复变函数 第 1 讲

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2. 复变函数

3. 复变函数的理论和方法在数学, 自然科学和工程技术中有着广泛的应用, 是解决诸如流体力学, 电磁学, 热学, 弹性理论中的平面问题的有力工具. 而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展,丰富了它的内容.

4. 第一章 复数与复变函数

5. 自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象. 由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算, 本章将在原有的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.

6. §1 复数及代数运算

7. 1. 复数的概念 • 在实数范围, 方程 • x2=-1 • 是无解的. 因此引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定 • i2 =-1 • 从而i是方程x2=-1的一个根. • 对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 • x=Re(z), y=Im(z)

8. 当x=0,y0时, z=iy称为纯虚数; 当y=0时z=x+0i, 将其看作是实数x.例如复数3+0i可看作实数3.两个复数相等, 是指的它的实部和虚部分别相等. 复数z=0, 是指的实部和虚部都是0.与实数不同, 一般说来, 任意两个复数不能比较大小.

9. 2. 复数的代数运算 两个复数z1=x1+iy1, z2=x2+iy2的加法, 减法和乘法定义为(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2)+i(y1y2) (1.1.1)(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) (1.1.2)称上面二式右端为z1,z2的和,差与积当z1,z2为实数时, 上二式与实数的运算一致.

10. 称满足z2z=z1 (z20)的复数z=x+iy为z1除以z2的商,

11. 复数运算满足交换律,结合律和分配律: • z1+z2=z2+z1 • z1z2=z2z1 • z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3) • z1(z2z3)=(z1z2)z3 • z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

12. 把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,与z共轭的复数记作z把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,与z共轭的复数记作z

13. 例1 设z1=5-5i, z2=-3+4i, 求 与 [解] 所以

14. 例2 设 求Re(z), Im(z)与 [解] 所以

15. 例3 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2为两个任意复数, 证明 [证] 或

16. §2 复数的几何表示 • 1. 复平面 由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x,y)碓一确定, 所以对于平面上的直角坐标系, 复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系, 从而复数z=x+iy可以用该平面上的坐标为(x,y)的点来表示, 这是复数的一个常用表示方法. 此时, x轴称为实轴, y轴称为虚轴, 两轴所在的平面称为复平面或z平面. 这样, 复数与复平面上的点成一一对应, 并且把"点z"作为"数z"的同义词, 从而使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数问题.

17. 在复平面上, 复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应, 因此复数z也能用向量OP来表示. 向量的长度称为z的模或绝对值, 记作 y P y z=x+iy |z|=r q x x O

18. 显然, 下列各式成立 y P y z=x+iy |z|=r q x x O

19. 在z0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的幅角, 记作Arg z=q这时, 有 y P y z=x+iy |z|=r q x x O

20. 任何一个复数z0有无穷多个幅角, 如果q1是其中的一个, 则Arg z=q1+2kp(k为任意整数) (1.2.3)给出了z的全部幅角, 在z(0)的幅角中, 将满足 -p<q0p的q0称为Arg z的主值, 记作q0=arg z y P y z=x+iy |z|=r q x x O

21. 当z=0时, |z|=0, 而幅角不确定.arg z可由下列关系确定:

22. 由复数运算法则, 两个复数z1和z2的加减法和相应的向量的加减法一致. y x O z1+z2 z2 z1 成立不等式 |z1+z2||z1|+|z2| (三角不等式), (1.2.5)

23. 减法: y x O z2 z1 z1-z2 -z2 |z1-z2|||z1|-|z2|| (1.2.6)

24. 一对共轭复数z和z在复平面内的位置是关于实数轴对称的, 因而|z|=|z |, 如果z不在负实轴和原点上, 还有arg z = -argz y x O

25. 利用直角坐标与极坐标的关系:x = r cosq, y = r sinq,可以将z表示成三角表示式:z = r(cosq +i sinq), (1.2.7)利用欧拉公式eiq=cosq +i sinq得指数表示式:z=r eiq (1.2.8) y P y z=x+iy |z|=r q x x O

26. 例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式. [解] 1) z在第三象限, 因此 因此

27. 2) 显然, r=|z|=1, 又 因此

28. 例2 设z1,z2为两个任意复数, 证明: [证]

29. 2) 两边开方, 即得所要的三角不等式.

30. 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.

31. 例3 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.[解]通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为 因此, 它的复数形式的参数方程为 z=z1+t(z2-z1). (-<t<+)

32. 由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2-z1). (0t1) 取 , 得知线段 的中点为

33. 例4 求下列方程所表示的曲线:

34. [解] 设z=x+iy, 方程变为 y x O -i 为一圆

35. 几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线, 方程为y=-x, 也可用代数的方法求出 y y=-x 2i x -2 O

36. 设z=x+iy, 那末 可得所求曲线的方程为y=-3. y x O y=-3

37. 2. 复球面 N P O S y z x

38. 除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数.取一个与复平面切于原点z=0的球面, 球面上的一点S与原点重合. 通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N. 称N为北极, S为南极.对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作.这样的球面称作复球面.

39. 关于的四则运算作如下规定:加法: a+=+a= (a)减法: a-=-a= (a)乘法: a=a= (a0)

40. 作业 第一章习题 第31页 第1,8,9题

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