第二章控制系统的模型

第二章控制系统的模型 一控制系统的时域数学模型二控制系统的复数域数学模型三控制系统的结构图与信号流图四数学模型的实验测定

2.1 控制系统的时域数学模型 1、线性系统微分方程的建立步骤：1. 确定系统的输入量(给定量和扰动量)与输出量(被控制量, 也称为系统的响应) 2.列写系统各部分的微分方程 3. 消去中间变量, 求出系统的微分方程

例2.1 编写如图2-1所示RC电路的微分方程式 图 2-1 RC电路

解:(1) 定输入输出量: u1 (t) ----输入量, u2(t) ----输出量 (2) 列写微分方程 u1 = iR+u2 式中 u2 = q/c i = dq/dt （3）消去中间变量,可得电路微分方程式

例2-2 编写电枢控制的他激直流电动机的微分方程式图 2-2 直流电动机电枢电路

(1)确定输入量和输出量。 取输入量为电动机的电枢电压ud，xr = u 取输出量为电动机的转速 xc = n (2) 列写微分方程式。电枢回路的微分方程式：电动机的机械运动方程式：（3）消去中间变量。得电动机的动态微分方程式（以算子表示）：TdTmp2xc+Tmpxc+xc = x r/Ce

小偏差线性化法设连续变化的非线性函数 在平衡状态点运用台劳级数展开为 2、非线性数学模型线性化实际的物理元件都存在一定的非线性，例如：弹簧系数是位移的函数电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电动本身的摩擦、死区平衡状态A为工作点

具有两个自变量的非线性函数的线性化 增量线性方程

2.2 控制系统的复数域数学模型 1、传递函数的定义和性质定义设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：

在零初始条件下，取拉氏变换得： 称为系统或环节的传递函数，可以写成

例 2-3 图 2-1 所示RC电路的微分方程式为 初始条件为零时，拉氏变换为该电路的传递函数为式中 ——RC电路的时间常数。

例2-4 求直流他激电动机的传递函数。 以电枢电压为输入量、转速为输出量的微分方程式：在初始条件为零时，上式的拉氏变换为：传递函数为：

传递函数的性质 （1）因果系统的传递函数是s 的有理真分式函数，具有复变函数的性质。（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式无关。（3）传递函数与微分方程可相互转换。（4）传递函数的Laplace反变换是系统的脉冲响应。

2.典型环节的传递函数及暂态特性 1）比例环节：其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示：式中 ——环节的放大系数，为一常数。传递函数为：

图2-3 比例环节

2）惯性环节 惯性环节的传递函数可以写成如下表达式。现求输入量为单位跃阶函数时，惯性环节输出量的函数关系求拉氏反变换得

3）积分环节 传递函数为：当输入量为阶跃函数时，则输出量为： 4）微分环节传递函数为：

5）振荡环节 这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。今以RLC 电路（图2-4）为例加以说明。电路的电压平衡方程式为: 在零初始条件下取拉氏变换得传递函数为：

图2-4 RLC电路

将传递函数转换为： 式中：当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：

当时，上式特征方程的根为共轭复数 输出量为： 6）时滞环节传递函数为：

2.3 控制系统的结构图与信号流图 1、控制系统的结构图控制系统的结构图：描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。系统结构图的组成：系统结构图一般有四个基本单元组成（1）信号线；（2）引出点（或测量点）；（3）比较点（或信号综合点）表示对信号进行叠加；（4）方框（或环节）表示对信号进行变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。

系统动态结构图的绘制步骤： 1）首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节并写出它的传递函数。 2）绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它的传递函数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量，按照信号的传递方向把各方框图依次联接起来，就构成了系统结构图。

例2.5 电压测量装置方框结构图 被测电压：指示的测量电压：电压测量误差：系统组成：比较电路、机械调制器、放大器两相交流伺服电动机、指针机构比较电路：调制器：放大器：

两相伺服电动机： 绳轮传动机构：测量电位器：

系统结构图

无源网络的方框结构图

2、系统传递函数和结构图的变换和简化 任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。等效变换的原则：变换前后的变量之间关系保持不变一、典型连接的等效传递函数（1）串联等效

