第七章梁的应力和强度计算

第七章梁的应力和强度计算 §7-1 梁的正应力 §7-2 梁的正应力强度条件及其应用 §7-3 梁的合理截面形状及变截面梁 §7-4 矩形截面梁的切应力 §7-5 工字形截面及其他形状截面的切应力 §7-6 梁的切应力强度条件

第七章梁的应力和强度计算 一、基本要求 1）了解梁的正应力公式、弯矩和挠曲线曲率间的关系； 2）了解矩形截面等横截面上的正应力、切应力分布规律和计算公式； 3）熟练掌握弯曲正应力及切应力强度条件及其应用； 4）了解提高梁弯曲强度的措施。二、授课重点、难点弯曲正应力强度条件是重点，求最大弯曲切应力是难点。

§ 7-1梁的正应力(normal stress) 一、基本概念 1、纯弯曲(Pure Bending): 纵向对称面

§ 7-1梁的正应力(normal stress) P P a a A B FS x x M 某段梁的内力只有弯矩,没有剪力时，该段梁的弯曲称为纯弯曲。如AB段 C D 某段梁的内力同时存在弯矩和剪力时，该段梁的弯曲称为横力弯曲。如CA和BD段

§ 7-1梁的正应力(normal stress) 1、应力的分布情况 2、应力计算公式 1、变形的几何关系 2、力与变形的物理关系 3、静力平衡条件 2、研究内容 3、分析思路：（变形固体的力学分析方法）

§ 7-1梁的正应力(normal stress) 1、几何关系：找出横截面上纵向线应变的变化规律二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 2、物理关系：由应变的变化规律找出应力的分布规律。 3、静力关系：由弯矩和应力之间的静力关系得出应力的计算公式。

n m b b a a n m 二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 1、几何关系： 1）实验现象

d M M n m b’ b’ y a’ a’ n m 二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 ① 直线a-a, b-b变形后为弧线a,a,, b, b ,，靠近底边的伸长，靠近顶边的缩短。 ② 直线 m-m , n-n变形后仍为直线，两直线相对倾斜了一个角度d，且仍与a,a,, b, b ,两条弧线保持正交。

二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 2）推论： 弯曲平面假定：　　　　　　　　变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线。  梁变形后，同层各条纤维的伸长或（缩短）相同。

二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 3）两个概念  中性面（层）：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而该层纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 • 中性轴： • 中性层与横截面 • 的交线。中性轴

m n o2 o1 a a m n  d M M m n o1 o2 y a’ a’ n m 二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 4）几何方程取微段dx为研究对象 为中性层O1O2的曲率半径，两截面间夹角为d，考察任一纵向纤维（a’a’）的应变，a’a’到中性层的距离为y。变形前：

m n o2 o1 a a m n  d M M m n o1 o2 y a’ a’ n m 二、纯弯曲时梁横截面上的正应力变形后： ∴纵向线的伸长a’ a’- aa=yd 线应变= （yd）/（d） =y/  （1） ∵给定截面： =常量 ∴纵向线应变与该点到中性轴的距离y成正比。

假设：纵向纤维互不挤压。于是，梁内各纵向纤维处于单向应力状态（纯弯曲时梁的横截面上只有正应力）。假设：纵向纤维互不挤压。于是，梁内各纵向纤维处于单向应力状态（纯弯曲时梁的横截面上只有正应力）。 s s 2、物理关系由拉压胡克定律： ∵ =E  ∴ =Ey/ （2）

二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 • 结论：任意点的应力与该点到中性轴的距离成正比。以中性轴为界，一侧为拉应力，一侧为压应力，在中性轴上正应力等于零。

中性轴位置？ （2）（1）思考问题：

1）正应力计算公式的导出 内力：① FN= A dA ② My= Az dA ③ Mz= AydA x z y dA z y 二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 3、静力方程： ① FN= AdA Fx= 0 FN= A dA=0 将  =Ey/代入

x y z dA z y 二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 ① FN= AdA Fx= 0 FN= A dA=0 将 =Ey/代入 FN= AEy/ dA =E /AydA=0 E /≠ 0 AydA =Sz= 0 ∴中性轴过截面的形心。

x y z dA z y 二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 ② My= Az dA=0 My= Az Ey/ dA= E /Az y dA=0 Iyz=0 ③ Mz= Ay dA =M Mz= Ay Ey/ dA =E /Ay 2 dA = E /Iz=M 1/ = M/(EIz) 中性层曲率，也即梁弯曲变形的基本公式。式中：EIz 称为梁的抗弯刚度

