1 / 68

Подготовка к ЕГЭ

Подготовка к ЕГЭ. Часть 1. В5 Решение уравнений и неравенств. Знать. Уметь. Способы решения уравнений и неравенств :. Выполнять основные приемы решения уравнений и неравенств. 1. Алгебраические. 2. Иррациональные. Уметь решать простые уравнения и неравенства. 3. Тригонометрические.

breindel-dorsey
Download Presentation

Подготовка к ЕГЭ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Подготовка к ЕГЭ Часть 1 В5 Решение уравнений и неравенств Знать Уметь Способы решения уравнений и неравенств : Выполнять основные приемы решения уравнений и неравенств 1. Алгебраические 2. Иррациональные Уметь решать простые уравнения и неравенства 3. Тригонометрические 4. Показательные 5. Логарифмические Вернуться 6. Неравенства

  2. 1. Алгебраические уравнения Линейные уравнения Неполные квадратные уравнения Полные квадратные уравнения Дробные рациональные уравнения Уравнения в виде пропорции Главное меню Вернуться

  3. Линейные уравнения. kx = b, если k 0. b  0, то х = k/b (коэффициент разделить на свободный член). kx = b, если k = 0, b  0, то уравнение решений не имеет. kx = b, если k = 0. b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений, хR. Решить уравнения. Пример 1. 9(2х – 18) = - 9х 18х – 918 = - 9х , 18х + 9х = 918 , 27х = 918 х = Помните! Если свободный член представляет произведение, то не надо перемножать, так как потом возможно сократить дробь. 3 х = 6 Ключевые слова. 1. Неизвестные в одну сторону (влево), свободные члены в другую (вправо). 2.Свободный член делить на коэффициент при неизвестном. Главное меню Оглавление

  4. ax2 = -с; х2 = ; х1,2 = . Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения 1. ax2 + bx = 0 с = 0 Вынесите х за скобку х(ах + b) = o Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл. х =0 или ах + b = 0 2. ax2 + с = 0 b = 0 При извлечении корня не забывать ставитьплюс, минус Главное меню Оглавление

  5. Пример 1 Пример 2 5х2 - 2х = 0; х(5х – 2) = 0; х =0 или 5х – 2 = 0 х= 0 ; х=0,4. х2 - 4 = 0; х2 = 4; х = ± 2 ; ± Полные квадратные уравнения. х2+ px + q = 0 Приведенное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 С обратным знаком ax2 + 2kx + c = 0 Коэффициент при х – четный Главное меню Оглавление

  6. Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета. x2+ px + q = 0. х 1 +х 2 =  р; х 1 х 2 = q Пункт 1. Определить знак дискриминанта, если D > 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3. Выбрать такую пару и подобрать знаки так, чтобы сумма давала коэффициент  р (с обратным знаком). Пункт 4. Записать ответ. Пример. х2 - 3х – 40 = 0; D>0, т.к. свободный член отрицательный. 40 имеет целые множители: 2 и 20, 4 и 10, 5 и 8. Множители 2 и 20, 4 и 10 в сумме ни при какой комбинации знаков не дадут 3, поэтому их можно отбросить. Остается пара 5 и 8. Теперь можно расставлять знаки:  5 + 8 = 3, т.к. b = - 3 Пункт 4. х1=  5; х2= 8. Главное меню Оглавление

  7. Если a + b +c = 0, то х1 = 1, х2 = Если a - b +c = 0, то х1 = - 1, х2 = Решениеспециальных видов квадратных уравнений . ax2 + bx + c = 0 Пример. 2х2 - 43х + 41 = 0; 2 – 43 + 41 = 0 х1 = 1 , х2 = 41/2, х2 = 20,5 Пример. 24х2 + 30х + 6 = 0; 24 – 30 + 6 = 0 х1 = - 1 , х2 = - 6/24, х2 = - 0,25 Главное меню Оглавление

  8. Дробные рациональные уравнения. Пункт 1. Разложить знаменатели на множители; Пункт 2. Найти общий знаменатель (ОЗ); Пункт 3. Найти значения неизвестного, при котором ОЗ неравен (равен) нулю. Записать область определения уравнения; Пункт 4. Привести уравнение к целому виду, для чего: а) поставить черточки к каждому члену уравнения; найти и записать дополнительные множители (доп. множ); Доп. множ = б) записать результат умножения допмнож. на числитель. Запись производить без знаменателя в целом виде; Пункт 5. Решить полученное уравнение; Пункт 6. Сравнить полученные корни с областью определения уравнения и исключить посторонние. Вернуться Главное меню Оглавление

