投资学专题 5 ： 利率期限结构理论

1. 投资学专题5：利率期限结构理论 复旦大学金融研究院 张宗新

2. Outline • 债券利率曲线、即期利率与远期利率的基本概念; • 利率期限结构的理论假说及其实证方法； • 利率期限结构的构造与拟合方法； • 利率期限结构的动态估计方法Vasicek模型和CIR模型；

3. 第一节债券收益率曲线与期限结构 • 一、收益率曲线 • 描述债券到期收益率和到期期限之间关系的曲线叫做收益率曲线。 • 我们可以将收益率 表示为年到期的债券现在应支付的年利率，也就是说在时间区间 上的平均年利率。对到期前不支付利息的债券而言，收益率是由债券目前的价格和面值（到期价格）的比值求出。如果 表示该比值，则：

4. 债券收益率曲线与期限结构 • 收益率曲线一般具备以下特点：（1）短期收益率一般比长期收益率更富有变化性；（2）收益率曲线一般向上倾斜；（3）当利息率整体水平较高时，收益率曲线会呈现向下倾斜（甚至是倒转的）形状。

5. dec14,2009 YTD 国债vs.SSE 公司债

6. 债券收益率曲线与期限结构 • 二、利率期限结构 • 1.即期利率vs.远期利率 • 即期利率（spot rates）是定义期限结构的基本利率，即期利率 是指已设定到期日的零息票债券的到期收益率，它表示的是从现在（ ）到时间t的货币收益。利率和本金都是在时间t支付的。 • 远期利率（forward rates）指的是资金的远期价格，它是未来两个日期间借入货币的利率，也可以表示投资者在未来特定日期购买的零息票债券的到期收益率。

7. Spot rate VS. forward rate spot rates Discount factor

8. forward rates

9. 债券收益率曲线与期限结构 • 2. 贴现因子和现值 • 一旦即期利率确定，很自然就要在每一个时间点上，定义相应的贴现因子 （discount factors） 。未来现金流必然通过这些因子成倍增加，已得到相当的现值。

10. 零息券 • 零息券是指当前以一固定的价格买入债券，到期后（期限为T）可以赎回1元。在利率不波动且短期利率为的情况下，很显然存在： • 假定短期利率是可变但可确定的。 表示t时刻当期的利率，称为短期利率（short rate）,则：

11. Simple interest VS. Compound interest

12. 债券收益率曲线与期限结构 • 2．远期利率与零息券 • 由于现实世界利率是不确定的，因此有必要进一步对利率可变的情形进行分析。根据公式（10.1）和远期利率公式，可得： • 这里， 是目前债券的价格， 是当期看来时刻的远期利率。

13. 第二节传统利率期限结构理论与实证 • 利率期限结构的早期理论或传统理论假说，对不同期限债券利率之间关系的解释主要有三种： • （1）预期假说（expections hypothesis） ； • （2）流动性偏好假说（liquidity preference hypothesis） ； • （3）市场分割假说market segmentation hypothesis） 。

14. 收益率曲线 到期收益率 流动性贴水 即期利率 期限

16. 利率预期假说理论的实证检验 • 利用1996年5月至2006年10月上交所国债回购利率进行利率预期假说检验。从上交所回购利率的相关系数看，回购利率之间存在很大的相关性。尤其是长期之间存在较为明显的正相关。

17. 在此基础上，对上交所回购利率进行了单位根检验。检验结果表明，除R003之外，都存在1个单位根，这表明序列不平稳。进行一阶差分为平稳序列，即I（1）。在此基础上，对上交所回购利率进行了单位根检验。检验结果表明，除R003之外，都存在1个单位根，这表明序列不平稳。进行一阶差分为平稳序列，即I（1）。 • 在确定了不同到期期限的国债回购利率序列均为一阶单整之后，即可通过利用多变量框架下Johansen协整检验。检验结果表明，在1%的显著性水平上存在一个随机向量，即表明我国国债回购市场上存在一个随机趋势，这也验证了利率期限结构预期假说在我国国债回购市场上是成立的。

