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Digitaltechnik

Digitaltechnik. Klaus Becker 2007. S. Q M. Q S. &. &. S. S. R. R. &. &. R. 1. C. Digitaltechnik. Teil 1. Logische Grundoperationen. Aufzugssteuerung. Problem: Ein Aufzug soll sich nur dann nach oben bewegen, wenn der Knopf gedrückt und die Tür zu ist.

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Presentation Transcript

  1. Digitaltechnik Klaus Becker 2007

  2. S QM QS & & S S R R & & R 1 C Digitaltechnik

  3. Teil 1 Logische Grundoperationen

  4. Aufzugssteuerung Problem: Ein Aufzug soll sich nur dann nach oben bewegen, wenn der Knopf gedrückt und die Tür zu ist. Lösung: Nur wenn der Stromkreis geschlossen ist, kann der Motor den Aufzug bewegen. nach H. Bühler: Grundlagen einer Verständigung mit Computern

  5. Binäre Kodierung mit Schaltvariablen Binäre Kodierung: Kodierung mit zwei Werten: 0 / 1 y Schaltvariable x1 x2 Beschreibung von Systemzuständen: x1 = 0: Tür ist offenx1 = 1: Tür ist geschlossen x2 = 0: Schalter ist nicht gedrücktx2 = 1: Schalter ist gedrückt y = 0: Motor ist inaktivy = 1: Motor ist aktiv Systemzustände: Tür ist offen / geschlossen Schalter ist gedrückt / nicht gedrückt Motor ist inaktiv / aktiv

  6. Beschreibung des Systemverhaltens Beschreibung von Systemzuständen: x1 = 0: Tür ist offenx1 = 1: Tür ist geschlossen x2 = 0: Schalter ist nicht gedrücktx2 = 1: Schalter ist gedrückt y = 0: Motor ist inaktivy = 1: Motor ist aktiv y x1 x2 Schalttabelle / Schaltfunktion x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 y 0 0 0 1 „Motor ist aktiv“ genau dann, wenn „Tür ist geschlossen“ und„Schalter ist gedrückt“

  7. Logische Deutung Logische Deutung 0: falsch 1: wahr y Wahrheitswerte x1 x2 logische Verknüpfung von Aussagen aussagenlog. Formel /Schaltterm x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 y 0 0 0 1 y: „Motor ist aktiv“ genau dann, wenn x1: „Tür ist geschlossen“ undx2: „Schalter ist gedrückt“

  8. Technische Lösung – mit Logikgatter Beschreibung von Systemzuständen: x1 = 0: Tür ist offenx1 = 1: Tür ist geschlossen x2 = 0: Schalter ist nicht gedrücktx2 = 1: Schalter ist gedrückt y = 0: Motor ist inaktivy = 1: Motor ist aktiv y x1 x2 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 y 0 0 0 1 x1 UND-Operator & y x2 Kontakt-schalter Motor Und-Gatter

  9. Logik-basierte Systembeschreibung Beschreibung des Systemverhaltens mit einer aussagenlogischen Formel (Schaltfunktion): y x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 y 0 0 0 1 x1 x2 Systemgrößen Systemverhalten x1: „Tür ist geschlossen“x2: „Schalter ist gedrückt“y: „Motor ist aktiv“ „Motor ist aktiv“ genau dann, wenn „Tür ist geschlossen“ und „Schalter ist gedrückt“

  10. Elektronik-Logik-Schichtung Systemgrößen Systemverhalten x1: „Tür ist geschlossen“x2: „Schalter ist gedrückt“y: „Motor ist aktiv“ Logik Elektronik Kontaktschalter x1 & y Motor Kontaktschalter x2 Logikgatter

  11. Problem: Steuerung eines Türöffners Problem: Die Haustür soll sich öffnen, wenn der Türöffner im ersten oder im zweiten Stock gedrückt wird. nach H. Bühler: Grundlagen einer Verständigung mit Computern

  12. Lösung mit ODER-Operator Beschreibung der Systemgrößen mit Schaltvariablen x1: „Türöffner im 1. Stock ist gedrückt“x2: „Türöffner im 2. Stock ist gedrückt“ y: „Türverriegelung ist deaktiviert“ Beschreibung des Systemverhaltens mit logischen Operationen x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 y 0 1 1 1 ODER-Operator x1 1 y x2

  13. Problem: Kühlschrankbeleuchtung Problem: Öffnet man den Kühlschrank, so soll das Licht im Kühlschrank automatisch angehen. nach H. Bühler: Grundlagen einer Verständigung mit Computern

  14. Lösung mit NICHT-Operator Beschreibung der Systemgrößen mit Schaltvariablen x: „Tür ist geschlossen“y: „Licht im Kühlschrank ist an“ Beschreibung des Systemverhaltens mit logischen Operationen x 0 1 y 1 0 bzw. x 1 y NICHT-Operator

  15. Logische Grundoperationen Konjunktion / UND-Operation Disjunktion / ODER-Operation Negation / NICHT-Operation x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 x2 0 1 1 1 x 0 1 x 1 0 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 x2 0 0 0 1 Logik Elektronik x1 x1 & 1 y y x 1 y x2 x2 UND-Gatter ODER-Gatter NICHT-Gatter

  16. Übung Aufgabe: Testen Sie die Gatter zu den logischen Grundoperationen mit Hilfe von Hades. Gatter: [rechte Maustaste: create -> gates -> ...] Eingang: [rechte Maustaste: create -> io -> Ipin(switch)] Ausgang: [rechte Maustaste: create -> io -> Opin (LED)] Verbindungen mit der Maus "ziehen".

