统计学

统计学 天津财经大学统计系

第十二章统计指数 第一节指数的概念和种类 • 第二节综合指数 • 第三节平均指数 • 第四节指数体系与因素分析 • 第五节几种常见的经济指数

第一节指数的概念和种类 • 一、指数的概念 • 二、指数的种类 • 三、指数的作用

一、指数的概念 • 指数（Index）是一种对比分析的指标，是统计指数的简称。 • 从广义上讲，凡是两个数值对比而形成的相对数都可以称为指数。 • 狭义的指数是一种特殊的相对数，它反映的是由数量上不能直接加总的多个个体（或多个项目）组成的现象总体的综合变动程度。 • 狭义的指数是指数理论和方法真正要研究的对象，本章后面主要讨论狭义的指数。

狭义的指数具有以下几个性质 1.相对性。 • 指数是现象在不同时间或不同空间上对比形成的相对数，表示总体数量的相对变动程度。 2.综合性。 • 狭义指数不是反映单一现象的数量变动，而是综合反映多个个体构成的现象总体的数量变动，所以它是一种综合性的指标数值。 3.平均性。 • 狭义指数所反映的只能是一种平均意义上的变动程度，即指数是代表总体中各个体变化程度的一般水平的一个代表性数值。

二、指数的种类 1.按其考察范围不同，指数分为个体指数和总指数。 • 个体指数是反映单个个体或单个项目数量变动的相对数，如某企业某种产品的产量指数、单位成本指数和出厂价格指数都是个体指数。个体指数属于广义的指数。 • 总指数是反映由多个个体或多个项目构成的总体数量综合变动的相对数，如反映某企业多种产品单位成本变动的成本总指数，反映多种商品销售量变动的销售量总指数，反映多种商品价格变动的价格总指数。总指数的计算和分析应用是本章内容的核心。

二、指数的种类（续） 2.按指数化指标的性质不同，指数分为数量指标指数和质量指标指数。 • 在统计指数理论中，指数所要测定其变动程度的指标或变量称为指数化指标。 • 数量指标指数的指数化指标是数量指标。换言之，数量指标指数是反映现象的规模或物量变动的指数，有时也称之为物量指数. • 质量指标指数的指数化指标是质量指标。换言之，质量指标指数是反映现象的相对水平或平均水平变动程度的指数。

二、指数的种类（续） 3.按所时间状况不同，指数可分为动态指数和静态指数。 • 动态指数（时间指数），是同类现象在两个不同时间上的数量对比。 • 根据基期不同，动态指数又可分为环比指数和定基指数。 • 静态指数是现象在同一时间上的数量对比。主要包括：空间指数，计划完成情况指数

三、指数的作用 第一，综合反映现象总体变动的方向和程度。 • 如要了解股票价格的整体走势，关注股票价格指数是最简单有效的。第二，根据现象之间的联系，利用有关指数测定某一现象变动中各个构成因素的影响效应，即对现象总量或总平均数的变动进行因素分析。 • 在分组情况下，总体平均水平的变动也可以分解为各组水平变动的影响和总体结构变动的影响。因而，指数用于对现象总量变动进行因素分析的原理和方法，可以拓展应用于对总体平均水平进行因素分析。

三、指数的作用（续） 第三，利用指数进行有关的推算，或把相互联系的指数数列进行比较，可以观察现象之间的变动关系和趋势。 • 例如，根据物价指数和名义收入可以推算实际收入；比较工业品零售价格指数与农产品收购价格指数这两个指数数列，可以说明工农业产品综合比价的变化趋势。第四，随着指数法在实际应用中的发展，运用指数还可以对多指标的变动进行综合测评。 • 如综合经济效益指数、综合国力指数、企业竞争力指数等等。

第二节综合指数 • 一、综合指数编制原理 • 二、拉氏指数和帕氏指数 • 三、其他形式的综合指数

一、编制综合指数的基本原理 （一）编制综合指数的基本思路 • 综合指数是设法将各个个体的数量先综合以后再通过两个时期的综合数值对比来计算的总指数。 • 指数发展史上，最初的综合指数采用简单综合法，把多个个体的数量简单加总后对比。这种方法有很明显的缺陷： • 首先，没有考虑权数，忽视了各种商品重要性的差别； • 其次，不同商品的价格不能直接相加，因为它们的计量单位不同，而且简单综合的结果受计量单位变化的影响。 • 多个个体的具体内容和度量单位不同（统计上称这些个体是不同度量的），它们的数量不能直接加总，为了综合反映它们的数量变动，首先必须解决加总或综合的问题，即必须找到一种因素将各个个体的数量综合起来。