18. 利率期限风险溢价的实证检验 • 利率期限风险风险溢价，是利率期限结构假说所隐含的重要条件。国外学者从不同角度对这一问题进行了大量研究。其中比较具有代表性的的研究是Campbell and Shiller等则用t时点已知的即期利率期限结构信息来解释期限风险溢价。具体的回归模型可表示为： • :t时点已知的n期即期利率 ; :长短期利差(yield Spread)，反映了收益率曲线的斜率。 • 研究结果表明，各类期限债券的期限风险溢价并没有随期限增加而单调增加，这说明长短期利差对期限风险溢价的时变性具有解释能力。

19. 不同期限段债券组合的统计特征及回归结果 • 张雪莹（2006）的研究：通过对于各期限段的国债组合，其风险溢价序列的均值、标准差等统计特征，以及用长短期利差进行回归的结果，如表所示。 注：括号内为参数的t值。

20. 第三节收益率曲线的拟合及应用 • 静态模型最为常见的方法包括样条法 (Splines Method) 和 Nelson — Siegel 模型等 。 • 动态模型是从假设利率服从某种形式的随机微分方程出发，通过随机微分方程推导出一个理论上的利率期限结构。

21. 一、收益率曲线的拟合方法 • 1.样条法 • （1）多项式样条法 • 由麦克库隆茨（Mc Culloch）于1971年提出的, 它的主要思想是将贴现函数用分段的多项式函数来表示。在实际应用中，多项式样条函数的阶数一般取为三，从而保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。下式表示期限为t的贴现函数： • （2）指数样条法 • 指数样条法则是考虑到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数，它是瓦西塞克（Vasicek）和弗隆戈（Fong）在1982年提出的，该方法将贴现函数用分段的指数函数来表示。其形式如下：

22. 2.尼尔森-辛格尔（Nelson-Siegel） 模型 • 尼尔森和辛格尔在1987 年提出了一个用参数表示的瞬时 (即期限为零的) 远期利率函数。 • 由此我们可以求得即期利率的函数形式：

23. 这个模型中只有四个参数, 即 , 根据式中的即期利率, 我们可以得到相应的贴现函数, 从而计算债券的模型价值用以拟合市场数据。虽然参数的个数不多, 但这样的函数形式已经有足够的灵活度来拟合收益率曲线的标准形状，递增的、递减的、水平和倒置的形状，如图所示。

24. 3. 斯文森（Svensson）模型 • 斯文森将Nelson-Siegel 模型作了推广, 引进了另外两个参数 , 而得到如下的即期利率函数： • 这个模型也被称为扩展的Nelson-Siegel 模型，这一模型在计算短期债券价格时的灵活性大大增强。

25. bootstrap method_01.M • 二、利率期限结构的数据拟合 • （一）Matlab工具的利率期限结构拟合 • 得出零息票收益率曲线，通常的方法是所谓的息票剥离法。息票剥离法将息票从债券中进行剥离并在此基础上估计无息票债券利率水平，具体计算方法如下： • 设 为某债券的到期期限， 表示现金流；F表示债券的面值；P表示债券全价； 即期利率，根据债券定价公式从而得到：

26. 收益率曲线的拟合及应用 • 结合交易所国债价格数据和Nelson-Siegel模型，运用非线性最优化算法，采用Matlab软件估计得到的参数分别为： =3.9085, =-3.2874， =2.5628；三个参数的变化分别看作是即期利率曲线截距、斜率和曲度的变化。 利率期限结构