  17. Teil 2 Schaltfunktionen und Schaltnetze

  18. Multiplexer – Demultiplexer Ein Problem der Vermittlungstechnik: Zwei Teilnehmer sollen wahlweise ihre Daten (in binärer Form kodiert) über eine gemeinsame Leitung senden. MUX DEMUX 0 1

  19. Funktionale Modellierung Modellierung des Ein-/Ausgabe-Verhaltens (Black-Box-Modellierung): Binäre Daten 1 0 1 MUX DEMUX 0 1 Steuersignal Steuersignal 0 1 d0 d0 MUX DEMUX b b d1 d1 Eingaben Ausgaben Eingaben Ausgaben s s

  20. Logische Systembeschreibung Entwicklung von Schalttermen zur Beschreibung des Ein-Ausgabe-Verhaltens bzw. der Schaltfunktionen: d0 d0 MUX DEMUX b b d1 d1 Eingaben Ausgaben Eingaben Ausgaben s s s = 0: b = d0 s = 0: d0 = b s = 1: b = d1 s = 1: d1 = b Schaltterm

  21. Schaltnetze Entwicklung von Schaltungen zu den Schalttermen. d0 d0 MUX DEMUX b b d1 d1 s s NOT-Gatter d0 & & d0 b 1 d1 & & d1 Schaltnetz Schaltnetz s s

  22. Idee: Funktionale Modellierung d0 MUX b Beschreibung des Systemverhaltens mit einer logischen Schaltfunktion d1 s d0 & 1 Realisierung des Systems mit Hilfe eines Logik-basierten Schaltnetzes d1 & s

  23. Übung Aufgabe: Erstellen und testen Sie mit Hilfe von Hades das entwickelte Schaltnetz. d0 & & d0 b 1 d1 & & d1 s s

  24. Übung Aufgabe: Entwickeln und testen Sie ein Multiplexer-Demultiplexer-System mit 4 Datenleitungen. Benutzen Sie zur Auswahl der Datenleitung 2 Steuerleitungen. Adressieren Sie die Datenleitungen wie unten angezeigt. d0 d0 d1 b d1 MUX DEMUX d2 d2 d3 d3 0 0 1 0 s1 s0 s1 s0

  25. Teil 3 Exkurs: Schaltalgebra

  26. Steuerung einer Autoinnenbeleuchtung Problem: Öffnet man eine der beiden Türen, so soll das Licht im Auto angehen. nach H. Bühler: Grundlagen einer Verständigung mit Computern

  27. Steuerung einer Autoinnenbeleuchtung Beschreibung der Systemgrößen mit Schaltvariablen: x1: „Fahrertür ist geschlossen“x2: „Beifahrertür ist geschlossen“ y: „Licht im Auto ist an“ Beschreibung des Systemverhaltens mit einer Schaltfunktion: x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 y 1 1 1 0 x1 F y x2

  28. Schaltterme und Schaltnetze x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 y 1 1 1 0 Schaltfunktion Schaltterme x1 x2 9 Gatter x1 & & y x2 1 & 1 2 Gatter y & Schaltnetze

  29. Steuerung einer Autoinnenbeleuchtung Beschreibung der Schaltfunktion mit einem Schaltterm – Version 1 Korrektheitsnachweis mit einer Wertetabelle: x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 y 1 1 1 0 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 x2 0 0 0 1 x1 x2 1 1 1 0

  30. Steuerung einer Autoinnenbeleuchtung Beschreibung der Schaltfunktion mit einem Schaltterm – Version 2 Korrektheitsnachweis mit einer Wertetabelle: y1 y2 y3 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 y 1 1 1 0 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 x2 1 0 0 0 x1 x2 0 1 0 0 x1 x2 0 0 1 0 (y1 y2)  y2 1 1 1 0

  31. Finden von Schalttermen x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 y 1 1 1 0 x1 x2 Problem:Wie findet man systematisch Schaltterme zur Repräsentation von vorgegebenen Schaltfunktion? 9 Gatter & 1 & 1 y &

  32. Minimierung des Schaltnetzes x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 y 1 1 1 0 Problem:Wie gewinnt man möglichst einfache Schaltnetze zur Realisierung der vorgegebenen Schaltfunktion? x1 & 1 y x2 x1 & y x2 NAND-Gatter

