1 / 20

二次函数

二次函数. Y=ax 2 +bx+c. 二次函数的定义： 形如 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ， a 、 b 、 c 是常数）， y 叫做 x 的二次函数。. 二次函数的一般形式： y=ax 2 +bx+c (a≠0). y=ax 2 +bx (a≠0 ， c=0) y=ax 2 +c (a≠0 ， b=0) y=ax 2 (a≠0 ， b=0 ， c=0). 二次函数的图象及性质： y=ax 2 +bx+c. =a （ x+ ） 2 +. 配方后二次函数的几种形式.

bly
Download Presentation

二次函数

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 二次函数 Y=ax2+bx+c

  2. 二次函数的定义： 形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）， y叫做x的二次函数。 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c (a≠0) y=ax2+bx (a≠0，c=0) y=ax2 +c (a≠0，b=0) y=ax2 (a≠0，b=0，c=0)

  3. 二次函数的图象及性质：y=ax2+bx+c =a（x+ ）2+ 配方后二次函数的几种形式 y=ax2顶点坐标（0，0）对称轴x=0 y=ax2+c 顶点坐标（0，c）对称轴x=0 y=a（x–h）2 顶点坐标（h，0）对称轴x=h y=a（x–h）2 +k 顶点坐标（h，k）对称轴x=h y= –x2 顶点坐标（0，0）对称轴x=0 y= –x2+3 顶点坐标（0，3）对称轴x=0 y= –（x–2）2顶点坐标（2，0）对称轴x=2 y= –（x–2）2 +3 顶点坐标（2，3）对称轴x=2

  4. y x 0 x y 0

  5. 例题分析: 把y= x2–x –4化成y=a(x –h)2+k 的形式后回答右边十个问题。 解：y= （x2–2x –8） = （x–1）2– 7) 当x___时， y随x的增大而增大 当x___时， y随x的增大而减小 8) 当x___时，y>0 当x___时，y=0 当x___时，y<0 9) 图像的顶点和它与x轴的两 个交点围成的三角形面积 ____ 10) 四边形OBPA的面积为 _______ 讨论回答 1）图象_______ 2) 开口方向 ____ 3) 顶点坐标____ 4) 对称轴______ 5) 函数有最___值, 其值是___ 6) 图象与x轴的交点坐标_____ 与y轴的交点坐标_____

  6. a、b、c的符号对图象的影响 开口向上 开口向下 对称轴在y轴右侧 对称轴在y轴左侧 对称轴是y轴 图像与y轴的交点在x轴下方 图象与y轴的交点在x轴上方 图像过原点

  7. △的符号决定图象与x轴交点的个数 图象与x轴有两个交点 图象与x轴无交点 图象与x轴有一个交点

  8. 例1 填空： 1)、 已知：二次函数y=2x2—mx—1的图象过 （2，3）点，则m=_________ 2）、当m=_________时， 函数y=(m2+m)x m-2m-1是二次函数。 3）、已知：二次函数y=–x2+2(m–1)x+2m–m2 (1) 当函数的图象过原点时，m的值______ (2) 如果函数的图象关于y轴对称，那么函数的 解析式为__________________ 2

  9. 例2抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，确定下列各式的符号：① a；② b；③ c；④ △=b2-4ac；⑤ a+b+c；⑥ a–b+c 解：① ∵开口向下 ∴a<0 ② ∵ >0 ∴a、b异号 ∵a<0 ∴b>0 ③ ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方 ∴c>0 ④ ∵抛物线与x轴有两个交点 ∴△=b2-4ac>0 ⑤ 当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c ∴ a+b+c>0 ⑥ 当x=–1时，y=ax2+bx+c=a–b+c ∴ a–b+c<0 -1 1 0 y x

  10. 二次函数的解析式 求二次函数的解析式涉及两大类，第一大类是根据题意，用待定系数法确定二次函数的解析式，第二大类是根据实际问题的条件或图形的性质确定函数的关系式，我们将系统的研究这两大类问题。 根据题目的条件，用待定系数法确定函数的解析式，常见的有以下三种形式： (1)一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) (2)顶点式 y=a(x－h)2+k(a≠0) (3)两根式 y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)

