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点、直线、平面之间的位置关系 知识梳理： 1. 点、线、面的位置关系 （ 1 ） 公理 1 ∵A∈ ， B∈ ，∴ AB .

点、直线、平面之间的位置关系 知识梳理： 1. 点、线、面的位置关系 （ 1 ） 公理 1 ∵A∈ ， B∈ ，∴ AB . （ 2 ） 公理 2 ∵A ， B ， C 三点不共线，∴ A ， B ， C 确定 一个平面 . 三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面 . ② 过两条平行直线有且只有一个平面 . ③ 过一条直线和直线外一点有且只有一个平面 . （ 3 ） 公理 3 ∵P∈ , 且 P∈ ，∴ ∩ =l ，且 P∈l. （ 4 ） 公理 4 ∵a∥c,b∥c,∴a∥b.

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点、直线、平面之间的位置关系 知识梳理： 1. 点、线、面的位置关系 （ 1 ） 公理 1 ∵A∈ ， B∈ ，∴ AB .

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  1. 点、直线、平面之间的位置关系 知识梳理： 1.点、线、面的位置关系 （1）公理1 ∵A∈ ，B∈ ，∴AB . （2）公理2 ∵A，B，C三点不共线，∴A，B，C 确定 一个平面. 三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面. ②过两条平行直线有且只有一个平面. ③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面. （3）公理3∵P∈ ,且P∈ ，∴ ∩ =l，且P∈l. （4）公理4∵a∥c,b∥c,∴a∥b.

  2. (5)等角定理∵OA∥O1A1，OB∥O1B1， ∴∠AOB=∠A1O1B1或∠AOB+∠A1O1B1=180°. 2.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理∵a ,b , a∥b, ∴ a∥ . (2)线面平行的性质定理∵a∥ ,a , ∩ =b, ∴a∥b. (3)面面平行的判定定理∵a ,b ,a∩b=P, a∥ ,b∥ ,∴ ∥ . (4)面面平行的性质定理 ∵ ∥ , ∩ =a, ∩ =b,∴a∥b.

  3. 3.直线、平面垂直的判定及其性质 （1）线面垂直的判定定理∵m ,n ,m∩n=P, l⊥m,l⊥n,∴l⊥ . （2）线面垂直的性质定理∵a⊥ ,b⊥ ,∴a∥b. （3）面面垂直的判定定理∵a ,a⊥ ,∴ ⊥ . （4）面面垂直的性质定理∵ ⊥ , ∩ =l, a , a⊥l,∴a⊥ . 4.异面直线所成的角 （1）定义. （2）范围： ∈(0,］. （3）求法：先通过取中点或作平行线找到两异面 直线所成的角，然后解含有这个角的三角形.若求 得的角为钝角，则这个角的补角才为所求.

  4. 5.直线与平面所成的角 （1）定义. （2）范围： ∈［0, ］. （3）求法：先找到（或作出）过斜线上一点垂直 于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平 面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线 面角，解这个角所在的直角三角形可得.

  5. 7.唯一性定理 （1）过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线. （2）过平面外一点有且只有一个平面平行于已知平面. （3）过空间一点有且只有一条直线垂直于已知平面. （4）过空间一点有且只有一个平面垂直于已知直线.

  6. 问题突破： 一、线线、线面的平行与垂直 例1正三棱柱A1B1C1—ABC中，点D是BC的中 点，BC= BB1，设B1D∩BC1=F.求证： （1）A1C∥平面AB1D； （2）BC1⊥平面AB1D. 思维启迪 本题可先挖掘正三棱柱中 有关的线面平行及垂直关系，第（1）问 可利用“线线平行”或“面面平行”， 第（2）问可利用“线线垂直”来证 “线面垂直”.

  7. 证明（1）连结A1B，设A1B与AB1 交于E，连结DE. ∵点D是BC中点，点E是A1B中点， ∴DE∥A1C ∵A1C 平面AB1D， DE平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D. (2)∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC. ∵平面ABC⊥平面B1BCC1， 平面ABC∩平面B1BCC1=BC，AD平面ABC， ∴AD⊥平面B1BCC1，

  8. ∵BC1平面B1BCC1，∴AD⊥BC1. ∵点D是BC的中点，BC= BB1，∴BD= BB1. ∵ ，∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1. ∴∠BDB1=∠BC1C. ∴∠FBD+∠BDF=∠C1BC+∠BC1C=90°. ∴BC1⊥B1D.∵B1D∩AD=D，∴BC1⊥平面AB1D. 探究提高 解决此类问题要注意线线平行（垂直）, 线面平行（垂直）与面面平行（垂直）的相互转化.在解决线线平行、线面平行问题时，若题目中已出现了中点，可考虑在图形中再取中点，构造中位线进行证明.

