第四章 不定积分

1. 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法 第四节 有理函数的积分 第五节 积分表的使用 扬州环境资源职业技术学院基础部

2. 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 扬州环境资源职业技术学院基础部

3. 一、原函数与不定积分的概念 原函数： I 如果在区间 内，可导函数的导函数为 即 都有 或 f(x) dF(x)=f(x)dx F(x) 那么函数 就称为 或 在区间 内原函数. f(x)dx I 不定积分： I 在区间 内，函数 的带有任意常数项的原函数 I 称为 在区间 内的不定积分，记为 . 扬州环境资源职业技术学院基础部

4. 被积函数 任意常数 积分号 积分变量 注解 ① ② 被积表达式 扬州环境资源职业技术学院基础部

5. 原函数存在定理 I 如果函数 在区间内连续，那么在区间I内存在可导函数 F(x) 使 ，都有 注解 连续函数一定有原函数. ① 原函数不唯一 ② 的全体原函数组成的集合 ③ 或 扬州环境资源职业技术学院基础部

6. 例1 求 解： 当 时， ， 是 在 内的一个原函数 内 即在 当 时， ， 是 在 内的一个原函数 内 即在 扬州环境资源职业技术学院基础部

7. 例2 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解： 设曲线方程为 根据题意知 即 是 的一个原函数 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 注解 ① 积分曲线。 函数 的原函数的图形称为 的 ② 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. ③ 扬州环境资源职业技术学院基础部

8. 二、 基本积分表 积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 是常数); 扬州环境资源职业技术学院基础部

9. 扬州环境资源职业技术学院基础部

10. 例3 求积分 解： 根据积分公式（2） 扬州环境资源职业技术学院基础部

11. 三、 不定积分的性质 性质1设函数 及 的原函数存在，则 性质2设函数 的原函数存在， 为非零常数，则 注解 ① 性质1可推广到有限多个函数之和的情况 ② 往往利用性质对被积函数都需要进行恒等变形， 才能使用基本积分表. 扬州环境资源职业技术学院基础部

12. 例4 求 解： 例5 求 解： 例6 求 解： 扬州环境资源职业技术学院基础部

13. 例7 求 解 扬州环境资源职业技术学院基础部

14. 例8 求 解 扬州环境资源职业技术学院基础部

15. 例9 求 解 扬州环境资源职业技术学院基础部