第三章 线性系统的时域分析方法

1. 第三章 线性系统的时域分析方法 3.1 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差分析及计算

2. 3.1 系统时间响应的性能指标 时域分析法是根据描述系统的微分方程或传递函数，直接求解出在某种典型输入作用下系统输出随时间t变化的表达式或其它相应的描述曲线来分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性。 3.1.1典型的输入信号 1、阶跃信号 数学表达式 当A=1时，称为单位阶跃信号

3. 2、斜坡信号 数学表达式 当A=1时，称为单位斜坡信号 3、抛物线信号 数学表达式 当A=1时，称为单位抛物线信号

4. 4、脉冲信号 数学表达式 当A=1时， 称为单位理想脉冲信号 5、正弦信号 数学表达式

5. 3.1.2时域性能指标 （以单位阶跃信号输入时，系统输出为主要特征量） 1、动态性能指标（反映快速性） 上升时间tr：响应曲线从零到第一次达到稳态值所需要的时间。 峰值时间tp：响应曲线从零到第一个峰 值所需要的时间。 调节时间ts：响应曲线从零到达并停留在稳态值的 或 误差范围所需要的最小时间。 超调量 ：系统在响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百分数。 为 时的输出值。

6. h(t) h(t) h(t) 超调量σ% = 超调量σ% = A A A A B 峰值时间tp 峰值时间tp 100% 100% B B 上 升 上 升 时间tr 时间tr 调节时间ts 调节时间ts t t t 动态性能指标定义图示 B

7. 2、稳态性能指标 稳态性能指标用稳态误差ess来描述，是系统抗干扰精度或抗干扰能力的一种量度。

8. 3.2 一阶系统的时域分析 3.2.1一阶系统 用一阶微分方程描述的系统。 3.2.2一阶系统典型的数学模型 微分方程 传递函数

9. 3.2.3一阶系统时域分析 h(t)=1-e-t/T r(t)= 1(t) 单位阶跃响应 h’(0)=1/T h(T)=0.632h(∞) h(2T)=0.865h(∞) h(3T)=0.95h(∞) h(4T)=0.982h(∞)

10. 1 t k(t)= e- T T 1 k(0)= T 1 K’(0)= 2 T r(t)= δ(t) 单 位 脉 冲 响 应

11. c(t)=t-T+Te-t/T r(t)= t 单位斜坡响应 T

12. 1 k(0)= T 1 K’(0)= T 2 ? 问 1 、3个图各如何求T？ 2 、调节时间ts=？ 3 、r(t)=vt时，ess=？ 4、求导关系 汇总比较 r(t)= δ(t) r(t)= 1(t) r(t)= t

13. 3.3 二阶系统的时域分析 凡是以二阶微分方程作为运动方程的控制系统都成为二阶系统 3.3.1二阶系统的数学模型 如转矩控制系统

14. 对应的系统结构图： 对应的微分方程： 此为一典型二阶系统

15. j -ξωn √ξ2 - 1 ± ωn S1,2= 0 j -ξωn -ωn S1,2= = 0 j ωn ±j - √1-ξ2 ξ 0 S1,2= ωn j ±j ωn S1,2 = 0 二阶系统典型的数学模型： 极点分布 ξ＞1 ξ＝1 0＜ξ＜1 ξ＝0

16. 3.3.2 二阶系统的阶跃响应 1、过阻尼（>1） 系统的特征根为 输出量的拉氏变换：

17. 输出量的时间函数：

18. 2、欠阻尼（ ） 系统的特征根为： 输出量的拉氏变换：

19. 输出量的时间函数： 式中： 阻尼振荡角频率，或振荡角频率 阻尼角

20. 欠阻尼二阶系统的阶跃响应曲线 结论：在的情况下，二阶系统的暂态响应的暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数；振荡程度与有关：越小，振荡越剧烈。

21. 3、临界阻尼（=1） 系统的特征根为 ： 输出量的拉氏变换：

22. 输出量的时间函数：

23. 4、无阻尼（=0） 系统的特征根为 输出量的拉氏变换为 二阶系统的暂态响应为

24. j 1 1 ξ＝1 ξ＞1 T1 T2 0 j -(1+ωnt) e-ωt h(t)= 1 + h(t)= 1 + 0 n j 0＜ξ＜1 0 ξ＝0 e e t t T2 T1 1 1 T1 T2 T2 T1 h(t)= j 1 -cosωnt 1 h(t)= 1 e-ξω t sin(ωdt+β) 0 n √1-ξ2 5、二阶系统的阶跃响应汇总 过阻尼 临界阻尼 零阻尼 欠阻尼

25. 综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系统的暂态响应有很大的区别，因此阻尼比 是二阶系统的重要参量。当= 0时，系统不能正常工作，而在= 1时，系统暂态响应进行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况（ ）是最有实际意义的。

26. 3.3.3欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算 1、上升时间 ：在暂态过程中第一次达到稳态值的时间。 对于二阶系统，假定情况 下，暂态响应： 令 ，则有 经整理得