  11. 求二次函数的解析式，书上只是介绍了相当于三点求解析式。求二次函数的解析式，书上只是介绍了相当于三点求解析式。 如已知：抛物线y= ax2+bx+c (a≠0)满足以下条件，求二次函数的解析式。 （1）图象经过三点A(0,1) B(1,－2) C(2,－1) （2）图象经过两点A(1,0) B(0,－3) ， 且对称轴 x=2 （3）图象的顶点是（－2，3）且过（－1，5）点 （4）图象与x轴交于（－2，0）和（4，0）点， 且函数最大值是9。 请同学们展开讨论，灵活确定解题方法求出二次函数的解析式，最后把（4）作为例题用三种方法展示给学生。

  12. 方法一：根据题意 ∴所求二次函数的解析式为y=－x2+2x+8 方法二：∵函数的图像与x轴的两个交点为（－2，0），（4，0） 根据二次函数的对称性得x=1 ∴顶点坐标为（1，9） 设二次函数的解析式为y=a(x－h)2+k 0=a(4－1)2+9 a=－1 ∴y=－(x－1)2+9 y=－x2+2x+8 ∴所求二次函数的解析式为y=－x2+2x+8

  13. 方法三： ∵函数的图像与x轴的两个交点坐标为（－2，0），（4，0） ∴x=－2 x=4是方程 ax2+bx+c=0的两个根 设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x－4) 根据二次函数的对称性x=1 ∴顶点坐标为（1，9） ∴9=a(1+2)(1－4) a=－1 ∴y=－(x+2)(x－4) y=－x2+2x+8 所求二次函数解析式是y=－x2+2x+8 通过此题使学生能够灵活确定解题方法，使求二次函数解析式的方法更简单

  14. 方法一：两个函数图象交于（2，m）(n，3)两点 ∴m=0 n=5 ∴两个交点为（2，0）（5，3） 根据题意 所求二次函数解析式是y=x2－6x+8 第二问略 例2:已知：直线y=x－2与抛物线y=ax2+bx+c的图象交于（2，m）(n，3)两点，且抛物线以x=3为对称轴 （1）求抛物线的解析式 （2）在同一坐标系中做出两个函数的图象

  15. 方法二；设二次函数解析式是y=a(x－x1)(x－x2) ∵x=3且抛物线与x轴交于（2，0）点， 故另一点的坐标为（4，0） ∴3=a(5－2)(5－4) ∴a=1 ∴y=(x－2)(x－4) ∴y=x2－6x+8

  16. 例3：已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点 A(2,4)其顶点横坐标为 它的图像与x轴的交点为B(x1,0) C(x2,0)且x12+ x22=13 （1）求此函数解析式 （2）在x轴上方的抛物线上是否存在D点，使得 S⊿ABC=2S⊿DBC如果存在，请求出所有 满足条件的点D，如果不存在，说明理由。

  17. 二次函数的解析式 关于求二次函数的解析式，正如上面所说，可分为两大类，一类是上面讲的根据题目的条件，用待定系数确定函数的解析式，另一类就是根据实际问题或图形的性质列函数关系，充分做到以图识性，以性识图。请看例题

  18. A D Q C B P 例1：如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm,在BC边上取一点P(P与B，C两点不重合)，在DC边上取一点Q，使∠APQ=90° （1）设BP的长为x，CQ的长为y，写出y与x之间的 函数关系 （2）画出函数图像，说明P在什么位置时，CQ的值 最大

  19. 课堂练习： 如图：⊿ABC中，BC=4， AC= ∠ ACB=60° P为BC上一点，过点P作PD∥AB 交AC于D，连结AP，设PB=x， S⊿APD=y 求：（1）y与x之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。 （2）y的最大值或最小值 C D P A B

  20. 谢谢

More Related