（一）编制综合指数的基本思路（续） • 如编制销售量总指数时，由于各种商品的销售量不能直接加总，必须找到一个因素将不同度量的销售量转化为同度量的、可加总的数值。 • 对销售量起同度量作用的因素就是各种商品的销售价格。 • 因为通过价格可将销售量转化为可加总的销售额，价格还起到了权数的作用； • 为了测定销售量的变动程度，还必须设法让价格固定不变，即在计算基期销售总额和报告期销售总额时，均采用同一时间上的价格。

编制多种商品的价格总指数时，各种商品的价格也是不同度量的，不能直接加总对比。编制多种商品的价格总指数时，各种商品的价格也是不同度量的，不能直接加总对比。 • 价格是指单位商品的价格，其计量单位总是随着商品的计量单位不同而不同的，只有与它们各自的销售量相乘，才能得到同度量的数值。 • 其次，各种商品价格变动对价格总水平变动的重要程度究竟是多少，应该用它们的销售量来衡量。 • 计算价格总指数时，引入销售量既解决了加总的问题，也起到了权数的作用。 • 为了只反映价格的变动，也必须使销售量固定不变，即在计算基期销售总额和报告期销售总额时，均采用同一时间上的销售量。

综上所述，编制综合指数的基本原理有两个要点：综上所述，编制综合指数的基本原理有两个要点： • 找到能够使全部个体的数量得以综合起来的因素。 • 在指数理论中称之为同度量因素，因为它起着同度量化的作用，能够把不同使用价值或不同内容的数值转化为同度量的数值。 • 通常也称之为综合指数的权数，因为它具有权衡各个个体重要性的作用。 • 引入了同度量因素的综合指数通常被称为加权综合指数。 • 固定同度量因素。 • 其目的在于使在两个不同时间（或空间）上的综合总量对比的结果，只反映指数化指标的变动，而不受同度量因素（权数）变动的影响。

（二）同度量因素的确定 第一，根据现象之间的内在联系来选择作为同度量因素的指标. • 同度量因素就必须要与所测定的指数化指标有内在联系，即二者相乘要有实际经济意义，而且不同个体的这种乘积是同度量的、可加总的数值；作为权数，同度量因素要恰如其分地反映各个个体的重要性，也要求它能够反映指数化指标变动给有关现象所带来的实际影响。 • 许多现象可以分解为数量指标 q 和质量指标 p 两因素的乘积： • 商品销售额(qp)=销售量(q)×销售价格(p) • 产品总产值(qp)=产量(q)×出厂价格(p) • 上述乘积（qp）常常是一个价值量指标（也可以是其他形式的指标，但对所考察的总体而言必须同度量、可加总），于是，数量指标 q 和相应的质量指标 p 互为同度量因素。即： • 编制数量指标指数时，同度量因素是一个与之对应的质量指标 q； • 编制质量指标指数时，同度量因素是一个与之对应的数量指标 p。

（二）同度量因素的确定（续） 第二，同度量因素的确定还要取决于指数分析的目的。 • 例如，计算产品产量综合指数时，通常以产品的出厂价格作为同度量因素，也可以用产品的单位成本作为同度量因素。但两种计算结果的意义有一定差别的。 • 当同度量因素不只一个时，到底选择哪一个，应视具体目的而定。最后，确定同度量因素所属的时间 • 理论上，同度量因素固定在任一时间均可，可以是基期、报告期、或其他时间。 • 同度量因素所属时间的选择不同，不仅是所计算的数值有差异，而且指数所表示的经济意义也略有不同。 • 同度量因素固定在什么时间，应该视研究目的、指数化指标的性质以及有关指数之间的平衡关系等要求而定。

综合指数的基本公式 • 若以I表示总指数， q、p分别代表数量指标和质量指标，下标 0和 1 分别代表基期和报告期，下标 m表示同度量因素所属的时间。 Iq和Ip分别表示数量指标总指数和质量指标总指数，则综合指数的基本公式可写为: • 正因为对同度量因素所属时间的选择不同（m=0,1或其他）,才由综合指数的基本公式衍生出了多个不同的指数计算公式，其中最主要、最常用的是拉氏指数和帕氏指数。

二、拉氏指数和帕氏指数 （一）拉氏指数 • 德国经济学家拉斯贝尔斯（E.Laspeyres）1864年提出了把销售量固定在基期的价格指数，该方法后来被推广到其他各种综合指数的计算，习惯上把同度量因素固定在基期水平上所编制的综合指数都统称为拉氏指数。 • Iq和 Ip的拉氏指数计算公式分别为：

