计算机中信息的表示

1. 计算机中信息的表示 计算机所处理的信息都是以二进制形式进行存储和处理的。 为了进一步学习和加深对计算机工作过程的理解，很有必要了解一些数制的基本概念。

2. 1数制 数制的概念 用一组固定的数字和一套统一的规则来表示数目的方法叫作数制。 基数：每个数位可以使用的数码总数称为该进位数的基数。例如二进制数的基数为2，即可以使用0和1两个数码。 按权展开式：一个数中每一位的计数单位称为权，例如十进制数26，其十位位数的权是10，个位位数的权是1。任何进制的数皆可以按权展开。 例：一个十进制数975310 每个数位上所能使用的符号个数：___，基数为：___； 从右到左第5位（即符号为7）这一位的位权：_______；十 进制数的位权以指数形式表达为：_______________________。 10 10 10000 105 + 104 + 103 + 102 + 101 + 100

3. (5741)8 = ________________________。 + + + 1数制 数制的概念 任何一个N位R进制的数都可以用数字与其位权乘积之和的形式来表达。其公式为： (D1D2 … DN)R = DiRN-i = D1RN-1 + D2RN-2 + … + DN-1R1 + DNR0 另外，运算中还要遵守“逢R进一，借一当R”的进位规则。 例：一个八进制数5741 R = ___，N = ___； 8 4 D1 = ___，D2 = ___，D3 = ___，D4 = ___; 5 7 4 1 583 782 481 180

4. 1数制 数制的分类 在我们日常生活中，十进制是最常见的数制。在计算机内部，可以使用二进制、八进制、十六进制等数制。 十进制、二进制、八进制和十六进制的基数、位权和数码符号如下所示： 10 2 8 16 10n 2n 8n 16n 0~9 0, 1 0~7 0~9, A~F 在计算机领域，不同进制分别用不同的英文符号表示，O表示八进制，H表示十六进制，D表示十进制，B表示二进制。

5. 1数制 数制之间的转换 在介绍数制之间的转换前，先了解常用四种数制之间的对应关系。 0 0 0 0 9 1001 11 9 1 1 1 1 10 1010 12 A 2 10 2 2 11 1011 13 B 3 11 3 3 12 1100 14 C 4 100 4 4 13 1101 15 D 5 101 5 5 14 1110 16 E 6 110 6 6 15 1111 17 F 7 111 7 7 16 10000 20 10 8 1000 10 8

6. 1数制 数制之间的转换 R进制转换为十进制 基数为R的数字，只要将各位数字与它的权相乘，其积相加，和数就是十进制数。 例：将二进制数100.101、八进制数3506.2、十六进制数0.2A转换成十进制数。 (100.101)2 = 1×22 +0×21 +0×20 +1×2-1 +0×2-2 +1×2-3 = (4.625)10 (3506.2)8 = 3×83 +5×82 +0×81 +6×80 +2×8-1 = (1862.25)10 (0.2A)16 = 0×160 +2×16-1 +10×16-2 = (0.1640625)10

7. 1数制 数制之间的转换 R进制转换为十进制 从上面几个例子可以看到：当从R进制转换到十进制时，可以把小数点作为起点，分别向左右两边进行，即对其整数部分和小数部分分别转换。对于二进制来说，只要把数位是1的那些位的权值相加，其和就是等效的十进制数。因此，二——十进制转换是最简便的，同时也是最常用的一种。

8. 1数制 数制之间的转换 十进制转换为R进制 将十进制数转换为基数为R的等效表示时，可将此数分成整数与小数两部分分别转换，然后再拼接起来即可。

9. D = D1RN-1 + D2RN-2 + … + DN-1R1 + DN 1数制 数制之间的转换 十进制转换为R进制 整数部分： 我们知道，任何一个十进制整数D，都可以用一个R进制数来表示： = (D1RN-2+ D2RN-3 + … + DN-2R1 + DN-1 )R + DN = Q1R + DN 由此可知，若用D除以R，则商是__，余数是__。 Q1 DN 同理： Q1 = Q2R + DN-1 Q1再除以R，则商是__，余数是___。 Q2 DN-1 依此类推： Qi = Qi+1R + DN-i Qi再除以R，则商是___，余数是___。 Qi+1 DN-i 这样除下去，直到商为0时为止，每次除 R的余数DN，DN-1，…，D1即构成R进制数。