  9. Пример1. Пункт1. Пункт 3. Пункт4. х – 4 – х2 + х +20 = 8 х - 4 1 х + 4 х2 - 2х – 8 = 0; х = - 2; х = 4 посторонний корень. Ответ: -2. Главное меню Алгоритм Оглавление

  10. Уравнения в виде пропорции. Основное свойство пропорции: ad = bc Пункт 1. Найти область определения; Пункт 2. Перемножить крест на крест; Пункт 3. Решить соответствующее уравнение. Пример 1. Пример 2. х2 + 3 = 2х2 + 2 3х = х2 + 2 х2 – 1 = 0, х = ± 1 х2 - 3х + 2 = 0 х1 = 1, х2 = 2 Главное меню Оглавление

  11. 1. Уравнение вида = b 3. Уравнение вида 2. Уравнение вида 2. Иррациональные уравнения 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным Вернуться Главное меню

  12. 1. Уравнение вида = b 2. Уравнение вида 2. Иррациональные уравнения Равносильно f(x) = b2, при b ≥ 0; при b < 0 не имеет решения. Золотые правила. Для решения корень нужно уединить. Обе части возвести в квадрат. Примеры. Главное меню Оглавление

  13. 3. Уравнение вида Примеры. либо Выберите неравенство, которое проще. Решать уравнения можно без равносильности, путем возведения обеих частей в квадрат и последующей проверкой полученных корней Главное меню Оглавление

  14. Решать уравнения можно без равносильности, путем возведения обеих частей в квадрат и последующей проверкой полученных корней Примеры. Проверка: Равенство верно х = - 1 х = 5 Равенство неверно Главное меню Оглавление

  15. Такие уравнения содержат корни с одинаковыми подкоренными выражениями, степени которых разняться в два раза ( ). Решаются путем замены корня , с учетом ограничений. Уравнения, сводящиеся к квадратным Примеры. = t, где t ≥ 0 х - любое t 2 – 2 t – 3 = 0, t = - 1 , t = 3, учитывая, что t ≥ 0, t = 3 Ответ: х = ± 7 Главное меню Оглавление

  16. 3. Тригонометрические уравнения 1. Решение простейших тригонометрических уравнений 2. Решение простых тригонометрических уравнений Главное меню Вернуться Главное меню

  17. π/2 π/2 π/2 π π π 0 0 0 3π/2 3π/2 3π/2 -π/2 -π/2 -π/2 х = πn, n х = - π/2 +2πn, n х = π/2 +2πn, n Простейшие тригонометрические уравнения К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны0, ±1; тангенс, котангенс равны0 Решаются по окружности Уравнения sinх = 0, ± 1 sinх = 1 sinх = 0 х = π/2 х = 0 Придем в следующий «нуль» через пол оборота Придем вединицу через целый оборот sinх = -1 х = -π/2 Главное меню Оглавление

  18. π/2 π/2 π/2 π π π 0 0 0 3π/2 3π/2 3π/2 -π/2 -π/2 -π/2 х = 2πn, n х = π/2 +πn, n х = π +2πn, n Простейшие тригонометрические уравнения К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны0, ±1; тангенс, котангенс равны0 Решаются по окружности Уравнения cosх = 0, ± 1 cosх = -1 cosх = 1 х = π х = 0 Придем в следующую 1 через целый оборот Придем вединицу через целый оборот cosх = 0 х = π/2 Оглавление Главное меню Придем в 0 через пол оборота

  19. Простые тригонометрические уравнения sinх = а sinх = а Для а > 0 Для а < 0 х = ( - 1)n arcsina + n , где n Z . х = ( - 1)к +1 arcsina + к , где к Z . cosх = а cosх = а Для а > 0 Для а < 0 x =  arccosa +2n, где n Z . х = ( arccosa ) + 2n , где n Z . tgх = а tgх = а Для а > 0 Для а < 0 х = arctgа + n, где n Z . х =  arctgа + n, где n Z . сtgх = а сtgх = а Для а > 0 Для а < 0 х = arcсtgа + n, где n Z . х =  arсctgа + n, где n Z . sinх = а cosх = а tgх = а ctgx = а Оглавление Главное меню