  9. 变式训练1如图所示，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1= 2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC. （1）求证：D1C⊥AC1； （2）设E是DC上一点，试确定E的位置， 使D1E∥平面A1BD，并说明理由. （1）证明 在直四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，连结C1D， ∵DC=DD1， ∴四边形DCC1D1是正方形. ∴DC1⊥D1C.

  10. 又AD⊥DC，AD⊥DD1， DC∩DD1=D， ∴AD⊥平面DCC1D1， D1C平面DCC1D1，∴AD⊥D1C. ∵AD、DC1平面ADC1， 且AD∩DC1=D, ∴D1C⊥平面ADC1， 又AC1平面ADC1, ∴D1C⊥AC1.

  11. （2）解连结AD1，AE， 设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N， 连结MN， ∵平面AD1E∩平面A1BD=MN， 要使D1E∥平面A1BD， 须使MN∥D1E， 又M是AD1的中点， ∴N是AE的中点. 又易知△ABN≌△EDN， ∴AB=DE. 即E是DC的中点. 综上所述， 当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.

  12. 二、面面平行与垂直 例2如图所示，在正三棱柱 ABC—A1B1C1中，AA1=AB， F、F1分别是AC、A1C1的 中点.求证：（1）平面AB1F1∥平面C1BF； （2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 思维启迪 本题可以根据面面平行和垂直的判定定 理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件. 证明（1）在正三棱柱ABC—A1B1C1中， ∵F、F1分别是AC、A1C1的中点， ∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.

  13. 又∵B1F1∩AF1=F1， B1F1、AF1面AB1F1， ∴平面AB1F1∥平面C1BF. （2）在正三棱柱ABC—A1B1C1中， AA1⊥平面A1B1C1，F1是A1C1的中点. ∴B1F1⊥AA1，B1F1⊥A1C1.又∵A1C1∩AA1=A1， ∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1， ∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.

  14. 探究提高（1）要证两平面平行，常根据：“如 果一个平面内有两相交直线分别和另一平面平行， 那么这两个平面平行”或“一个平面内两相交直线 分别与另一平面内两相交直线平行，那么这两个平 面平行”，还可以利用线面垂直的性质，即“垂直 于同一条直线的两个平面平行”. （2）要证明两平面垂直，常根据“如果一个平面经 过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直”.从 解题方法上说，由于线线垂直、线面垂直、面面垂 直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着 线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行.

  15. 变式训练2（2009·江苏，16）如图， 在直三棱柱ABC—A1B1C1中E、F分别是 A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D ⊥B1C.求证：（1）EF∥平面ABC； （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C.

  16. 证明（1）由E、F分别是A1B、A1C的 中点知EF∥BC. 因为EF平面ABC.BC平面ABC. 所以EF∥平面ABC. （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱 知CC1⊥平面A1B1C1. 又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D. 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C=C,CC1、B1C平面 BB1C1C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面 A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.

  17. 三、平面图形的折叠问题 例3（2009·济南模拟）已知四边形ABCD是等 腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB （如图1）.现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB （如图2）,连结AC，AB，设M是AB的中点. （1）求证：BC⊥平面AEC； （2）判断直线EM是否平行平面ACD，并说明 理由.

  18. 思维启迪（1）在梯形DEBC中，用数量关系证明 BC⊥EC. （2）可用反证法，假设EM∥平面ACD，可推出矛 盾. 证明（1）在图1中，过C作CF⊥EB垂足为F， ∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形. ∵CD=1，∴EF=1. ∵四边形ABCD是等腰梯形， AB=3，∴AE=BF=1. ∵∠BAD=45°，

  19. ∴DE=CF=1. 连结CE，则CE=CB= . ∵EB=2，∴∠BCE=90°. 即BC⊥CE. 在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E， ∴AE⊥平面BCDE. ∵BC平面BCDE， ∴AE⊥BC. ∵AE∩CE=E， ∴BC⊥平面AEC. （2）用反证法. 假设EM∥平面ACD.

