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以「旅行推銷員問題」為例，淺談 如何利用計算機解題

以「旅行推銷員問題」為例，淺談 如何利用計算機解題. 唐傳義 教授 cytang@cs.nthu.edu.tw 國立清華大學資訊工程系. 12. 1. 2. 1. 3. 8. 2. 10. 3. 4. 給定 4 個城市的相互距離. 12. 1. 2. 1. 3. 8. 2. 10. 3. 4. 最小展開樹問題 尋找一個將四個城市最經濟的聯結. 旅行推銷員問題 Traveling Salesman Problem (TSP) 尋找一個從 (1) 出發，回到 (1) 的最短走法. 12. 1. 2. 1. 3. 8. 2.

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以「旅行推銷員問題」為例，淺談 如何利用計算機解題

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  1. 以「旅行推銷員問題」為例，淺談如何利用計算機解題以「旅行推銷員問題」為例，淺談如何利用計算機解題 唐傳義 教授 cytang@cs.nthu.edu.tw 國立清華大學資訊工程系

  2. 12 1 2 1 3 8 2 10 3 4 給定4個城市的相互距離

  3. 12 1 2 1 3 8 2 10 3 4 最小展開樹問題尋找一個將四個城市最經濟的聯結

  4. 旅行推銷員問題Traveling Salesman Problem (TSP)尋找一個從(1)出發，回到(1)的最短走法 12 1 2 1 3 8 2 10 3 4

  5. TSP是一個公認的難題NP-Complete • 意義：我們現在無法對所有輸入找到一個有效率的解法 • 避免浪費時間尋求更佳的解法 • Ref: Horowitz & Sahni,Fundamentals of Computer Algorithms, P528.

  6. 像satisfiabilibility problem • 目前只有exponential algorithm，還沒有人找到polynomial algorithm (你也不妨放棄！)這一類問題是NP-Complete Problem • Garey & Johnson “Computers & Intractability” • 2n相當可怕

  7. Computational Biology 生物應用的計算需求 抽象化 數學問題 算法設計 Added Value Database Database 工具程式

  8. 例 Physical Mapping of DNA P1 P2 P1P2 P1 P2 C2 [11] C1 [10] C1 [10] C2 [11] C3 [01] C3 [01] consecutive 1 propety • False negative • False positive C1 C2 C3

  9. A clones x probes matrix with added column p6*. 2 P1 P2 2 2 2 3 0 3 2 3 P6 P3 4 4 4 TSP graph for matrix of Table 1 2 P5 P4 2

  10. 旅行推銷員問題是許多排程應用的核心問題 　（航運排程）旅行推銷員問題是許多排程應用的核心問題 　（航運排程） • 有許多變型 • 平面TSP • 幾何TSP（滿足三角不等式） • 不對稱TSP * * * * * * * 2 (1) (2) 3 4 2 (3) (1) (2) 4

  11. 窮舉法（Enumerating） (想想看什麼問題不能窮舉解？)－加分題! • 旅行推銷員問題： 3!走法 (n-1)! • 最小展開樹問題： 16種樹 n(n-2) Cayley’s Thm. Ref: Even, Graph Algorithms, PP26~28 2 1 1 4 3 12 4

  12. Labeled tree  Number sequenceOne-to-One Mapping • N個nodes的labeled tree可以用一個長度N-2的number sequence來表達。 • Encoding: Data Compression.

  13. Labeled treeNumber sequence • 在每一個iteration裡，切除目前所有leaves中編號最小的node及其edges，記錄切點，切到只剩一條edge為止。 例. Prune-sequence:7,4,4,7,5(切點) • Label最大者必在最後的edge. • 每個node原先的degree數=此node在Prune-sqeuence中出現的次數+1. 2 5 6 4 7 3 1

  14. Number sequenceLabeled tree Prune-sequence: 7,4,4,7,5 • 每一個iteration裡，選擇degree為1且編號最小的node，連接prune-sequence中相對的node，之後兩個nodes的degree均減1. Iteration 1 Iteration 2 Iteration 3 Iteration 4 Iteration 6 Iteration 5 1 7 1 7 2 4 1 7 2 4 3 3 1 7 3 4 2 1 7 4 2 3 5 1 7 6 5 4 2 6

  15. 貪心法（Greedy） • 旅行推銷員問題 x • 最小展開樹問題 o 兩種貪心都成功： 1. 將邊由小到大加入，有迴圈即丟掉 2. 將樹從一點開始，最經濟向外擴展