10. 1数制 数制之间的转换 十进制转换为R进制 整数部分： 由上面分析得到：十进制整数转换成R进制的整数，可用十进制数连续除以R，其余数即相应R进制数的各位系数。此方法称之除R取余法。

11. 1数制 数制之间的转换 十进制转换为R进制 整数部分： 例：将十进制数22转换成二进制数。 方法：除2取余法。 余数 最低位 2 22 0 2 11 1 2 5 1 2 2 0 2 1 1 最高位 0 所以 (22)10 = (10110)2

12. 1数制 数制之间的转换 十进制转换为R进制 整数部分： 例：将十进制数168转换成八进制数。 方法：除8取余法。 余数 最低位 8 168 0 8 21 5 8 2 2 最高位 0 所以 (168)10 = (250)8

13. 1数制 数制之间的转换 十进制转换为R进制 小数部分： 我们可将某十进制小数用R进制数来表示： V = X-1/R1+ X-2/R2 + X-3/R3 + … + X-M/RM 等式两边乘以R得到： V×R = X-1 + X-2/R1 + X-3/R2 + … + X-M/RM-1 = X-1 + F1 X-1是整数部分，即R进制数小数点后第一位，F1是小数部分。 小数部分再乘以R： F1×R = X-2 + X-3/R1 + … + X-M/RM-2 = X-2 + F2 X-2是整数部分，即R进制数小数点后第二位。 依次乘下去，直到小数部分为0，或达到 所要求的精度为止（小数部分可能永不为0）。

14. 1数制 数制之间的转换 十进制转换为R进制 小数部分： 从前面分析得到：十进制小数转换成R进制数时，可连续地乘以R，得到的整数即组成R进制的数，此法称为“乘R取整”。

15. 1数制 数制之间的转换 十进制转换为R进制 小数部分： 例：将十进制数0.8125转换成二进制数。 方法：乘2取整法。 0.8125 取整 × 2 最高位 1.6250 1 0.6250 × 2 1.2500 1 0.2500 × 2 0.5000 0 0.5000 × 2 1 1.0000 最低位 所以 (0.8125)10 = (0.1101)2

16. 1数制 数制之间的转换 十进制转换为R进制 若将十进制数22.8125转换成二进制数，可分别进行整数部分和小数部分的转换，然后再拼在一起： (22.8125)10 = (10110.1101)2

17. 1数制 数制之间的转换 二进制、八进制、十六进制之间的相互转换 二进制数转成八进制数：由于8是2的整数次幂，因此，一位八进制数正好相当于三位二进制数。对于整数，转换顺序是从最右三位数起，不够三位补零，同理对于小数，按从左向右的顺序进行。 例：将二进制数11010110101.11101011101B转换成八进制数。 整数： 0 11010110101 3 2 6 5 (3265)8 小数： 11101011101 0 (0.7272)8 7 2 7 2 所以 (11010110101.11101011101)2 = (3265.7272)8

18. 1数制 数制之间的转换 二进制、八进制、十六进制之间的相互转换 二进制数转成十六进制数：由于16也是2的整数次幂，因此，一位十六进制数正好相当于四位二进制数。对于整数，转换顺序是从最右四位数起，不够四位补零，同理对于小数，按从左向右的顺序进行。 例：将二进制数110100111111010.10111101101001B转换成十六进制数。 整数： 0 110100111111010 6 9 F A (69FA)16 小数： 10111101101001 00 (0.BDA4)16 B D A 4 所以 (110100111111010.10111101101001)2 = (69FA.BDA4)16

19. 1数制 数制之间的转换 二进制、八进制、十六进制之间的相互转换 由于八进制或十六进制与二进制之间的转换极为方便，而且用八进制或十六进制书写要比用二进制书写简短，阅读也方便，因此，八进制或十六进制常用于指令的书写、编制程序或目标程序的输入与输出。 特别是，计算机存储器以字节为单位，一个 字节包含八个二进制位，正好用两个十六进 制位表示，因此，十六进制用得更多一些。