  20. ∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD, ∴EB∥平面ACD. ∵EB∩EM=E， ∴平面AEB∥平面ACD. 而A∈平面AEB且A∈平面ACD，与平面AEB∥平面 ACD 矛盾. ∴假设不成立.∴EM与平面ACD不平行. 探究提高 （1）解决与折叠有关的问题的关键是 搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线 段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化， 抓住不变量是解决问题的突破口. （2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形， 既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.

  21. 变式训练3如图①，长方形ABCD中，BC= ，AB =6，把它折成正三棱柱的侧面（如图②），使AD 与BC重合，长方形的对角线AC与折痕线EF、GH分 别交于M、N，连接AN. （1）求多面体AMND的体积大小； （2）求证：平面DMN⊥侧面ADFE.

  22. （1）解 由题知，长方形被折成正三棱柱， 故AE=EG=GA=2，AD=3. 如图，由于AEG-DFH是正三棱柱， ∴EF∥平面AGHD. ∴M与E到平面AGHD的距离相等. 取AG的中点Q，连接EQ，则EQ⊥平面AGHD. ∵正三角形AEG的边长为2.∴EQ= . 又S△AND= ×2× = . ∴VM-AND= × × =1. 所以多面体AMND的体积为1. （2）证明如图，取AE、DF的中点K、L，连接KL交DM 于O，连接NO，过N作NP∥HF交EF于P.

  23. 在Rt△DHN与Rt△NPM中，DH=NP=2，NH=MP= . ∴Rt△DHN≌Rt△NPM， ∴DN=NM. 又K、L分别为AE、DF的中点， ∴OL∥MF，∴O为DM的中点， ∴NO⊥DM. 而OL MF NH，且NH⊥HL， ∴四边形NHLO是矩形.∴NO⊥KL. 又DM∩KL=O，∴NO⊥平面ADFE. 而NO 平面DNM, ∴平面DMN⊥侧面ADFE.

  24. 规律方法总结 1.线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化. 在证明平行或垂直的问题中，认真体会“转化”这一数学思想方法.不仅要领悟“平行”“垂直”内部间的转化，还要注意平行与垂直之间的转化关系.

  25. 2.弄清各类问题的关键点，把握问题的层次，重视容易忽视的问题，如证平行时，由于过分强调线线、线面、面面平行的转化，而忽视由垂直关系证平行关系；证垂直时，同样忽视由平行关系来证明和利用勾股定理计算证明.2.弄清各类问题的关键点，把握问题的层次，重视容易忽视的问题，如证平行时，由于过分强调线线、线面、面面平行的转化，而忽视由垂直关系证平行关系；证垂直时，同样忽视由平行关系来证明和利用勾股定理计算证明. 3.图形的展开、折叠、切割在考查空间想象能力方面有着不可比拟的优势，解决此类问题的关键是弄清图形变化前后的点、线、面的对应关系，并分析清楚变化前后点、线、面的位置变化.

  26. 演练提升： 一、选择题 1.（2008·安徽文，4）已知m、n是两条不同直线， 、 、 是三个不同平面，下列命题中正确的 是 （ ） A.若m∥ ，n∥ ，则m∥n B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 ∥ C.若m∥ ，m∥ ，则 ∥β D.若m⊥ ，n⊥ ，则m∥n

  27. 解析 对于A，直线m、n分别平行于同一平面 ，则这两条直线m、n不一定平行，还有可能相交或异面，其中相交情况如图（1）；对于B，两个平面同时垂直于一个平面 ，则这两个平面 、 有可能相交，如图（2）；对于C，若两个平面同时平行于一条直线，则两个平面不一定平行，还可能相交，如图（3）；而选项D是判定两条直线平行的重要推论之一，即垂直于同一个平面的两条直线平行. 答案 D

  28. 2.设m、n是不同的直线， 、 、 是不同的平 面，有以下四个命题： ∥ ⊥ ∥ m∥ m⊥ m∥n m∥  n 其中，真命题是 （ ） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ ① ② m⊥ ∥ ④ ③ ⊥ m∥

  29. 解析①正确，平行于同一个平面的两个平面平行；②错误，由线面平行、垂直定理知：m不一定解析①正确，平行于同一个平面的两个平面平行；②错误，由线面平行、垂直定理知：m不一定 垂直于 ；③正确，由线面平行，垂直关系判断正确；④错误，m也可能在 内.综上所述，正确的 命题是①③，故选C. 答案 C