27. 对样本内所有时点的数据进行估计，就可以得到每个时点的利率期限结构。对样本内所有时点的数据进行估计，就可以得到每个时点的利率期限结构。

28. 收益率曲线的拟合及应用 • （二）基于SAS的利率期限结构拟合 • 1、模型拟合方法 • 多项式样条、Nelson-Siegel及Svensson扩展模型是最为常用且较成熟的模型。模型拟合的过程实际上就是估计模型参数的过程，期限结构的估计可以通过建立样本债券的实际价格与理论价格之间误差值的目标函数并使其最小来实现。 • 2、样本的选择 • 债券样本的选择对于形成合理的期限结构有着至关重要的影响，样本的不稳定性将会导致期限结构的拟合出现重大偏差。样本的稳定性具体将涉及样本自身价格的稳定性、数量的稳定性以及债券期限分布的稳定性。

29. 收益率曲线的拟合及应用 • 3、多项式样条法拟合 • 利用ＳＡＳ软件，根据前述多项式样条的表达式以及目标函数，基于2006年6月30日经过筛选后的18只债券，采用息票剥离法(bootstrap method)来拟合上证固定利率国债的即期收益率曲线。 多项式样条法拟合效果

30. 收益率曲线的拟合及应用 • 4、Nelson-Siegle-Sevensson方法拟合

31. 收益率曲线的拟合及应用 • 5、拟合结果的比较

32. 第四节 利率动态模型及其估计 • 一、常用的利率动态模型 • （一）均衡模型 • 单因子假定（瞬间）短期利率的风险中性过程是随机的，并且只有一个不确定性来源(单因子)。随机过程包括漂移和波动率两个参数，它们只与短期利率r有关，与时间无关。 • Merton在1973年首先提出了一个最简单的单因子模型： 。这里， 和 都为常数。长期而言，利率的波动具有均值回归（mean reversion）的特征。

33. 利率动态模型及其估计 • 1、Vasicek模型 • 在Vasicek模型中，短期利率r的变动为以下形式的随机过程： • 假定目前的瞬间利率 ，则未来某一时点s其瞬间利率的条件期望值和方差为： • 给定风险价格 ，在时点t时，到期日为T的零息票价格为： • 而利率期限结构为：

34. 利率动态模型及其估计 • 2、CIR模型 • Cox, Ingersoll 和Ross（1985）提出的CIR 模型的初衷是为了克服Vasicek 模型的利率可以为负的缺陷。该模型的一个最大的优点在于，它同时可以模拟较长期利率的时间行为。但也有一个不当之处，就是当因素从单个扩展到多个时，再假定每个因素都是非负的显然有点不合理。若假定所有因素的和是非负的，则是较为合理的。

35. 利率动态模型及其估计 • （二）无套利模型 • 1、Ho-Lee模型 • Ho和Le于1986年首先提出了无套利利率模型。该模型将期初的利率期限结构作为输入变量，以二项分布结构推导出利率期限结构的动态变化。在连续时间下，瞬间利率的SDE为： • 2、BDT模型 • Black,Derman & Toy(1990)提出的BDT模型，假定瞬时利率为对数的正态分布，模型中除了包含期初利率期限结构的信息，还将波动率利率期限结构视为输入变量。连续的BDT模型的SDE为：

36. 利率动态模型及其估计 • 3、HJM模型 • Heath,Jarrow&Monton(1990,1992)提出的N因子连续时间模型，是以外生方式指定远期利率的波动，而利率期限结构为远期利率的函数。HJM模型的远期利率随机过程为：

37. 基于中国债券市场的利率期限结构动态估计 • 将Vasicek模型和CIR模型运用于我国货币市场中的银行间同业拆借市场，来拟合银行间同业拆借利率的期限结构。 • 数据说明：银行间同业拆借利率是我国货币市场上主要的利率品种，也是我国最早市场化的利率。 • 我国的同业拆借市场数据统计始于1996年1月，这里选取2005年1月1日至2008年1月1日间的银行间7天同业拆借利率数据，并将单利的拆借利率转换为等价连续复利的数值，转换方程如下：