（2）并联 （3）反馈

二、相加点及分支点的换位运算 原则：移动前后保持信号的等效性（1）相加点从单元的输入端移到输出端，如图2-5 图 2-5 相加点后移变位运算

（2）相加点从单元的输出端移到输入端，如图2-6所示（2）相加点从单元的输出端移到输入端，如图2-6所示图2-6 相加点前移变位运算

（3）分支点从单元的输入端移到输出端，如图2-7所示（3）分支点从单元的输入端移到输出端，如图2-7所示图 2-7 分支点后移的变位运算

（4）分支点从单元的输出端移到输入端，如图2-8所示（4）分支点从单元的输出端移到输入端，如图2-8所示图 2-8 分支点前移的变位运算

三、系统开环传递函数 开环传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出 E(s) 到输入端对应的比较器的反馈信号 B(s) 之间所有传递函数的乘积，记为GK(s), GK(s)=G(s)H(s) 前向通道传递函数：输入端对应比较器输出 E(s) 到输出端输出 C(s) 所有传递函数的乘积，记为G(s) 反馈通道传递函数：输出 C(s) 到输入端比较器的反馈信号 B(s) 之间的所有传递函数之乘积，记为 H(s)

四、系统闭环传递函数 在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数。闭环传递函数是分析系统动态性能的主要的数学模型。例2-6 试简化图示系统结构图，并求系统传递函数

五、系统对给定作用和扰动作用的传递函数 图2-11所示系统中有两个输入量——给定作用量和扰动作用量，同时作用于系统。对于线性系统来说，可以对每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就得到系统的输出量图 2-11 Xr(s)和Xc(s)同时作用于系统

1）只有给定作用时的闭环传递函数 和输出量为：

(2) 只有扰动作用时的闭环传递函数 和输出量为因此当两个输入量同时作用于系统时，则输出量为：

3、信号流图 信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法。一、信号流图中的术语（1）源点。只有输出支路的节点称为源点或称为输入节点（2）汇点。只有输入支路的节点称为汇点或称为输出节点（3）混合节点。既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点（4）通路。从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通路（5）开通路。与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路

（6）闭通路。如果通路的终点就是通路的起点，并且与（6）闭通路。如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通路或称为回环（7）回环增益。回环中各支路传输的乘积称为回环增益（或传输）（8）前向通路。是指从源头开始并终止于汇点且与其他节点相交不多于一次的通路，该通路的各传输乘积称为前向通路增益（9）不接触回环。如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环

二、信号流图的绘制例说明绘制信号流图的过程。一系统的方程组为：二、信号流图的绘制例说明绘制信号流图的过程。一系统的方程组为：首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图，如图2-12（a）。该系统相应的结构图如图2-12（b）所示

图2-12 系统信号流图和结构图

从源点到阱点的传递函数（或总增益） 从源点到阱点的前向通路总数从源点到阱点的第k条前向通路总增益流图特征式所有单独回路之和两、两不接触回路增益的乘积之和三、三不接触回路增益的乘积之和流图余因子三、梅逊增益公式

例 2-18求如图2-13所示系统的传递函数 该系统的前向通路及其传输为：系统的回环及其传输为上述各环互相接触，因此

由此得系统的特征式： 上述各回环都与前向通路T1和T2相接触（有共同环节或公共节点），因此得：图 2-13 系统结构图

根据梅逊公式求得系统传递函数为：

小结 • 数学模型的基本概念。数学模型是描述系统暂态过程的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。 • 通过解析法对实际系统建立数学模型。在本章中，根据系统各环节的工作原理，建立其微分方程式，反映其动态本质。

非线性元件的线性化。针对非线性元件的非线性微分方程分析的难度，本章介绍采用小偏差线性化方法对非线性系统的线性化描述。非线性元件的线性化。针对非线性元件的非线性微分方程分析的难度，本章介绍采用小偏差线性化方法对非线性系统的线性化描述。 • 传递函数。通过拉氏变换求解微分方程是一种简捷的微分方程求解方法。本章介绍了如何将线性微分方程转换为复数s域的数学模型——传递函数以及典型环节的传递函数。

动态结构图。动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求解系统的各种传递函数，分析研究系统。动态结构图。动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求解系统的各种传递函数，分析研究系统。 • 信号流图。信号流图是一种用图线表示系统中信号流向的数学模型，完全包括了描述系统的所有信息及相互关系。通过运用梅逊公式能够简便、快捷地求出系统的传递函数。

第二章 控制系统的模型