20. 1数制 二进制的重要性 计算机内部的一切信息（包括数值、字符、指令等）的存放、处理和传送均采用二进制数的形式。二进制数在计算机内是以元器件的物理状态来表示的，这些元器件具有两种不同的稳定状态（低电平表示0，高电平表示1）且能相互转换。 在计算机内部，采用二进制数表示信息的原因主要有以下几点： （1）容易实现。具有两种稳定状态的电子器件在技术上很容易实现。 （2）可靠性好。 （3）具有逻辑性。二进制数的0和1与逻辑代数中的真和假相对应。 二进制数的书写比较复杂，因此，通常又用八进制或十六进制来书写和表示。

21. 2数据与编码 在计算机内部，数据均采用二进制编码来表示。一串二进制位，既可以表示数值的大小，也可以表示字符的编码。

22. 2数据与编码 信息的存储单位 信息的单位通常采用“位”、“字节”、“字”。 位（bit）：度量数据的最小单位，表示一位二进制信息。 字节（byte）：一个字节由八位二进制数字组成（1 byte = 8 bit）。字节是信息存储中最常用的基本单位。

23. 2数据与编码 信息的存储单位 计算机的存储器（包括内存与外存）通常也是以多少字节来表示它的容量。常用的单位有： K字节： 1K = 1024byte M(兆）字节： 1M = 1024K G字节： 1G = 1024M

24. 2数据与编码 信息的存储单位 字（Word）：字是位的组合，并作为一个独立的信息单位处理。字又称为计算机字，它的含义取决于机器的类型、字长以及使用者的要求。常用的固定字长有8位、16位、32位等。 机器字长：在讨论信息单位时，还有一个机器硬件指标有关的单位，这就是机器字长。机器字长一般是指参加运算的寄存器所含有的二进制数的位数， 它代表了机器的精度。

25. 2数据与编码 二进制数的编码表示 一个数在机内的表达形式称为“机器数”，而它代表的数值称为此机器数的“真值”。 前面已经提到，数值信息在计算机内是采用二进制编码表示。数有正、负之分，在计算机中如何表示符号呢？ 一般情况下：用“0”表示正号，“1”表示负号，符号位放在数的最高位。 例：8位二进制数A=(+1011011) B=(-1011011) ,它们在机器中 可以表示为： A： B： 其中最左边一位代表符号位，连同数字 本身一起作为一个数。

26. 2数据与编码 二进制数的编码表示 数值信息在计算机内采用符号数字化处理后，计算机便可以识别和表示数符了。为了改进符号数的运算方法和简化运算器的硬件结构，人们研究了符号数的多种二进制编码方法，其实质是对负数表示的不同编码。 下面就给大家介绍几种常用的编码——原码，反码和补码。

27. 2数据与编码 二进制数的编码表示 原码 将符号位数字化为0或1，数的绝对值与符号一起编码，即所谓“符号——绝对值表示”的编码，称为原码。 用原码表示一个带符号的整数： 如果我们用一个字节存放一个整数，其原码表示如下： X=+0101011 [X]原=00101011 X=-0101011 [X]原=10101011 这里，“[X]原”就是机器数，X称为机器数 的真值。

28. 2数据与编码 二进制数的编码表示 原码 用原码表示一个带符号的纯小数： 原码表示就是把小数点左边一位用作符号位。 例如： X=0.1011 [X]原=0.1011 X=-0.1011 [X]原=1.1011

29. 2数据与编码 二进制数的编码表示 原码 当采用原码表示法时，编码简单直观，与真值转换方便。但原码也存在一些问题： （1）零的表示不唯一，因为： [+0]原=00000000 [-0]原=10000000 零有二义性，给机器判零带来麻烦。 （2）用原码进行四则运算时，符号位需 单独处理，且运算规则复杂。

30. 2数据与编码 二进制数的编码表示 反码 反码很少使用，但作为一种编码方式和求补码的中间码，下面给大家介绍一下。 正数的反码与原码表示相同。 负数反码的符号位与原码相同（仍用1表示），其余各位取反（0变1，1变0）。例如： X=+1100110 [X]原=01100110 [X]反=01100110 X=-1100110 [X]原=11100110 [X]反=10011001 X=+0000000 [X]原=00000000 [X]反=00000000 X=-0000000 [X]原=10000000 [X]反=11111111 和原码一样，反码中零的表示也不唯一。