【例12-1】 • 某公司三种商品基期和报告期的销售量和价格资料如表12-1所示，试求这三种商品的拉氏销售量指数和价格指数。 • 已知资料：

【例12-1】解 解：（1）拉氏销售量指数： • 计算结果表明，报告期与基期相比，该公司三种商品的销售量平均增长12.42％。 • 该指数同时也可以反映销售量变动对销售总额的影响，即： • 按基期价格来计算，销售量变动使销售总额增加12.42％; • 由于销售量变动而使销售总额增加的数额为：

（2）拉氏价格指数： • 计算结果表明，报告期与基期相比，该公司三种商品的价格平均上升了3.45％。 • 同时，这一结果也反映了价格变动对销售总额的影响，即: • 按基期销售量来计算，由于价格变动使销售总额增加3.45％; • 由于价格变动而使销售总额增加的数额为：

（二）帕氏指数 • 德国经济学家帕歇（H.Paasche）1874年提出以报告期物量加权来计算物价指数。这种方法也被广泛应用于其他各种综合指数的计算。所以，统计上把同度量因素固定在报告期所计算的综合指数称为帕氏指数。 • Iq和 Ip的帕氏指数计算公式分别为：

【例12-1】 • 根据表12-1的资料，试计算这三种商品的帕氏销售量指数和价格指数。 • 解：（1）帕氏销售量指数： • 由上述计算结果可知：报告期与基期相比， • 该公司三种商品的销售量平均增长12.03％； • 按报告期价格来计算，由于销售量变动使销售总额增加12.03%，即由于销售量变动而使销售总额增加的数额为：

计算结果表明：报告期与基期相比， • 该公司三种商品的价格平均上升了3.1％。； • 按报告期销售量来计算，由于价格变动使销售总额增加 3.1％，亦即由于价格变动而使销售总额增加的数额为：（2）帕氏价格指数：

（三）拉氏指数和帕氏指数的比较 • 拉氏指数将同度量因素固定在基期水平上，在定基指数数列中，各期指数不受权数结构变动影响，因而可比性更强。帕氏指数将同度量因素固定在报告期水平上，无论是在定基指数数列中还是在环比指数数列中，权数结构都会随报告期而改变，因而会使各期指数的可比性受到影响。

（三）拉氏指数和帕氏指数的比较(续） • 二者的具体经济意义有一定差别的。相比之下，帕氏指数立足于报告期，其分析具有更强的现实性。 • 例如，拉氏价格指数是在基期销售数量和结构的基础上来考察价格的变化及其对销售总额变动的影响，从消费者的角度可以说明：为了维持基期消费水平或购买基期那么多的商品，由于价格变化将会使消费支出增减多少。 • 帕氏价格指数则是在报告期销售数量和结构的基础上来考察价格的变化及其对销售总额变动的影响，它可以说明由于价格变化而使消费者报告期所购买的商品增减了多少消费支出，或反映由于价格变化而使销售者报告期所出售的商品增减了多少销售收入。

（三）拉氏指数和帕氏指数的比较 • 由于权数不同，依据同一资料计算的拉氏指数和帕氏指数的计算结果通常会存在差异， • 除非所有个体的变动程度相同或权数结构不变。 • 一般情况下，拉氏指数>帕氏指数。 • 这一结论成立的条件是：所考察的数量指标个体指数与质量指标个体指数之间存在负相关关系，这包括以下两种情况： • ①两者的绝对水平呈反方向变化关系； • ②两者的绝对水平虽然是同向变化的，但它们的变化速率呈现反方向变化关系，亦即其中一个指标上升(或下降)速率加快时，另一个指标的上升(或下降)速率却减缓。 • 实际应用中，数量指标指数的计算较多采用拉氏指数公式，而质量指标指数的计算较多采用帕氏指数公式。

三、其他形式的综合指数 （一）马埃指数和理想指数 • 指数理论中，一般认为拉氏指数存在高估实际变动程度的倾向，帕氏指数则相反，因此产生了将二者折中的多种指数计算公式。 1. 马埃指数 • 马埃指数是将同度量因素固定在基期和报告期的平均水平，其具体计算公式为：

2. 理想指数 • ——帕氏指数和拉氏指数的几何平均数。 • 费希尔（I. Fisher）论证了该指数具有优良的性质，称之为理想指数，故该指数也称为费希尔指数，其计算公式为：【例12-2】根据表12-1的资料，试分别由马埃指数和理想指数的公式来计算三种商品的销售量总指数和价格总指数。

