14 多重積分

1. 14 多重積分 Multiple Integration

2. 14.1 逐次積分和平面上的面積 14.2 重積分和體積 14.3 積分變數變換：極坐標 14.4 質心和慣性矩 14.5 曲面面積

3. P.615 Ch14 多重積分 14.1 逐次積分和平面上的面積(Iterated integrals) 例 1對y積分 計算　　　　　　　　。 解x 看成常數，對 y 積分得到

4. P.615 Ch14 多重積分 例 2積分的積分 計算　　　　　　　　 。 解　利用例 1 的結果，得到

5. 內層的積分上、下限可以是外層的積分變數的函數，內層的積分上、下限可以是外層的積分變數的函數， 但是，外層積分的上、下限卻必須是（相對於兩層積分 的變數而言）常數。內層積分完畢後，我們得到一個以 前學過的「標準」定積分（見第 4 章），第二次積分會 得出一個實數。一個逐次積分的上、下限事實上給出了 相關變數的兩組閉區間，以例 2 為例，外層積分的上、 下限說明 x 要在區間 1 ≤x ≤ 2 之中；而內層積分的上、 下限則說明 y 要在 1 ≤ y ≤ x 這個區間之中。這兩個聯立 不等式決定了這個逐次積分的積分區域 R，如圖14.1 所 示。 P.615 Ch14 多重積分 逐次積分(Iterated integrals)

6. P.615 Ch14 多重積分 圖14.1的積分區域。

7. 1. 如果 R 由聯立不等式 a ≤x ≤ b 和 g1(x) ≤ y ≤ g2(x) 定義，式中 g1和 g2是 [a, b] 上的連續函數，則 R 的面積等於下列定積分 2. 如果 R 由聯立不等式 c ≤ y ≤ d 和 h1(y) ≤ x ≤ h2(y) 定義，式中 h1和 h2是 [c, d] 上的連續函數，則 R 的面積等於下列定積分 P.616 Ch14 多重積分 平面區域的面積(Area of a plane region)

8. P.616 Ch14 多重積分 圖14.2鉛直單純區域。

9. P.616 Ch14 多重積分 圖14.3水平單純區域。

10. P.617 Ch14 多重積分 例 3長方形區域的面積 以逐次積分表圖14.4 中長方形的面積。 解　圖14.4 中的區域既是鉛直單純形又是水平單純形， 所以積分的順序可以任意，我們選擇 dy dx 而得到下式 注意到這個結果與熟知的長方形面積公式是一樣的。

11. P.617 Ch14 多重積分 圖14.4

12. P.617 Ch14 多重積分 例 4以逐次積分求面積 以逐次積分求以下列圖形為界的區域面積。 f (x) = sin x g(x) = cos x x =π/4 和 x = 5π/4 。 解　由於 f 和 g 都是 x 的函數，考慮鉛直的樣本長方形 較方便，故選擇積分的順序為 dy dx，如圖14.5 所示。 外層積分的上下限是π/4 ≤ x ≤ 5π/4，並且由於小長方 形的上界是 f (x) = sin x，下界是 g(x) = cos x，因此得到

13. P.617 Ch14 多重積分 圖14.5

14. P.618 Ch14 多重積分 例 5比較不同順序的積分 描繪面積是 的積分區域，並以不同順序各積 一次來比較結果。 解　由內、外層積分上、下限可看出區域 R 由聯立不 等式 y2≤ x ≤ 4 ， 0 ≤ y ≤ 2 所定義，如圖14.6(a) 所示。 積分值是 若要將積分的順序改成 dy dx，先在區域上架一個鉛直 的長方形樣本，如圖14.6(b) 所示。

15. 從圖可以看出外層積分的上、下限是由 x 的常數不等式 0 ≤x ≤ 4 決定。再以 x 解方程式 x =y2，可以看出內層 的上、下限是由 y 的（x 變數）不等式0 ≤ y ≤ 決定。 所以，此區域的面積也可以下列積分計算 計算過程如下： 我們得到相同的答案 16/3。 P.618 Ch14 多重積分 例 5（續）

16. P.618 Ch14 多重積分 圖14.6

17. P.619 Ch14 多重積分 例 6以兩個逐次積分計算面積 區域 R 在拋物線 y = 4x – x2 之下，x 軸和直線 y = –3x + 6 之上，求區域 R 的面積，見圖14.7。 解　先將 R 分成 R1和 R2兩個子區域。在子區域上，各 架一個鉛直的樣本長方形來決定內層積分的上、下限， 結果如下

18. P.619 Ch14 多重積分 例 6（續） 面積是15/2 平方單位。

19. P.619 Ch14 多重積分 圖14.7