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第八章 常微分方程的数值方法 （ Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）

第八章 常微分方程的数值方法 （ Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）. 常微分方程分为 （ 1 ）初值问题（ 8.1 节 ) （ 2 ）边值问题（ 8.2 节 ). 8.1 初值问题的数值方法. 一阶常微分方程初值问题的一般形式是:. 称 f(x,y) 在区域 D 上对 y 满足 Lipschitz 条件是指:.

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第八章 常微分方程的数值方法 （ Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）

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  1. 第八章 常微分方程的数值方法（Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ） 常微分方程分为 （1）初值问题（8.1节) （2）边值问题（8.2节)

  2. 8.1 初值问题的数值方法 一阶常微分方程初值问题的一般形式是:

  3. 称f(x,y)在区域D上对y满足Lipschitz条件是指:

  4. 利用Picard逼近容易证明: Th8.1.1 若f(x,y)在区域D上连续,且对y满足Lipschitz条件,则初值问题(1)在[a,b]上存在唯一的连续可微解y.

  5. 利用Gronwall不等式易证解连续依赖于初值条件:

  6. 定理8.1.2的意义在于：若初值问题(1)，(2)中的初始值有一微小扰动，则解的扰动也是微小的，也就是解连续依赖于初始条件．通常将具有这种特性的初值问题称为是适定的．定理8.1.2的意义在于：若初值问题(1)，(2)中的初始值有一微小扰动，则解的扰动也是微小的，也就是解连续依赖于初始条件．通常将具有这种特性的初值问题称为是适定的． （稳定的）

  7. 数值解和精确解 用数值方法求解初值问题，不是求出它的解析解或其近似解析式，而是给出它的解在某些离散节点上的近似值 用y(x)表示问题(1)，(2)的准确解 y(x0), y(x1),y(xN) 表示解y(x)在节点x0, x1,…, xN处的准确值 y0,y1,…,y N表示数值解，即问题(1)，(2)的 解y(x) 在相应节点处的近似值，

  8. 单步法和多步法 单步法：在计算yi+1时只利用y i 多步法：在计算yi+1时不仅利用y i , 还要利用 yi−1, yi−2,…, k步法：在计算yi+1时要用到yi,yi−1,…,yi−k+1 显式计算公式可写成:yk+1=yk+hΦf(xk，yk;h） 隐式格式:yk+1=yk+hΦf（xk，yk,yk+1;h） 它每步求解yk+1需要解一个隐式方程

  9. 8.1.2 单步法 一. Euler方法 Euler方法是一种最简单的单步法

  10. 用差商近似导数 x0 x1 记为 Euler公式 继续这一过程，得到 从而得到求解初值问题(1)，(2)的公式

  11. 定义 在假设 yi = y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。 局部截断误差 假定“yi = y(xi)”称为局部化假定

  12. 　　　若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。　　　若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。 定义 估计局部截断误差的主要方法是Taylor展开法

  13. Euler方法的局部截断误差 欧拉法具有 1 阶精度。

  14. 二.改进的Euler方法

  15. 改进的Euler方法的局部截断误差

  16. 8.1.2 一阶常微分方程初值问题的Runge-Kutta方法 考虑一阶常微分方程初值问题

  17. 将区域[a,b]进行分划：

  18. 若 则

  19. n级显式Runge-Kutta方法

  20. 二级Runge-Kutta方法 取n=2 记

  21. 由此得

  22. 另一方面

  23. 为使局部截断误差为 ,应取

  24. 改进的Euler方法 • 取

  25. 中点方法 取

  26. 二阶Heun方法 取

  27. 二级Runge-Kutta方法不超过二阶 • 记 • 则

  28. 因此局部截断误差只能达到

  29. 三级Runge-Kutta方法 取n=3

  30. 记

  31. 又由于

  32. 因此要使局部截断误差为O(h4)，必须

  33. Kutta方法 取

  34. 三阶Heun方法 • 取

  35. 三级Runge-Kutta方法不超过三阶 • 完全类似于二级Runge-Kutta方法的分析 将 和 都展开到 项 易证 三级Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到

  36. 四级R-K方法 取n=4

  37. 经典R-K方法 局部截断误差为O(h5)

  38. 附注 • 二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到 • 三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到 • 四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到 • 五阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到

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