（二）杨格指数 杨格指数——将同度量因素固定在特定时间的综合指数 • 英国学者杨格（A.Yaung）提出一种将同度量因素固定在特定时间的指数计算公式，故该指数也称为杨格指数。 • 在新中国成立后长达五十余年的政府统计工作中，工（农）业产品物量指数的计算就采用了这种方法，即作为同度量因素的价格既不是基期价格，也不是报告期价格，而是某一年份的不变价格（pn）。有关问题详见后面第六节中的“工业生产指数”。

第三节平均指数 • 平均指数编制原理 • 加权算术平均数指数 • 加权调和平均数指数

一、编制平均指数的基本原理 • 平均指数的基本原理: • 先计算出个体指数，再将个体指数加以平均即可求得总指数，这种方法计算的总指数也称之为平均指数。由于各个个体指数的重要性不同，所以平均指数通常需要加权。 • 编制平均指数有两大问题： • 采用哪种平均法？ • 算术平均法计算较为简便，也比较直观，所以其应用较为普遍。 • 根据所掌握的数据和服从研究目的之需要，调和平均法和几何平均法也有一定的实用价值。 • 权数如何确定？ • 既要考虑实际经济意义，又要考虑获取资料的可行性和简便性。 • 通常采用的权数主要有基期总值 (q0p0)、报告期总值(q1p1)和固定权数（w）等三种。

二、算术平均指数 • 算术平均指数是将个体指数（q1/q0或p1/p0）进行算术平均来求得的总指数，其权数一般有基期总值(q0 p0)和固定权数（w）两种。（一）基期总值加权的算术平均指数 • 上式中，w0为基期总值的比重，即∑w0=1,

【例12-3】 • 根据表12-1的资料，利用算术平均指数的公式计算三种商品的销售量总指数和价格总指数. • 解：先计算销售量个体指数（q1/q0分别为107.5%，126.19%和111.25%）及价格个体指数（p1/p0分别为110%，87.5%和104.44%）。再以基期销售额加权，可得销售量总指数和价格总指数如下：

（二）固定权数的算术平均指数 • 统计实践中编制算术平均指数时，常常将权数（通常是指比重权数）相对固定，即在较长时间保持不变。其计算公式为： • 式中，w 为固定比重权数，Σw=1（100%或1000‰）。 • 固定权数的平均指数具有很多优越性，它不仅计算简便，而且也排除权数变动对总指数的影响，还可以很方便地进行环比指数与定基指数之间的推算。我国居民消费价格指数就是采用这种方法编制的。

三、调和平均指数 • 调和平均指数是将个体指数（q1/q0 或 p1/p0）进行调和平均来求得的总指数，通常采用报告期总值(q1 p1) 为权数。其计算公式为：

【例12-4】 • 根据表12-1的资料，利用调和平均指数的公式来计算三种商品的销售量总指数和价格总指数。 • 解： • 当个体指数与其对应权数两者的计算范围都完全一致时，报告期总值加权的调和平均指数是帕氏综合指数的变形，二者只是计算形式不同，而计算结果和经济意义都完全相同。

四、几何平均指数 • 几何平均指数就是对个体指数计算几何平均数。以价格总指数的计算为例，若不加权，即为简单几何平均指数，其计算公式为：简单几何平均指数: 加权几何平均指数: • 例如，我国编制消费者价格指数时，由多个代表规格品价格变动计算基本分类的价格指数就采用的是简单几何平均指数。 • 中国人民银行总行编制批发物价指数（WPI）时就采用了加权几何平均指数的方法。

第四节指数体系与因素分析 • 一、指数体系的概念 • 二、两因素指数分析 • 三、多因素指数分析 • 四、平均指标变动的因素分析

一、指数体系的概念 • 广义的指数体系是一种指标体系，泛指若干个在内容上相互联系的指数所形成的体系。 • 例如，国民经济的生产、流通和使用各再生产环节中，各种总值指数（如国内生产总值指数、进出口总额指数等），物量指数（如工业生产指数、存货指数、商品出口量指数等）和价格指数（如投资价格指数、消费品零售价格指数、出口商品价格指数等），构成了国民经济核算指数体系。 • 又如，股价指数、债权价格指数和证券投资基金价格指数共同构成了三位一体的证券市场价格指数体系。

一、指数体系的概念 • 狭义的指数体系是指几个有关指数所结成的数量关系式。 • 表现为：一个总量指数等于它的各个因素指数的乘积。 • “总量指数”通常是价值总量指数（常简称为总值指数），例如： • 销售额指数=销售量指数×销售价格指数 • 总成本指数=产量指数×单位成本指数 • 原材料消耗总额指数=产量指数×单耗量指数×原材料价格指数 • “总量指数”也可以是指实物总量指数，例如： • 某材料消耗总量指数=产品产量指数×单位产品材料消耗量指数 • 粮食总产量指数=播种面积×单位面积粮食产量 • 指数体系都是以客观现象之间的内在联系为基础的.

