3.2 仿射坐标系与直角坐标系

3.2 仿射坐标系与直角坐标系 笛卡尔（Rene Descartes ）

3.2.1 仿射坐标系 引理3.1在直线上取定一个非零向量，那么在此直线上任一向量，都存在唯一确定的实数，使得引理3.2在平面上取定两个不共线的向量，则对于该平面上任一向量，都存在惟一的二元有序实数，使定理3.3在空间中取定三个不共面的向量，那么对于空间中任一向量，都存在唯一的三元有序实数组，使得

定义3.11在空间中取定一点 及三个有次序的不共面的向量，构成空间的仿射坐标系，点称为坐标原点，叫做坐标向量或基本向量，简称基，它们所在的直线分别叫做轴，轴，轴，统称坐标轴. 定义3.12对空间中向量，它在仿射坐标系下有分解式，称是向量在坐标系下的坐标. 定义3.13在仿射坐标系下，对于点，称向量是点的向径.向径在坐标系的坐标称为点在该坐标系下的仿射坐标.

注：由于三个坐标向量 可以有两种不相同的相互位置关系，如下图，（a）所示坐标系为右手仿射坐标系，（b）所示为左手仿射坐标系. (b) (a) 例3.4如图，梯形中，，是的中点，求点及向量在坐标系下的坐标.

3.2.2 用坐标进行向量运算 设，那么向量加（减）法运算是：也可简记为：

数乘运算是： 也可简记为：例3.5设求例3.6已知点，求向径及向量的坐标.

3.2.3 向量共线、共面的条件 定理3.4三向量共面的充要条件是例3.7三个向量共面，求的值.

3.2.4 定比分点的坐标 是空间中任意两点，则把线段分割成定比（其中）的点的坐标为其中特别地，中点的公式为：

例3.8设 求的重心的坐标. 答案： 3.2.5 空间直角坐标系空间直角坐标系是一种特殊的仿射坐标系. 由三条互相垂直的数轴按右手规则过空间一定点 o , 组成一个空间直角坐标系.

Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅰ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅴ z轴(竖轴) • 坐标原点 • 坐标轴 • 坐标面 zox面 • 卦限(八个) y轴(纵轴) x轴(横轴) 对两点与因

得两点间的距离公式: 定义3.14在空间直角坐标系中，向量与三个坐标向量的夹角称为的方向角，方向角的余弦称为向量的方向余弦. 设，则

方向余弦的性质: 例3.9在z轴上求一点，使它到距离相等. 例3.10已知两点求向量的方向余弦.

结束

3.2 仿射坐标系与直角坐标系

3.2 仿射坐标系与直角坐标系

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2-3

3 2 2

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2 → 3 =

2-3

^ - 3 |3-wiq |^--|^--|^--3 |3-wiq |2--|2--|

2/3

2-3

2 AlBr 3 + 3 Cl 2

3+2

2/5 / 2/3 = 3/5

3 2 - - - - - - - - - - - -

3 + 2 =

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Warm Up Simplify. 1. 2(2) 2. (–2)(–2) 3. (–2)(–2)(–2) 4. 3(3)(3)

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