  33. Boolesche Algebra / Schaltalgebra Operationen: ¯ (NOT) (AND)  (OR) Objekte: 0 (FALSE) 1 (TRUE) x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 x2 0 1 1 1 x 0 1 x 1 0 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 x2 0 0 0 1 Entwickelt 1854 von George Boole (1815-1864)

  34. Schaltterme Schaltvariable: Eine Schaltvariable ist eine Variable, für die nur die Werte 0 und 1 eingesetzt werden können. Schaltterm: Ein Schaltterm ist aufgebaut aus- den Konstanten 0 (FALSE) und 1 (TRUE)- Schaltvariablen- den Operationen  (AND),  (OR), ¯ (NOT). Beispiele:

  35. Aufstellen von Schalttermen Minterm (Elementarkonjunktion) y1 y2 y3 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 y 1 1 1 0 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 x2 1 0 0 0 x1 x2 0 1 0 0 x1 x2 0 0 1 0 (y1 y2)  y2 1 1 1 0 Wert des Minterms y2 ist 1 gdw Wert(x1) = 0 und Wert(x2) = 1 gdw Wert(x1) = 1 und Wert(x2) = 1 Wert(y) ist 1 gdw Wert eines Minterms ist 1 Term in disjunktiver Normalform (Disjunktion von Mintermen)

  36. Äquivalenz von Schalttermen x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 x2 0 0 0 1 x1 x2 1 1 1 0 Zwei Schaltterme t1 und t2 sind (logisch) äquivalent gdw gilt: Der Wert von t1 und t2 ist für alle möglichen Einsetzungen der in t1 und t2 vorkommenden Variablen durch 0 bzw. 1 gleich. y1 y2 y3 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 1 1 0 0 x2 1 0 1 0 x1 x2 1 0 0 0 x1 x2 0 1 0 0 x1 x2 0 0 1 0 (y1 y2)  y2 1 1 1 0

  37. Gesetze der Schaltalgebra x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 1 1 0 0 x2 1 0 1 0 x1 x2 1 0 0 0 x1 x2 0 1 0 0 x1 x2 0 0 1 0 y1 (y2  y3) 1 1 1 0 y1 y2 y3 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 1 1 0 0 x2 1 0 1 0 x1 x2 1 0 0 0 x1 x2 0 1 0 0 x1 x2 0 0 1 0 (y1 y2)  y3 1 1 1 0

  38. Gesetze der Schaltalgebra Assoziativgesetz für Disjunktionen: a 0 0 0 0 1 1 1 1 b 0 0 1 1 0 0 1 1 c 0 1 0 1 0 1 0 1 a  b 0 0 1 1 1 1 1 1 b  c 0 1 1 1 0 1 1 1 (a  b)  c 0 1 1 1 1 1 1 1 a  (b  c) 0 1 1 1 1 1 1 1

  39. Gesetze der Schaltalgebra Assoziativgesetze: Kommutativgesetze: Distributivgesetze: Gesetze der neutralen Elemente:

  40. Gesetze der Schaltalgebra 0-1-Gesetze: Komplementgesetze: De Morgansche Gesetze: Adsorptionsgesetze:

  41. Vereinfachung von Schalttermen Ergebnis:Die Terme sind logisch äquivalent.

  42. Vereinfachung der Schreibweise x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 x2 0 1 1 1 x 0 1 x 1 0 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 x2 0 0 0 1 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1+ x2 0 1 1 1 x 0 1 x 1 0 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1 x2 0 0 0 1

  43. Termumformung m. Boolescher Algebra

  44. Übung Aufgabe: Neben der NAND-Operation gibt es als weitere wichtige Operationen die NOR-Operation und die XOR-Operation. Testen Sie diese Operationen mit Hades und ergänzen Sie ihre Wertetabellen. Beschreiben Sie diese Operationen auch mit Schalttermen, in denen nur die drei Grundoperationen vorkommen. x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x1NAND x2 1 1 1 0 x1NOR x2 x1XOR x2

  45. Teil 3 Rechensysteme

  46. Zahldarstellungen Problem: Wie viele Blätter sind hier dargestellt? (10010)2 18 (12)16

  47. Stellenwertsysteme 23 0000000011111111 22 0000111100001111 21 0011001100110011 20 0101010101010101 101 0000000000111111 100 0123456789012345 160 0123456789ABCDEF Dualzahlen Hexadezimalzahlen

  48. Addiersystem Ziel ist es, ein Addiersystem für Dualzahlen zu entwickeln. Schriftliche Addition im Zehnersystem: 112 910 Summand A Summand B Übertrag Summe Schriftliche Addition im Dualsystem: 11 1 100 0011 0 110 110 Summand A Summand B Übertrag Summe

  49. Funktionale Modellierung Summand A 11 1 100 0011 0 110 110 Übertrag Summand B Summe 0 1 1 0 a s a s 0 VA HA b 1 0 1 1 c ü b ü Volladdierer Halbaddierer

  50. Halbaddierer a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 s 0 1 1 0 ü 0 0 0 1 1 0 a s HA 1 1 b ü Halbaddierer

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