  20. Запомни! Считая а > 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а Минус единица в степени... Плюс, минус… (-1)n ± x = arcsina + πn, где nZ x = arcсosa + 2πn, где nZ Для уравнений tgх =а, ctgx = a арктангенс арккотангенс + πn Главное меню Для уравнений sinx= a, tgх =а, ctgx = a Для уравнения cosx = a +2πn Оглавление

  21. Запомни! Считая а < 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а Минус единица в степени n +1… Плюс, минус, скобка,пи минус… ± (-1)n+1 x = (π - arcсos|a|) + 2πn, где nZ x = arcsin|a| + πn, где nZ Для уравнений tgх =а, ctgx = a минус арктангенс пи минус арккотангенс - - x = πаrcctg|a| + πn, где nZ x = аrctg|a| + πn, где nZ Оглавление Главное меню

  22. Алгоритм решения простых уравнений Алгоритм. Пункт 1. Привести угол в стандартный вид; Пункт 2. Выразить «чистый» sin, cos, tg, ctg; Пункт 3. Записать весь угол; Пункт 4. Записать формулу решения; Пункт 5. Найти неизвестное. Примечания. Пункт 1.х должен быть с плюсом, при наличии формулы приведения - применить; Пункт 3. Угол записывается таким какой он получился после пункта 1; Пункт 4. Формула решения записывается в соответствии с вопросом: «Чье уравнение?» Главное меню Оглавление

  23. Решение простых тригонометрических уравнений n Z Решите уравнение: 3 + 4sin (π/4 – 2х) = 5 3-4sin (2х - π/4) = 5 Угол в стандартный вид sin (2х - π/4) = - ½ Найти «чистый sin» Весь угол равен: 2х - π/4 = 4. Уравнение sin: начинается с (-1)n+1 2х - π/4 = (-1)n+ 1π/6 + πn Найти х 2х = (-1)n+ 1 π/6 + π/4 + πn х = (-1)n+ 1 π/12 + π/8 + πn/2 Оглавление Главное меню

  24. Ключевые слова. • Угол в стандартный вид. 2. Чистая функция. 3. Весь угол. • 4. Чье уравнение? 5. Найти х. Пример: Найдите корень уравнения: В ответе запишите наименьший положительный корень n = - 1 ¾ - 3/2 = -3/4 x = -3/4 n = - 1 5/4 – 3/2 <0 x = -1/4 n = 0 x = 3/4 n = 0 x = 5/4 Оглавление Главное меню Ответ: 0,75

  25. 4. Показательные уравнения 1. Уравнение вида а f(x) = а g(x) 2. Уравнения вида а f(x) = b f(x) , а f(x) ∙ b f(x) = 1 3. Уравнения, содержащие k а f(x)+ m+ h а f(x) + n + … 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным 5. Однородные уравнения Главное меню Вернуться Главное меню

  26. Показательные уравнения 1. Уравнения вида а f(x) = а g(x) . f(x) = g(x) а f(x) = а g(x) Отсюда следует, что, решая уравнение, необходимо привести функции к одному основанию, используя разложение чисел на простые множители и свойства степеней. Примеры. 1. Выбор основания и приведение к нему (основание – 2) х2 + 6 = 5х, х2 – 5х + 6 = 0 х1 = 2, х 2 = 3 2. Решение полученного уравнения 1. Выбор основания и приведение к нему (основание – 6/5) 2. Решение полученного уравнения 2х – 1 = х + 2 х = 3 Оглавление Главное меню

  27. 24х – 9 = 2 Золотое правило. Уравнение, содержащее десятичные дроби, надо привести к обыкновенным дробям. Это позволяет проще определить основание. 0,125 = 1/8 = 2- 3 0,25 = ¼ = 2-2 Золотое правило. Корни, знаменатели привести к степеням . Золотое правило. Привести обе части к видуаf(x) =ag(x),используя свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями х = 6. Оглавление Главное меню