31. 2数据与编码 二进制数的编码表示 反码 当X为纯小数时，反码表示如下： X=0.1011 [X]原=0.1011 [X]反=0.1011 X=-0.1011 [X]原=1.1011 [X]反=1.0100

32. 2数据与编码 二进制数的编码表示 补码 模数的概念 模数从物理意义上讲，是某种计量器的容量。例如，我们日常生活中用的钟表，模数就是12。钟表计时的方式是：达到12就从零开始（扔掉一个12），这在数学上是一种“取模（或取余）运算（mod）”。例如： 14 mod 12 = 2 如果现在的准确时间是6点整，而你的手表指向8点，怎样把表拨准呢？可以有两种方法：把表往后拨2小时，或把表往前拨10小时，效果是一样的，即： 8 - 2 = 6 (8 + 10) mod 12 = 6

33. 2数据与编码 二进制数的编码表示 补码 模数的概念 在模数系统中： 8 - 2 = 8 + 10 (mod 12) 上式之所以成立，是因为2与10对模数12是互为补数的（2+10=12）。 因此，我们可以认可这样一个结论：在模数系统中，一个数减去另一个数，或者说一个数加上一个负数，等于第一个数加上第二个数的补数： 8 + (-2) = 8 + 10 (mod 12) 我们称10为-2在模12下的“补码”。负数采用补码表示后，可以使加减法统一为加法运算。

34. 2数据与编码 二进制数的编码表示 补码 补码表示法 由以上分析得知，对一个二进制负数可用其模数与真值做加法（模减去该数的绝对值）求得其补码。例： X=-0110 [X]补= 24+(-0110) =1010 X=-0.1011 [X]补= 2+(-0.1011) =1.0101 由于机器中不存在数的真值形式，用上述公式求补码在机器中不易实现，但从上式可推导出一个简便方法。

35. 2数据与编码 二进制数的编码表示 补码 补码表示法 对于一个负数，其补码由该数反码的最末位加1求得。 例：求X=-1010101的补码 [X]原=11010101 [X]反=10101010 [X]补=10101011 例：求X=-0.1011的补码 [X]原=1.1011 [X]反=1.0100 [X]补=1.0101 对于正数来说，其原码、反码、补码形式相同。

36. 2数据与编码 二进制数的编码表示 补码 补码表示法 补码的特点之一就是零的表示唯一。 [+0]补=00000000 [-0]补= [-0]反+1 = 11111111+1 = 1 00000000 自动丢失

37. 2数据与编码 二进制数的编码表示 补码 补码的运算规则 当数值信息参与算术运算时，采用补码方式是最方便的。首先，符号位可作为数值参加运算，最后仍可得到正确的结果符号，符号无需单独处理；其次，采用补码进行运算时，减法运算可转换为加法运算，简化了硬件中的运算电路。 例：用8位十进制补码计算67-10=？ 例：用8位十进制补码计算10-67=？

38. 2数据与编码 二进制数的编码表示 定点数与浮点数 数值数据既有正、负之分，又有整数和小数之分。在计算机中通常采用浮点方式表示小数，下面给大家介绍数的浮点表示法。 一个数N用浮点形式表示（即科学表示法），可以写成： N = M × RE 其中R表示基数，一旦机器定义好了基数值，就不能再改变了。因此基数在数据中不出现，是隐含的，一般取2。 E表示2的幂，称为数N的阶码。阶码确定 数N的小数点的位置，其位数反映了该浮点数 所表示的数的范围。 M表示数N的全部有效数字，称为数N的尾 数，其位数反映了数据的精度。

39. 2数据与编码 二进制数的编码表示 定点数与浮点数 阶码和尾数都是带符号的数，可以采用不同的码制表示法，例如尾数常用原码或补码表示，阶码多用补码表示。 浮点数的具体格式随不同机器而有所区别。例如，假设有一台16位机，其浮点数组成为阶码4位，尾数12位，则浮点数格式如下： 小数点位置 15 14 12 11 10 0 阶符 阶码 尾符 尾码 下面是一个实际的例子，其中阶码、尾数 分别用补和原码表示。 表示： -0.11×22 表示： 0.11×2-3