二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 2）弯曲正应力的计算公式（3）注意：符号判断以中性轴为界。当M为正：中性轴以下为拉应力，以上为压应力。当M为负：则上为拉下为压。

二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 ∴使用正应力计算公式时M、y均代以绝对值，  的拉压由观察来确定。 3）最大正应力 ymax ：表示危险点到中性轴的距离。 •  =Mymax /Iz • 引入：Wz=Iz/ymax 截面对中性轴的弯曲截面系数。 • max = M / Wz

最大弯曲正应力公式的应用 ① 若对称于中性轴的截面（如矩形、圆形、工字型） max 拉=max压（数值上） max =M / Wz ②若不对称于中性轴的截面（T形） max 拉≠ max压 max 拉=My1 / Iz max压=My2/ Iz y1 y2 二、纯弯曲时梁横截面上的正应力

d z h b z D d z 二、纯弯曲时梁横截面上的正应力 4）Iz、Wz 的计算实心圆截面：I z=(D4)/64 Wz =Iz/ymax=(D3)/32 空心圆截面： Iz=[(D4) /64]（1-4） Wz=Iz /ymax=[(D3)/32]（1-4）矩形截面： Iz= bh3/12 Wz=bh2/6

练习 求：图示截面对形心轴zc的弯曲截面系数

① 计算固定端弯矩： M=m -F×3= -25kN.m F M 3m 2m A 300 B C 50 D 180 举例应用例1：矩形截面悬臂梁受力如图，求固定端截面A、B、C、D四点处的正应力，并作出截面上正应力分布图。F=15kN，M=20kN.m。解： ② 截面对 z轴的惯性矩：Iz= bh3/12 = 40.5×10-5m4

F M 3m 2m A 300 B C 50 D 180 举例应用 ③ 计算各点应力 = My/Iz ④画截面应力分布图 B= 0 C= -6.18MPa D= -9.26MPa

举例应用 例2：试指出图示T形截面梁内σmax拉所在截面及其位置，并计算其数值。

举例应用 解：（1）绘出弯矩图 20kN·m 10kN·m （2）由弯矩图可知，最大正弯矩发生在C截面上，最大负弯矩发生在B截面上。

20kN·m 30 z · C 10kN·m 200 157 Iz=6.013×10-5mm4 MPa MPa 举例应用 B截面：（3） C截面：所以最大拉应力发生在C截面上，数值为26.1MPa。

一、强度条件的建立 max≤ [] ① 对于拉压强度相同的材料（低碳钢）。 ∣ max ∣= Mmax/W z≤ [] §7-2梁的正应力强度条件 ② 对于拉压强度不同的材料（铸铁）。 max拉= （Mmaxy拉）/Iz ≤ []拉 max压= （Mmaxy压）/Iz ≤ []压返回

§7-2梁的正应力强度条件 对于抗拉压性能不同的材料，强度条件有两个公式。弯曲许用应力有两个数值。 []拉[]压二、强度条件的应用 ① 强度校核 ② 设计截面 ③ 确定许用荷载

举例应用 例：图示外伸梁由铸铁制成，截面形状如图示。已知 y1 =7.14cm， y2 =12.86cm， Iz=4.495103cm4，a=1m，许用压应力[σ]- =120MPa,许用拉应力[σ]+ =35MPa，试求梁的许可载荷[F]。

§7-4矩形截面梁的切应力（tangent stress） 一、矩形截面梁 1、切应力公式的建立假设： ① 横截面上各点的切应力平行于剪力Fs。 ② 切应力 沿截面宽度均匀分布，离中性轴等距离的点切应力相等。

用1-1 和2-2 两相邻截面取dx微段分析： ① 在1-1 和2-2 两相邻截面之间无荷载作用，左右两侧面剪力均为Fs。 ② 在1-1 侧面上的弯矩为M，在2-2 侧面上的弯矩为M+dM。 1 2 x dx F 1 2 FL Fs M+dM M nn Fs dx dT FN2 FN1 dx 沿水平截面n-n取微段下部分为分离体：返回