指数体系的主要作用 • 其一，用于指数之间的推算，即根据指数体系，利用已知指数推算未知指数。 • 例如，本期与去年同期相比，居民消费的价格水平上涨3%，居民消费总额增加了8%，则居民消费数量指数为108%÷103%=104.85%. • 其二，用于因素分析，即以指数体系为基础，分析现象的总变动中各个因素的影响作用。 • 总指数不仅能够反映指数化指标的综合变动程度，也反映了指数化指标变动对相应总量的影响程度，其分子与分母之差则表表示这种影响的绝对数量； • 不仅适合于两因素分析，也适合于多因素分析； • 不仅适合于对总量变动的分析，也适合于对总平均数（或相对数）变动的分析。

二、对总量的两因素指数分析 • 实际分析中，比较常用的指数体系由拉氏数量指标指数和帕氏质量指标指数相乘构成。 • 因素分析的一般步骤： • 首先计算现象总量指数和总量变动的绝对差额； • 其次分别计算各个因素指数及其分子分母之差，用以反映各个因素对所研究总量变动的影响程度和影响数量； • 最后将以上分析进行综合和验证，作出文字分析说明。

销售额增减额 = =275370 -237600=37770(元) (2)销售量总指数: 销售量变动的影响额= 【例12-5】 • 根据表12-1的资料，对三种商品销售总额的变动进行因素分析。解：(1) 销售总额指数:

(3)价格总指数: 价格变动的影响额= (4)三者之间的数量关系为： 115.9％=112.42％×103.1％ 37770(元)= 29500(元)+ 8270(元) 计算结果表明，三种商品的销售总额增长了15.9％，即增加37770元。其中，由于三种商品的销售量平均增长12.42％，使销售额增长12.42％，即增加29500元；又由于三种商品的价格平均上升了3.1％，使销售额相应上升了3.1％，即增加8270元。

个体指数体系用于因素分析 • 若要分析单一个体的总量变动（如一种商品的销售额变动或一种产品总成本的变动），所依据的是个体指数体系。 • 进行相对数分析时，不需要同度量因素； • 进行绝对数分析时，同样必须考虑与之对应的数量指标或质量指标。 • 可将个体指数体系视为总指数体系的特例，依据个体指数体系进行因素分析的方法和步骤都与上述基于总指数体系的分析一致，只是计算公式中各项都不必含符号“Σ”，即：

三、对总量的多因素指数分析 当所研究的现象分解为三个或三个以上因素的乘积时，分析各个因素变动对该现象总变动的影响就属于多因素分析。指数体系用于多因素分析的要点： 1.要测定其中某个因素的影响时，必须将其余所有因素都要固定下来。 2.一般将数量指标固定在报告期，将质量指标固定在基期。 • 在多因素分析中，数量指标与质量指标的划分不是绝对的，而是两两相对的，要根据指标的内容和各因素之间的联系来判断。

3.各因素的排列顺序要体现指标之间的相互关系，即要保证相邻指标两两相乘都有经济意义。3.各因素的排列顺序要体现指标之间的相互关系，即要保证相邻指标两两相乘都有经济意义。 • 通常的顺序是先基础指标，后派生指标；或先数量指标（外延指标）,后质量指标（内涵指标）。例如： • 材料消耗总额＝产量×单位产品消耗量×材料价格 • 农作物总收益=播种面积×单位面积产量×农作物价格×销售收益率

将a0替换为a1 将b0替换为b1 将d0替换为d1 将c0替换为c1 连锁替代法 • 多因素的指数分析方法也常常被称为“连锁替代法”。 • 依次替代个因素，将每次替代后与替代前的两个总量进行对比，所得指数即可测定此次替代因素对所研究现象总量的影响程度，这两个总量的差额也就反映此次替代因素的绝对影响量。 • 设所研究现象总量W=a×b×c×d。连锁替代法的过程如下：

统计学

统计学

Presentation Transcript