  28. 2. Уравнения вида а f(x) = b f(x) , а f(x) ∙ b f(x) = 1 а f(x) = b f(x) Решение: Разделить а f(x) на b f(x) аf(x) ∙ b f(x) = 1 , (ab) f(x) = (ab)0, f(x) = 0 Примеры. 1) 25х – 1 = 32х – 2 ,т.к 25 = 52, то 52х – 2 = 32х – 2 , Оглавление Главное меню

  29. 2) 12х – 2 = 33х ∙ 26х зх – 2 ∙ 22х – 4 = 33х ∙ 26х . Теперь выполним действие, при котором левую часть разделим на 33х, а правую на 22х – 4 , т. е. крест на крест, чтобы тройки собрать с тройками, а двойки с двойками. Получим: 3 – 2х – 2 = 2 4х + 4 или 3 –( 2х + 2) = 4 2х + 2 или 4 2х + 2 ∙ 32х +2 = 1, 122х+2 = 120 2х + 2 = 0, х = - 1 . Оглавление Главное меню

  30. 3. Уравнения, содержащие k а f(x) + m+ h а f(x) + n + … Данные уравнения решаются путем «очищения показателя», т.е. приведения каждого слагаемого к видуk a m∙ а f(x) + h a n∙ а f(x) + …Далее - приведение подобных слагаемых Примеры. 2∙3х + 1 – 6∙3х – 1 – 3х = 9. 2∙3∙3х – 6∙1/3∙3х – 3х = 9, 6∙3х – 2∙3х – 3х = 9 , Приведем подобные: легко подсчитать «штучки». Шесть штучек, минус две штучки, минус одна штучка, будет три штучки. 3∙3х = 9, 3х = 3, х = 1. Обратим внимание, что член, не содержащий аf(x)(9), преобразовывать не нужно. Оглавление Главное меню

  31. 2) 2х – 1 + 2х – 2 + 2х – 3 = 448 Очистим показатель и приведем к целому виду. 4 2 1 8 Было бы лишним действием умножать 8∙448, т.к. потом все равно сокращать. 4∙2х + 2∙2х + 2х = 8∙448 64 2х = 2х =8∙ 64, 2х = 29 , х = 9. 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным Если степени разнятся в два раза (а f(x) и а 2f(x) ), то необходимо сделать замену: а f(x) = t , где t > 0 , т.к. множество значений показательной функции – это множество положительных чисел. Главное меню Оглавление

  32. Ключевые слова Сначала:________ Потом:___________ Показательные уравнения Общий алгоритм поиска решения показательного уравнения 1. Привести к одному основанию 2. «Очистить» показатель» 3. Привести к определенному виду 4. Решить согласно полученному виду основания показатели

  33. Примеры. 22х+1 + 2 х+2 – 16 = 0. Сначала очистим показатель: 2∙22х +4∙ 2 х – 16 = 0. Сделаем замену 2х = t , t > 0 При замене не забывайте нанести ограничения! 2t2 + 4t – 16 = 0, t2 + 2t – 8 = 0, t = - 4, t = 2. t = - 4 - посторонний корень. 2х = 2, х = 1. Ответ: х = 1. Оглавление Главное меню

  34. 5. Однородные уравнения Однородные уравнения 2-го порядка должны содержать следующие обязательные элементы: - функций две; - степень одинаковая; - свободный член равен нулю. Решаются путем деления всех членов уравнения на одну из функций в большей степени. 16х +36х = 2 ∙ 81х Приведем степени к нужным основаниям: 4 2х +4х · 9х - 2 ∙ 9 2х = 0 Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 92х ≠ 0 почленно. Оглавление Главное меню

  35. 16х +36х = 2 ∙ 81х Приведем степени к нужным основаниям: 4 2х +4х · 9х - 2 ∙ 9 2х = 0 Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 92х ≠ 0 почленно. t2 + t - 2 = 0, t = - 2, t = 1 t = - 2посторонний корень х = 0 Ответ: х = 0 Оглавление Главное меню

  36. 5. Логарифмические уравнения 1. Справочный материал 2. Уравнение вида log а f(x) = b 3. Уравнение вида log а f(x) = loga g(x) 4. Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) 5. Уравнения, сводящиеся к квадратным Вернуться Главное меню

