《 电动力学 》 第 2 讲

1. 《电动力学》第2讲 矢量分析与场论 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2014年9月12日

8. 矢量分析与场论 • 重庆大学 谢树艺 编 高等教育出版社 • 第1章 矢量分析 • 第2章 场论 • 场 • 数量场的方向和梯度 • 矢量场的通量及散度 • 矢量场的环量及旋度 • 几种重要的矢量场

9. 矢量分析 • 矢性函数

10. 矢量分析 • 矢性函数

11. 矢量分析 • 矢性函数

12. 矢量分析 • 矢性函数

13. 矢量分析 • 矢性函数 • 物理意义：

14. 矢量分析 • 矢性函数 • 物理意义：

15. 矢量分析 • 矢性函数 • 物理意义：

16. 矢量分析 • 矢性函数

17. 矢量分析 • 矢性函数 • 大小为A、B矢量围成的平行四边形面积，方向垂直于该平面。

18. 矢量分析 • 矢性函数 • 标量，大小为矢量A、B、C围成的平行六面体的体积。

19. 矢量分析 • 矢性函数

20. 矢量分析 • 矢性函数的极限和连续性

21. 矢量分析 • 矢性函数的导数 导矢在该处的切线上，其方向指向 t 增大的方向， 导矢在几何上为一切向矢量。

22. 矢量分析 • 矢性函数的微分

23. 矢量分析 • 矢性函数的导数公式

24. 矢量分析 • 矢性函数的导数公式

25. 矢量分析 • 矢性函数的导数公式

27. 矢量分析 • 矢性函数的积分

28. 矢量分析 • 矢性函数的积分

29. 场、数量场、梯度 • 场：如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定值，就说在这空间里确定了该物理量的场。 • 数量场：如果这物理量是标量，就称这个场为数量场，如温度、密度等。 • 矢量场：如果这物理量是矢量，就称这个场为矢量场，如力、速度等。

30. 场、数量场、梯度 • 数量场的等值线： • 比如地形图上的等高线，气象图上的等温线、等压线等。

31. 场、数量场、梯度 • 方向导数的定义 • 设M0为数量场 u=u(M) 中的一点，从M0出发引一条射线L，在L上点M0的临近取一动点M，记M0M的长度为ρ，若当MM0时， 的极限存在，则称它为函数u(M)在点M0处沿L方向的方向导数。

33. 场、数量场、梯度 • 方向导数的定义 • 方向导数是函数u(M)在一个点处沿某一方向对距离的变化率。 • 在直角坐标系中，u=u(x,y,z), Cosα, Cosβ, Cosγ为L方向上的方向余弦，则

34. 场、数量场、梯度 • 证明如下：

35. 场、数量场、梯度 • 方向导数的定义

36. 场、数量场、梯度 • 定义梯度

37. 场、数量场、梯度 • 梯度在给定点处为一固定矢量。 • 梯度在某一方向上的投影等于函数在该方向上的方向导数。 • 梯度的方向就是函数方向导数最大的方向，其模也等于该最大变化率的数值。

38. 场、数量场、梯度 • 引入哈米顿(Hamilton)算子

39. 场、数量场、梯度 • 哈米顿(Hamilton)算子 • Nabla is the symbol (∇). The name comes from the Greek word for a Hebrew harp, which had a similar shape. Related words also exist in Aramaic and Hebrew. • The symbol was first used by William RowanHamilton in the form of a sideways wedge. • Another, less-common name for the symbol is atled (delta spelled backwards), because the nabla is an inverted Greek letter delta. • In actual Greek usage, the symbol is called xxx, which means "upside-down delta".

40. 场、数量场、梯度 哈米顿(Hamilton)算子 Nabla is the symbol (∇). The name comes from the Greek word for a Hebrew harp, which had a similar shape. Related words also exist in Aramaic and Hebrew. The symbol was first used by William RowanHamilton in the form of a sideways wedge. Another, less-common name for the symbol is atled (delta spelled backwards), because the nabla is an inverted Greek letter delta. In actual Greek usage, the symbol is called xxx, which means "upside-down delta".

41. 场、数量场、梯度 • 引入哈米顿(Hamilton)算子

42. 场、数量场、梯度 • 引入哈米顿(Hamilton)算子

43. 场、数量场、梯度 • 引入哈米顿(Hamilton)算子

44. 梯度运算的一些基本公式

45. 矢量场的通量及散度 • 通量的定义： • 设有矢量场A(M)，沿某一有向曲面S的曲面积分 • 叫做矢量场A(M)正向穿过曲面S的通量。

46. 矢量场的通量及散度 • 散度的定义：

47. 散度的公式

49. 矢量场的环量及旋度 • 环量的定义： • 设有矢量场A(M)，沿某一有向曲线L的曲线积分

50. 矢量场的环量及旋度 • 旋度的定义：