  30. 3.（2009·山东理，5）已知 ， 表示两个不同的 平面，m为平面 内的一条直线，则“ ⊥ ” 是“m⊥ ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由平面与平面垂直的判定定理知如果m为 平面 内的一条直线，m⊥ ,则 ⊥ ,反过来 则不一定.所以“ ⊥ ”是“m⊥ ”的必要 不充分条件. B

  31. 4.已知直线l、m，平面 、 ，且l⊥ ，m ， 给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（ ） ①若 ∥ ，则l⊥m ②若l⊥m，则 ∥ ③若 ⊥ ，则l⊥m ④若l∥m，则 ⊥ A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ①∵l⊥ , ∥ , ∴l⊥ .又∵m ∴l⊥m. ④∵l⊥ ,l∥m,∴m⊥ . 又∵m ,∴ ⊥ . 可知①④正确，②③错误.故选B. B

  32. 5.已知平面 ⊥平面 , ∩ =l，点A∈ ， Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥ ， m∥ ，则下列四种位置关系中，不一定成立 的是 （ ） A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥ D.AC⊥ 解析 如图所示的正方体中,平面OCMN为平面 . 平面AOB为平面 .此时AC与平面 不垂直. D

  33. 二、填空题 6.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，底面为直角三角形，∠ACB=90°， AC=6，BC=CC1= ，P是BC1上一动点， 则CP+PA1的最小值是. 解析 将△BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图. 连结A1C即为CP+PA1的最小值，过点C作CD⊥C1D 于D点，△BCC1为等腰直角三角形， ∴CD=1，C1D=1，A1D=A1C1+C1D=7. ∴A1C= = .

  34. 三、解答题 7.一个多面体的三视图及直观图如图所示，M、N分 别是A1B，B1C1的中点.求证： （1）MN∥平面ACC1A1； （2）MN⊥平面A1BC.

  35. 证明由三视图可知，在这个多面体的 直观图中，AA1⊥平面ABC且AC⊥BC，AC=BC=CC1=a. （1）连结AC1，AB1，因为四边形ABB1A1 为矩形，所以AB1过A1B的中点M. 在△AB1C1中，由中位线性质，得MN∥AC1. 又AC1平面AC1，MN平面AC1， 所以MN∥平面ACC1A1. （2）因为BC⊥平面ACC1A1，AC1平面AC1， 所以BC⊥AC1. 在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1， 又因为BC∩A1C=C，所以AC1⊥平面A1BC. 由MN∥AC1，得MN⊥平面A1BC.

  36. 8. 如图所示，在棱 长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中， E、F分别为DD1、DB 的中点. （1）求证：EF∥平面ABC1D1； （2）求证：EF⊥B1C； （3）求三棱锥 的体积. （1）证明 连结BD1，在△DD1B中，E、F分别为 D1D，DB的中点，则 EF∥D1B D1B平面ABC1D1 EF平面ABC1D1 EF∥平面ABC1D1

  37. （2）证明 连结BC1，可得： B1C⊥AB B1C⊥BC1 AB，BC1平面ABC1D1 AB∩BC1=B B1C⊥平面ABC1D1 BD1平面ABC1D1 B1C⊥BD1 EF∥BD1  （3）解 ∵CF⊥平面BDD1B1 ∴CF⊥平面EFB1且CF=BF= . EF⊥B1C

  38. ∵EF= BD1= ， ∴EF2+B1F2=B1E2，即∠EFB1=90°. ∴ = = ··CF = ·EF·B1F·CF = ∴三棱锥 —EFC的体积为1. 返回

  39. 9.（2009·浙江理，17）如图，在长方形ABCD中， AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端 点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平 面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作 DK⊥ AB，K为垂足，设AK=t,则t的取值范围是.

  40. 解析如图，在平面ADF内过D作 DH⊥AF，垂足为H，连结HK，过 F点作PF∥BC交AB于点P. 设∠FAB= ，则cos ∈ . 设DF=x，则1<x<2.∵DK⊥平面ABC，DH⊥AF，则AH⊥HK. 在Rt△ADF中，AF= ,∴DH= . ∵△ADF和△APF都是直角三角形，PF=AD ∴Rt△ADF≌Rt△APF，AH= ,AP=DF=x. ∵ Rt△AHK中，cos

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