  37. Логарифм ∞ D(log ) = (0; ) a Знать! log b log b Логарифм от отрицательного числа (выражения) a a Область определения логарифма показатель степень а > 0 a≠ 1 основание b > 0 не имеет смысла Множество положительных чисел Главное меню Оглавление

  38. Преобразование логарифмических выражений logab а =b Знать! Основное логарифмическое тождество Основания должны быть одинаковые; логарифм должен быть «чистый» (коэффициент перед логарифмом равен 1). Свойства логарифмов При применении помнить, что выражение под знаком логарифма больше нуля. 1. log a M ·N = log a | M | + log a | N | 2) lgx( 2x-3 ) = lg|x| + lg |2x-3| 1) log 2 2x = 1 + log 2 x 2. log a M/N = log a | M | - log a | N | 1) log 2 2/x = 1 - log 2 x 2) lgx/( 2x-3 ) = lg|x| - lg |2x-3| 3.log a M 2n = 2n log a | M | 1) log 2 (-8)2 = 2 log 2 | -8 | = 6 2) lg( 2x-3 )2 = 2 lg |2x-3| Главное меню Оглавление

  39. Преобразование логарифмических выражений Знать! Уметь! = = Перевод логарифма из одного основания в другое При применении записать: равно, дробная черта; в числителе logc, в знаменателе – logc; в числитель – b; в знаменатель -а = - 3 Оглавление Главное меню

  40. 5. Логарифмические уравнения 1. Уравнение вида log а f(x) = b Примеры: х ≠ -3, х – 2 = 3х + 9, х = 11/2, х = 5,5 Главное меню Оглавление

  41. 2. Уравнение вида log а f(x) = log а g(x) или Можно выбрать одну систему, где неравенство легче Можно решать без равносильности, но надо сделать проверку и исключить посторонние корни. Главное меню Оглавление

  42. Примеры: Неравенство х – 2 > 0 проще, чем неравенство х2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление

  43. 3. Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) или log а f(x) = b Алгоритм решения 1. Найти ОДЗ уравнения; 2. Применить свойства логарифмов; 3. Решить согласно полученному виду; 4. Отобрать корни. Главное меню Оглавление

  44. 1) log2(x +1) + log2(x +2) = 1 1. ОДЗ 2. Сумма логарифмов log2(x +1)(x +2) = 1 3. Решение log2(x +1)(x +2) = 1 (x +1)(x +2) = 2, х2 + 3х + 2 = 2, х = 0, х = - 3 - посторонний корень Ответ: 0 Главное меню Оглавление

  45. 2) log2(x +1) - 2log2x = 1 Целесообразно избегать разности логарифмов, т. к. это приводит к дробям, что усложняет решение Любое число можно представить в виде логарифма по нужному основанию: c = loga ac 1 = log2 2 Главное меню Оглавление

  46. ОДЗ + - + 1 2 + - + 1/3 7/3 1/3 1 2 7/3 x < 1/3 x >7/3 Главное меню Оглавление

  47. + - + 1/3 1 2 7/3 x < 1/3 x >7/3 4/3 3 x = 3 Главное меню Оглавление

  48. 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным Уравнения, в которых степени логарифмов разнятся в два раза, решаются как квадратные с заменой логарифма. Например: log2 и log , log4 и log2 и т.д. Следует отличать логарифм в квадрате и логарифм от квадрата: Помните, что log 2а f(x) = log а f(x) · log а f(x), a loga f 2(x) = 2 loga |f (x)| Логарифм в квадрате Логарифм от квадрата 1) (lgx)2 – 3lgx +2 = 0 lg2 x– 3lgx +2 = 0, lgx = t, t € R t2 - 3t + 2 = 0, t= 1, t = 2 lgx = 1, lgx = 2 x = 10, x = 100 Главное меню Оглавление

  49. Решение неравенств 1. Линейные неравенства 2. Квадратные неравенства 3. Показательные неравенства 4. Логарифмические неравенства Вернуться Главное меню

  50. Линейные неравенства Неравенства вида kx >b; kx < b называются линейными Выбери линейные неравенства: 1. 2х – 8 > x + 6 2. 2х2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x ≤ x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x ≤ x + 6 – 3 (7x +2) 2; 3 1; 4 1; 3 1; 3;4 Главное меню Оглавление

More Related