27. 2、最大超调量 ：暂态过程中被控量的最大数超过稳态值的百分数。 即 最大超调量发生在第一个周期中时刻 ， 叫峰值时间。 在 时刻对 求导，令其等于零。 经整理得 将其代入超调量公式得

28. 3、调节时间 ：输出量 与稳态值 之间的偏差达到允许范围（　　　　　），并维持在允许范围内所需要的时间。 结论： 若使二阶系统具有满意的性能指标，必须选合适的 ， 。 增大可使 下降，可以通过提高开环放大系数k来实现；增大阻尼比，可减小振荡，可通过降低开环放大系数实现。

29. 3.4 高阶系统分析 1、高阶系统 数学模型为三阶或三阶以上的系统。 2、高阶系统的数学模型 其中 ~ 闭环传递函数极点；q为实极点个数；r为共轭极点对数； 闭环传递函数零点。

30. 3、单位阶跃响应 作拉氏反变换后得 4、闭环主导极点的概念： 距离虚轴最近，又远离零点的闭环极点，在系统过渡过程中起主导作用，这个极点称为主导极点。 主导极点若以共轭形式出现，该系统可近似看成二阶系统；若以实数形式出现，该系统可近似看成一阶系统。

31. 3.5 稳定性分析 3.5.1稳定的概念及条件： 1、稳定概念：如果系统受扰动后，偏离了原来的工作状态，而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的工作状态，则称系统是稳定的。 2、 稳定条件：系统特征方程式所有的根都位于ｓ平面的半平面。 3.5.2判定系统稳定的方法： 1、一、二阶系统稳定条件： 特征方程的各项系数均为正。 2、高阶系统 应用劳斯判据和胡尔维茨稳定判据。

32. 3.5.3劳斯判据 系统特征方程的标准形式： 根据特征方程，按如下原则列劳斯表： 系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第一列元素必须为正。

33. 例 三阶系统特征方程式： 列劳斯表： 系统稳定的充分必要条件是 ：

34. 1 1 3 3 5 5 7 7 s6 2 2 4 4 6 6 s5 • 4 s4 1 2 1 2 7 -8 ε s3 ε 2 +8 ε s2 7 ε ε -8(2 +8) - 2 7 s1 ε 7 s0 7第一列出现零元素时， 用正无穷小量ε代替。 劳斯表第一列出现零元素 设系统特征方程为： s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 (10-6)/2=2 (6－4)/2=1 (6-14)/1= -8 劳 斯 表 劳斯表特点 7 1 1 2 ε -8 0 1右移一位降两阶 2 行列式第一列不动 3 次对角线减主对角线 4每两行个数相等 5 分母总是上一行第一个元素 6 一行可同乘以或同除以某正数

35. ①有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 • 解辅助方程得对称根: ② 由零行的上一行构成 辅助方程: s4 s3 1 1 1 1 2 s2 s1 s1,2=±j s0 劳斯表出现零行系统一定不稳定 劳斯表出现零行 设系统特征方程为： s4+5s3+7s2+5s+6=0 1 7 6 劳 斯 表 5 5 s2+1=0 6 6 对其求导得零行系数: 2s1 继续计算劳斯表 0 第一列全大于零,所以系统稳定 1 错啦!!! 1 劳斯表何时会出现零行? 由综合除法可得另两个根为s3,4= -2,-3 2 出现零行怎么办? 3 如何求对称的根?

36. 3.6 稳态误差分析及计算 3.6.1误差及稳态误差概念定义 1、误差：（2种定义） （1）输入端定义 （2）输出端定义

37. （3）两者之间的关系

38. 2、稳态误差：系统稳态时，输出的实际值与 希望值之差，即稳定系统误差的终值。 3、稳态误差的计算公式： 终值定理 3.6.2稳态误差计算（利用中值定理） 1、典型给定输入作用下的稳态误差计算(静态误差系数法） 1）系统型别的划分 0型系统 Ⅰ型系统 Ⅱ型系统

39. 2)在给定输入信号作用下的 分析令 a.单位阶跃输入下 其中 称为位置误差系数

41. b.单位斜坡输入 其中 称为速度误差系数

42. c.单位抛物线输入 其中 称为加速度误差系数

43. d.典型信号合成输入下的 稳态误差可用叠加原理求出，即分别求出系统对阶跃、斜坡和抛物线输入下的稳态误差，然后将其结果叠加。 结论：要消除或减小 ，必须针对不同的输入量来选择不同的系统，并且选择较大的K值。但K值必须满足稳定性的要求。

44. 2)在扰动输入信号作用下的 分析：令 3)给定输入、扰动输入同时作用下

45. 3.6.3减少误差的方法 1、增加开环放大倍数K 2、增加积分环节的个数 3、复合控制 （1）按输入信号补偿的复合控制

46. 令 若取 则有

47. （2）按干扰信号补偿的复合控制 令 若取 则有