40. 2数据与编码 二进制数的编码表示 数的表示范围 机器中数的表示范围与数据位数及表示方法有关。一个m位整数（包括一位符号位），如果采用原码或反码表示法，能表示的最大数为2m-1-1，最小数为-(2m-1-1)。若有补码表示，能表示的最大数值为2m-1-1，最小数为-2m-1。 这里要说明一点，由于补码中的“0”的表示是唯一的，故[X]补= 100…0，对应的真值X = -2m-1，从而使补码的表示范围与原码有一点差异。（注意：补码100…0 的形式是一个特殊情况，权为2m-1位的1既代表 符号又表示数值）。 例：设m=8，则原码表示范围为_____________，反码表示范围 是____________，补码的表示范围是______________。 -127 ~ +127 -127 ~ +127 -128 ~ +127

41. 2数据与编码 非数值信息的表示 非数值编码的概念 在计算机内部，非数值信息也是采用“0”和“1”两个符号来进行编码表示的。下面着重介绍一下中、西文的编码方案。

42. 2数据与编码 非数值信息的表示 ASCII编码 计算机普遍使用的编码是ASCII编码。ASCII编码是美国标准信息交换码（ American Standard Code for Information Interchange）的缩写，它是将字符用二进制代码表示的编码系统，已经被国际标准化组织ISO采纳，作为国际通用的信息交换标准代码。如下所示

43. 2数据与编码 ASCII码

44. 2数据与编码 非数值信息的表示 ASCII编码 ASCII码是一种七位码，也就是说，每个字节的八位只占用了七位，把最高位置为0。在ASCII码中，一个字节表示一个字符，可以表示26个英文大、小写字母，10个阿拉伯数字，32个专用符号和34个通用控制符号。

45. 2数据与编码 非数值信息的表示 国家标准汉字编码 我国在1980年颁布了计算机处理汉字的编码标准GB2312-80，即信息交换用汉字编码字符集——基本集，简称国标码。 汉字国标码共收录了7445个汉字和图形符号，主要包括以下几部分： （1）按汉语拼音字母顺序排列的一级汉字3755个。 （2）按汉字部首顺序排列的二级汉字3008个。 （3）图形符号682个。

46. 2数据与编码 非数值信息的表示 国家标准汉字编码 国标码用两个字节来表示一个汉字（一个字节显然不够，其最多表示28个字符），每个字节只用后七位，最高位为0。在实际应用中，用四位十六进制数（称为区位码，是用两个字节的二进制转换而来的）来表示一个汉字。计算机汉字输入法中的区位码输入法，就是按照国标码输入汉字的，区位码的高字节称为区号，低字节称为位号。 需要注意的是，在计算机内部进行汉字处理时，不能直接使用国标码，而要将最高位变为1，转换成汉字内码（简称内码）。这样做是为了区别汉字码与ASCII码，当其最高位为0时，表示ASCII，当其最高位为1时，表示汉字码。

47. 2数据与编码 非数值信息的表示 国家标准汉字编码 汉字是一种象形文字，每一个汉字都可以看成是一个特定的图形，这种图形可以用点阵来描述。 例如，如果用16×16点阵来表示一个汉字，则一个汉字图形一行有16个二进制位，一共有16行。由于计算机存储器的每一个字节有八个二进制位，所以16个二进制位相当于两个字节。因此，一个16×16点阵的汉字字形需要2（字节）×16（行）=32个字节存放，这 32个字节中的信息就构成了一个汉字的字模。 所有汉字模的集合就构成了汉字字库。 例：一个24×24点阵的汉字字形需要用多少个字节存放。 × 3（字节） = 72个字节 24（行）

48. 2数据与编码 非数值信息的表示 国家标准汉字编码 计算机要输出一个汉字时，首先要根据该汉字的机内码找出其字模信息在字库中的位置，然后取出汉字的字模信息作为图形在屏幕上显示或在打印机上输出。

49. 小结 1.各种进位制的表示方法； 2.各种进位制之间的相互转换； 3.计算机中采用二进制的优点； 4.位、字节的概念； 5.机器中数的表示； 6.ASCII码表的用法，ASCII码的特点； 7.汉字编码的内码和外码和字形码。