由平衡条件： Fx = 0 FN2 - FN1- dT=0 A* ： n-n以下左右侧面的面积左侧面：FN1=A*1dA 右侧面：FN2=A*2dA 上表面：dT = ’bdx 1 2 X F 1 dx 2 FL Fs M+dM nn M Fs dx dT FN2 FN1 dx z y

dA距中性轴的距离为y 左侧应力： 1=（M y）/Iz 右侧应力： 2=（M+ dM）y /Iz FN1=A*1dA = A*（M y）/IzdA =M/IzA*ydA FN1=(MSz*)/Iz FN2=(M+ dM) Sz*/Iz 1 2 X F 1 dx 2 FL Fs M+dM nn M Fs dx dT FN2 FN1 dx z y

Sz*dM/ Iz= ’ bdx ’= (dM /dx)[Sz*/（Izb)] (dM /dx)= Fs  =’ 将FN1, FN2 , dT代入平衡方程：(M+ dM) Sz*/Iz - (MSz*)/Iz -’ bdx =0 返回

1、切应力（tangent stress）计算公式 式中：FS-横截面的剪力； Sz*-A*对中性轴的静矩； A*-过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积； Iz-截面对中性轴的惯性矩； b-截面的宽度。

z h/2 y h/2 h/2-y b 2、切应力沿截面的变化规律求Sz*： Sz* = A* yc = (h/2-y)b[y+( h/2-y)/2] =(h/2-y)b(h/4+y/2) =b/2(h2/4-y2) 可见切应力沿截面高度是按抛物线规律变化的。

3、最大切应力的计算 当 y=0  =max=Fsh2/(8Iz) max= 3Fs/(2A)=3/2平

（1）腹板上的切应力 ∵腹板是一个狭长矩形截面 ∴矩形截面切应力分布的两个假设仍适用。 §7-5 工字型截面及其它形状截面的切应力一、工字形截面其中，Fs-截面上的剪力；Sz-应力点到截面边缘的面积A对中性轴的静矩；Iz-截面对中性轴的惯性矩；b1-腹板的厚度。

三、圆截面及圆环截面 圆：max=（4/3）平圆环：max=2平中性轴上切应力最大。二、T型截面最大切应力仍发生在中性轴上。 §7-5 工字型截面及其它形状截面的切应力

§7-6 梁的切应力强度条件 • 梁的最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上： • 梁的切应力强度条件：切应力强度条件可进行三个方面的强度计算。说明：对于细长梁控制梁强度的主要因素是弯曲正应力。

§7-6 梁的切应力强度条件 在以下几种情况下，要注意梁的切应力强度校核： ① 梁的跨度较短或支座附近作用较大荷载。 ② 铆接或焊接的工字型截面梁，腹板截面厚度一般较薄，但高度较大，这时就应对腹板的切应力进行校核。 ③由几部分经焊接、胶合而成的梁，对焊接面、胶合面等一般要进行剪切强度计算。返回

d D b h/4 k A h B C z 2m 1m y 举例应用例．已知：BD为圆杆，d=20mm，AC梁截面为矩形，b=40mm，h=60mm。梁和杆的[]=160MPa。试求：（1）许用均布载荷[q]=？（2）梁B处左侧截面k点的切应力[k]=？ 9q/4 3q/4

d D A 9q/4 B C 2m 1m 3q/4 q 3q/4 + + _ 3m/4 5q/4 q/2 + 9q/32 举例应用解：1)求约束力、定危险面——作剪力、弯矩图： B截面是危险面，且︱FS︱max=5q/4，︱M︱max=q/2。

举例应用 2）计算[q] 根据梁的强度条件: • 按拉杆BD的正应力强度条件: 故，取[q]=7.68kN/m

b h/4 k h z y 举例应用 3）计算k

举例应用 （4）分析、讨论：  此题为梁、杆混合结构，确定结构的许可载荷（或进行截面设计和强度校核）时，既要考虑梁的弯曲正应力强度条件，又要考虑杆的拉伸强度条件，综合两种强度条件下的计算结果即为所求。 计算任意点或最大切应力时，请注意Sz*的意义与计算。

8kN m M: 2kN 10 10 10kN m 146.67 3kN F=2kN B 10kN.m Fs: A C z 53.33 4m 6m 3kN 5kN 举例应用例：一铸铁外伸梁，[]拉= 40M Pa，[]压= 120M Pa， []=2MPa,试校核梁的强度。(已知：Iz=29 × 10-6 m4，Sz=215.12 × 10-6m3) 解：1）剪力图、弯矩图 • 2）正应力强度校核 • 截面A：

8kN m M: 10 10 10kN m 146.67 z 53.33 举例应用 • 2）正应力强度校核 • 截面A：

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