1 常用函数注意:1.函数在时域和空域各代表什么物理对象2. 一维向二维扩展,各代表什么物理对象 一. 阶跃函数 Step Function 代表：开关, 无穷大半平面屏

  5. 定义: Sgn(x)={ 1 , x>0 0, x=0 -1, x<0 Sgn(x) 1 0 x -1 §0-1 常用函数 (续)二. 符号函数 Signum 与 Step函数的关系: Sgn(x)=2 Step (x)-1 原型 代表“p”相移器、反相器

  6. rect(x) 1 x -1/2 0 1/2 §0-1 常用函数 (续)三.矩形函数 Rectangle Function 定义 原型特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数 快门; 单缝, 矩孔,区域限定

  7. y x0 x a 0

  8. y a b x0, y0 0 x a

  9. 底宽:2|a|, 面积: S= |a| 底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1 tri(x) 1 1 x x -a+x0 x0 a+x0 -1 0 1 又写成：L(x) 要关注它和矩形函数的关系 §0-1 常用函数 (续)四、三角形函数 Triangle Function

  10. sinc(x) 1 1 a+x0 x -1 1 0 x x0 -a+x0 §0-1 常用函数 (续)五、sinc函数 特点: 最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0 x 曲线下面积: S=1，偶函数 0点位置:x=n (n=1, 2, 3…)等间隔 两个一级0点之间的主瓣宽度=2

  11. Sinc函数的重要性: 数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换 物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数 附: sinc2函数 sinc2(x)=[sinc(x)]2 sin2(px) (px)2 sinc(x) sinc2(x) 1 0 -1 1 x §0-1 常用函数五.sinc函数(续) 二维sinc函数: sinc(x)sinc(y) sinc2(0)=1, S = 1 与sinc(x)相比,曲线形状不同,但曲线下面积相同,为什么?

  12. Gaus(x) = exp(-px2) Gaus(0) = 1 S = 1 是非常平滑的函数,即各阶导数均连续. Gaus(x) x 0 §0-1 常用函数 (续)六、高斯函数 Gaussian Function 二维情形: Gaus(x)Gaus(y)=exp[- p(x2+y2)] 可代表单模激光束的光强分布

  13. 定义: circ(r) = 1 y 0 x §0-1 常用函数 (续)七、圆域函数 Circular Function circ函数是不可分离变量的二元函数 描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率

  14. a 0

  15. w = 2pn 对于简谐振动，q = 2pn t q：振子的位相角 A q 0 §0-1 常用函数 (续)八、复指数函数 Complex exponential function Aexp(jq)=Acosq +jAsinq 推广到二维： Aexp[j 2p (fxx+fyy)]

  16. 注意 以上定义的函数,其宗量均无量纲. 在处理实际问题时,要根据所取的单位采用适当的缩放因子. 例: 以 rect(x) 代表单缝. 若x单位为cm, 则 rect(x) 代表宽度为1cm 的单缝.若x单位为mm,则 rect(x/10) 代表宽度为1cm 的单缝.

  17. 0-1. 已知函数 U(x)=Aexp(j2pf0x) 求下列函数，并作出函数的图形 (1) | U(x) |2 (2) U(x) + U*(x) (3) | U(x) + U*(x) |2 0-2. 已知函数 f(x)=rect(x+2)+rect(x-2) 求下列函数，并作出函数的图形. (1) f(x-1) (2) f(x)sgn(x) 课堂练习(要求写在作业本上)

  18. 0-3. 画出下列函数的图形 (1) (2) (3) (4) 课堂练习(要求写在作业本上)

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