普通高中课程标准实验教科书 数学 必修 4 教材介绍 人教 A 版教材培训讲师团 嘉兴教育学院 / 嘉兴市教育研究院 吴明华

1. 普通高中课程标准实验教科书 数学　必修4 教材介绍 人教A版教材培训讲师团 嘉兴教育学院/嘉兴市教育研究院　吴明华

2. 第一章　三角函数 　16课时 • 第二章　平面向量 　12课时 • 第三章　三角恒等变换 　8课时

3. 删去的内容： 余切、正割、余割，已知三角函数值求角，反三角符号。

4. 知识结构

5. 目标定位 三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。 　　在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。

6. 教材分析 1.1 任意角和弧度制 　　角，具有数、形双重性，所谓“象限角”与“区间角”。 “坐标轴上的角”是特殊角，是表示其他角的“基准”。 　　弧度制统一了度量弧与半径的单位。

7. 教学要求 （1）任意角、弧度 　　了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

8. 理解与建议 • 角的推广：“内涵学习法”

9. 教材分析 1.2 任意角的三角函数 　　从锐角到任意角，从直角三角形到单位圆。 只讲三个函数：正弦、余弦、正切。 同角三角函数的基本关系：两个。

10. 教学要求 （2）三角函数 　　①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 　　②理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，sinx/cosx=tanx。

11. 用单位圆定义三角函数 （1）突出三角函数概念的本质； （2）简化定义形式，体现数学从简精神； （3）加强与几何的联系，便于应用。

12. 单位圆的作用 （1）1弧度的大小； （2）任意角的三角函数定义： 任意角α → 点P的纵坐标——正弦 任意角α→点P的横坐标——余弦 （3）三角函数的图象、基本性质、同角三 角函数关系式、诱导公式 　　三角函数的所有内容都可以借助单位圆的直观进行讨论

13. 性质联系 • R=1—— • 圆周长=2π——周期性 • 关于x轴对称——cos(-x)＝cos x • 关于y轴对称——cos(π-x)＝-cos x • 关于直线y ＝ x对称—— • 旋转对称性——和（差）角公式

14. 教材分析 1.3 三角函数的诱导公式 　　诱导公式是三角函数的基本性质。 角（终边）的对称性是诱导公式的本质所在。 “奇变偶不变，符号看象限”

15. 教学要求 （3）三角函数的诱导公式 　　借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切。

16. 教材分析 1.4 三角函数的图象与性质 　　得到图象的方法：“简谐运动”实验、描点作图、电脑演示。 周期性是三角函数最突出的性质，其中，角（终边）的周期性是三角函数周期性的原因所在。

17. 教学要求 （4）三角函数的图象和性质 　　①能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象。 ②了解三角函数的周期性。 ③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。

18. 思考与建议 • 两种方式建构“三角函数性质”知识

19. 教材分析 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 　　关键是研究参数A、ω、φ的作用，此处可发挥信息技术的优势。 “五点法”作图中，突出角的地位。

20. 教学要求 （5）函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 　　结合具体实例，了解y=Asin（ωx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（ωx+φ）的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。

21. 思考与建议 • 变量替换与图形变换 对于曲线f(x,y)=0，若以(x-a)替换x，则方程变为f(x-a,y)=0，而曲线向x轴正方向平移a；若以kx替换x，则方程变为f(kx,y)=0，而曲线横向伸缩（以原点为中心）成原来的1/k倍。反之亦成立，对于y也有同样的结论。

22. 教材分析 1.6 三角函数模型的简单应用 给定函数 待定函数 函数拟合

23. 教学要求 （6）三角函数的应用 　　会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

24. 保留了原有教材体系（96年引入）

25. 知识结构

26. 目标定位 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

27. 目标定位 在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。

28. 教材分析 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 　　物理背景，注意学科整合。 向量的表示及记号，向量的三要素：起点、方向、长度。（自由向量） 零向量、单位向量、平行向量、相等向量、（相反向量）、共线向量。

29. 教学要求 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。

30. 教材分析 2.2 平面向量的线性运算 加减法：平行四边形法则、三角形法则。 　 减法用“转化为加法”来定义，事实上，加减法互为逆运算。 数乘，即“倍数”。

31. 教学要求 （2）向量的线性运算（掌握） ① 通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ② 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义。

32. 教材分析 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 基本定理刻画了向量空间的维度。 在平面直角坐标系中，分别取与坐标轴方向相同的单位向量作为基底，则以原点为起点的向量的坐标就是这个向量终点的坐标。

33. 教学要求 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ① 了解平面向量的基本定理及其意义。 ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③ 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

34. 教材分析 2.4 平面向量的数量积 内容：两个向量的数量积、一个向量在另一个向量方向上的投影、关于数量积的运算律、向量的模和夹角的计算及坐标表示。 核心是数量积的定义：

35. 教学要求 （4）平面向量的数量积 ① 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

36. 教材分析 2.5 平面向量应用举例 几何中的应用、物理中的应用。 “三步曲”：化归、处理、回馈。 基于基底的处理、基于坐标的处理。

37. 教学要求 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

38. 向量法：“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 向量几何——不依赖于坐标系的解析几何

39. 类比 • 向量的线性运算及运算律与数的加减及其运算律的类比； • 向量的坐标表示与数轴上点表示数的类比； • 向量数量积的运算律与数的乘法运算律的类比； • 向量法与解析法的类比。

40. 拓展视野 • (a+b)2-(a-b)2=4ab

41. 实验反思 1、重视向量的书写规范。 2、可以将相反向量放到“共线向量”一节来讲，这不仅是因为相反向量本身是共线向量，而因为这样的讲法与相反数的讲法一致，也有利于加强向量概念。 3、可以将数量积放到“线性运算”之后、“基本定理”之前，更加体现出数量积是向量的一种运算（对实数来说，它是一种新的运算）。

42. 基本保留了原有教材体系，降低了用公式进行变换的要求。基本保留了原有教材体系，降低了用公式进行变换的要求。

43. 知识结构

44. 目标定位 三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。 在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。

45. 教材分析 以两角差的余弦公式为起始，用向量方法推导公式。 引导式探究：实际问题→数学问题→合情推理→构造与证明。

46. 教学要求 （1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。 （2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

47. 教材分析 3.2 简单的三角恒等变换 　　简单：仅用11个公式。 变换：变角、变函数、变运算。 问题：化简、求值、证明。 综合：解三角形、三角函数的图象与性质。

48. 教学要求 （3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

49. 关于差角余弦公式的推导 （1）向量法简单，但仍属于构造法； （2）公式推导方法很多，可以让学生探究。

50. 实验反思 　　为什么在认识三角变换的学习难度上教师与学生有明显的反差？ 知识：公式多 能力：预测变换目标