线性方程组理论在几何中的应用主讲张金战

高等代数专题讲座 线性方程组理论在几何中的应用主讲张金战

线性方程组理论与几何有密切关 系，下面举例说明如何利用线性方程组理论解决一些几何问题。例1 求n个平面 aix+biy+ciz+di=0 (i=1,2,…,n) （1）通过一直线但不合并为一平面的充要条件。

解：n个平面 aix+biy+ciz+di=0 (i=1,2,…,n) 通过一直线但不合并为一平面线性方程组（1）有解，并且解集是1维线性流形；线性方程组（1）有解，且它的导出组的解空间是1 维的；线性方程组（1）有解，且导出组的系数矩阵A的秩是2；线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵的秩都是 2；

线性方程组（1）的系数矩阵与下 述矩阵B的秩都是2.

例2 求平面上通过五点（x1,y1）， （x2,y2）,（x3,y3）,（x4,y4）,（x5,y5）的二次曲线的方程。解设通过上述五点的二次曲线C的方程为 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=o (2) 于是有 axi2+bxiyi+cyi2+dxi+eyi+f=0 , i=1,2,3,4,5. (3)

点M的坐标（x，y）在二次曲线C上 点M的坐标（x，y）适合C的方程，即有 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=o (4) 以a，b，c，d，e，f为未知量的方程组 (5) 有非零解并且非零解的前三个分量不全为零。

方程组（5）的系数矩阵的行列式A等于 零，即 (6) 并且A的（1，j）元的余子式A1j（j=1，2，3）中至少有一个为零（注意：当（6）式成立时，（A11，A12，…，A16）是方程组的一个解。）因此，（6）式就是所求的二次曲线方程。

例3 设M1(x1，y1)，M2 （x2，y2），…，Mn（xn，yn）为平面上n个点，试求出M1， M2，…，Mn在同一直线上的充要条件。

解设M1，M2，…，Mn在同一直线 ax+by+c=0上（a，b，c不能同时为零），此时M1，M2，…，Mn的坐标适合方程 ax+by+c=0，故有 (7)

从而未知量为X，Y，Z的齐次线性方程组 (8) 有非零解X=a，Y=b，Z=c.

此时有 反之，若

则齐次线性方程组（8）有非零解。取其 中一组，比如说X=a，Y=b，Z=c，则方程组（7）成立，从而M1 ,M2，…，Mn同在直线 ax+by+c=0上。综上所述，M1，M2，…，Mn在同一直线上的充要条件是

注记容易看出 M1，M2，…，Mn重合。

所以本题演变为 设M1(x1，y1)，M2（x2，y2），…，Mn （xn，yn）（n>2）为平面上n个相异的点，则M1，M2，…，Mn在同一直线上的充要条件是

线性方程组在几何上的应用还有很 多,这里举的例子只是其中的一小部分,同学们可在学习过程中多看,多思考,体会和掌握高等代数知识在相关实际问题中的应用.

谢谢大家

线性方程组理论在几何中的应用 主 讲 张金战