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第十二章 压杆稳定

第十二章 压杆稳定. 沈阳建筑大学 侯祥林. 第十二章 压杆稳定. § 15–1 压杆稳定的概念. § 15–2 压杆临界力的欧拉公式. § 15–3 临界应力·欧拉公式的适用范围. § 15–4 超过比例极限的临界应力. § 15–5 压杆稳定的实用计算. § 15–1 压杆稳定的概念. 受压杆件除了要满足必要的强度条件之外，还必须能维持原有的平衡状态，这就是稳定性问题，杆件维持原有的平衡状态的能力称其为 稳定性 。. 轴向受压的等截面直杆称为 理想压杆 。.

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第十二章 压杆稳定

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  1. 第十二章 压杆稳定 沈阳建筑大学 侯祥林

  2. 第十二章 压杆稳定 §15–1 压杆稳定的概念 §15–2 压杆临界力的欧拉公式 §15–3 临界应力·欧拉公式的适用范围 §15–4 超过比例极限的临界应力 §15–5 压杆稳定的实用计算

  3. §15–1 压杆稳定的概念 受压杆件除了要满足必要的强度条件之外，还必须能维持原有的平衡状态，这就是稳定性问题，杆件维持原有的平衡状态的能力称其为稳定性。 轴向受压的等截面直杆称为理想压杆。 图示为两端铰支的理想压杆。 干扰力 干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆直线状态的平衡是稳定平衡。 ×

  4. 干扰力 干扰力 干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡。 干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡。 ×

  5. 压杆于直线状态由稳定平衡过度到不稳定平衡称为失去稳定，或简称失稳。 压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态时，其轴向压力称为压杆的临界力，用Pcr表示之。 压杆工作时决不允许失稳。 ×

  6. §15–2 压杆临界力的欧拉公式 由平衡方程得： （a） y 挠曲线近似微分方程为 （b） l x 将式（a）代入式（b）得 （c） 令 ，得微分方程： ×

  7. 通解为： l 由 x = 0，y = 0；得B = 0，于是 由 x = l，y = 0；得: 若A = 0，则 y≡0，挠曲线为直线，无意义，只能 于是得： 由式 得： ×

  8. 此解最小者为压杆的临界力，但n = 0，Pcr= 0，无意义，故取n = 1。即 这就是两端铰支压杆临界力的欧拉公式。 其它支承压杆临界力的欧拉公式与此类似，写成统一形式： 其中称为杆的长度系数。 ×

  9. 杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长度系数如下表。 一端固定 一端固定 两端铰支 约束情况 两端固定 一端自由 一端铰支 压杆形状 l l l l 长度系数 ×

  10. 【例15-1】直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪个临界力最大。【例15-1】直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪个临界力最大。 2l 1.7l 1.3l l （a） （b） （c） 解： （d）杆临界力最大。 ×

  11. §15–3 临界应力·欧拉公式的适用范围 一、临界应力 临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界应力。 i 为截面对中性轴的惯性半径。 令 ， 引入记号：  称为压杆的柔度（或长细比）。 （a）式改写为： ×

  12. 上式为计算压杆临界应力的欧拉公式。 二、欧拉公式的适用范围 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式中的临界应力不得超过材料的比例极限，即 取cr= P时的柔度值为P，则有 ×

  13. 因此，欧拉公式的适用范围为 式中P是判断欧拉公式是否适用时柔度的界限值，称为判别柔度。 ≥ P的压杆称为大柔度杆，或细长杆。只有大柔度杆才能用欧拉公式求解。 ×

  14. 【例15-2】图示压杆的E=70GPa，P=175MPa。此压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。【例15-2】图示压杆的E=70GPa，P=175MPa。此压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。 P 【解】 40 100 z 1.5m y 因≥ P，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为： ×

  15. 【例15-3】图示圆截面压杆，d=100mm，E=200GPa，P=200MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。【例15-3】图示圆截面压杆，d=100mm，E=200GPa，P=200MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。 P 【解】 d l ×

  16. 【例15-4】图示矩形截面压杆，其约束性质为：在xoz平面内为两端固定；在xoy平面内为一端固定，一端自由。已知材料的E=200GPa，P=200MPa。试求此压杆的临界力。【例15-4】图示矩形截面压杆，其约束性质为：在xoz平面内为两端固定；在xoy平面内为一端固定，一端自由。已知材料的E=200GPa，P=200MPa。试求此压杆的临界力。 x 【解】 P 20 60 1m z y o z ×

  17. x P 20 60 1m z y o z 压杆将在xoy平面内失稳，欧拉公式适用。 压杆临界力为 ×

  18. §15–4 超过比例极限的临界应力 一、超过比例极限后压杆的临界应力 当 ≥ P时，可用欧拉公式计算压杆的临界力和临界应力，当 ﹤P时，压杆的临界力和临界应力的计算，目前尚没有严密的理论公式。对于此类压杆，各国多采用经验公式计算压杆的临界力和临界应力，这里仅介绍比较简单的直线经验公式。即 式中a，b是与材料性质有关的常数，例如A3钢，a=304MPa，b=1.12MPa。 ×

  19. 临界应力必须小于屈服极限，即cr﹤s，当cr=s时，压杆发生屈服破坏，属强度问题。 若以s表示对应于cr=s时的柔度，则有 二、临界应力总图 压杆的临界应力与柔度的关系曲线，即cr－ 曲线，称为临界应力总图。 ×

  20. 临界应力总图 ×

  21. §15–5 压杆稳定的实用计算 可与建立压杆强度条件类似建立压杆的稳定条件： 式中nw为稳定安全系数。 将 代入上式，得 当给出稳定安全系数时，可用上式进行稳定计算。若给出压杆容许应力[]，则 ×

  22. 即 或 式中 称为稳定系数，或折减系数。 稳定系数与压杆的材料、柔度有关。各种材料的稳定系数可查表获得。 ×

  23. 【例15-5】两端铰支压杆，尺寸如图所示。已知材料的E=200GPa，P=200MPa。直线经验公式为cr=304-1.12 (MPa)。若取稳定安全系数nw=3，试确定容许压力。 P 【解】 20 600 30 z 因﹥P，欧拉公式适用。 y ×

  24. 【例15-6】图示为型号22a的工字钢压杆，材料A3钢。已知压力P=280kN，容许应力[]=160MPa，试校核压杆的稳定性。【例15-6】图示为型号22a的工字钢压杆，材料A3钢。已知压力P=280kN，容许应力[]=160MPa，试校核压杆的稳定性。 【解】由型钢表查得22a工字钢的 P z 4.2m 查表： y 插分： ∴安全 ×

  25. 【例15-7】图示支架，AC为圆木杆，直径d=150mm，容许应力[]=10MPa。试确定容许荷载[P]。【例15-7】图示支架，AC为圆木杆，直径d=150mm，容许应力[]=10MPa。试确定容许荷载[P]。 B A 2m P C 【解】 查表得： ×

  26. B A A 2m P P C 取结点A，受力如图所示。 根据平衡条件，得 ×

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