  16. Minimal spanning treeKruskal’a Algorithm A B 70 C 50 300 75 80 200 65 E D 90 Begin T <- null While T contains less than n-1 edges, the smallest weight, choose an edge (v, w) form E of smallest weight 【 Using priority queue, heap O (log n) 】, delete (v, w) form E. If the adding of (v, w) to T does not create a cycle in T,【 Using union, find O (log m)】 then add (v, w) to T; else discard (v, w). Repeat. End. O (m log m) m = # of edge

  17. 做priority queue可以用heap operation O(log n) Initial O(n) • Tarjan: Union & Find可以almost linear (Amortized) • Correctness • 如果不選最小edge做tree而得到minimal • 加入最小edge會有cycle • Delete cycle中最大的edge會得到更小cost之tree (矛盾！) 1 2 4 3 7 5 6

  18. 建spanning tree可以看做spanning forest加link 1. 加 edge(2,3) 不合法 2. 加 edge(1,4) 合法 • 另一種看法： S1={1,2,3} S2={4,5} Edge的端點要在不同set Set的 Find, Union O(log n) 1 4 2 3 5

  19. Prim’s Algorithm A B 70 C 50 300 75 80 200 65 E D 90 Step 1: Let x be any vertex in V. Let A = {x} and B = V - {}. Step 2: Select an edge (u, v) form E such that u in A, v in B and (u, v) has the smallest weight among edges between A and B. Step 3: Connect v to u in A. Let A = A + {v} and B = B – {v}. Step 4: If B is empty, terminate and the resulting tree is a minimal spanning tree. Otherwise, go to Step 2. O(n2)

  20. 考慮以下的城市做旅行推銷員問題 1 4 100 • 從(1)開始貪心 不成功！ 1 3 15 8 2 2 3 1 2 3 1 2 3 4 100

  21. 一些常用的方法 • 貪　心　法（The Greedy Method） • 各個擊破法（Divide-&-Conquer） • 窮　舉　法（Enumerating） • 樹狀搜尋法（Tree Searching Strategies）　　　　　（Branch & Bound） • 動態規畫法（Dynamic Programming） • 近　似　法（Approximation）

  22. 動態規畫法（Dynamic Programming） 原則： • 滿足遞迴關係 技巧： • 利用空間換取時間 最簡單的例子： • 算Fibonacci Number F (i) = F (i - 1) + F (i - 2) F (0) = F (1) = 1

  23. 樹狀搜尋法（Tree Searching Strategies）　　　　　（Branch & Bound） • 預估B, C, D以下的解，如果D的最樂觀可能解，都比B以下的某解還差，則D以下可以不搜尋 深藍！ A B C D

  24. 近似解法（Approximation） • 不期望最佳解 • 用效率高的方法去求合理解 • 該合理解與最佳解有可預期的倍數關係 • 可以做如模擬退火法的其它解法的初始解or參考值 • 理論分類 • NPO complete • MAX SNP hard • PTAS http://web.informatik.uni~bonn.de/IV/Mitarbeiter/rick/WS9687/approxvortr/approxvortr.html

  25. 以幾何TSP為例先做最小展開樹

  26. 挑出所有奇數degree的點 Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ

  27. 對他們做matching (Euler Graph) Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ

  28. Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ 一筆畫 Minimal spanning tree < TSP Minimal matching < 1/2 TSP => < 3/2 TSP 時間 n2.5

  29. 模擬自然界一些其它的隨機方法 • 模擬退火 • 神經計算 • 基因演算

  30. 模擬退火 回火 策略Simulated-Annealing • Local maximal  global maximal 難 題 ！ • Local maximal 不是 global maximal

  31. 模擬退火法(Simulated Annealing) procedure SIMULATED-ANNEALING begin INITIALIZE ( i start, c0, L0); k := 0; i := i start; repeat for l := 1 to Lk do begin GENERATE (j form Si); Greedy if f (j) <= f (i) then I := j else if exp { [f (i) – f (j)] / ck} > random [0, 1) then I := j end; f (i) – f (j)比ck愈小愈有機會反Greedy但不要太離譜！ k := k +1; CALCULATE_ LENGTH (Lk); CALCULATE_ CONTROL (Lk); until stop criterion end;

  32. TSP如何做？ 從一個tour裡任取兩個edge 決定到底要不要用 取代 原則：通常還是貪心，偶而讓它反其道一下

  33. 模擬退火是一種隨機方法，只能預設一個停止時間，看天吃飯。模擬退火是一種隨機方法，只能預設一個停止時間，看天吃飯。 • 模擬退火中有許多參數，要靠經驗或實驗。

  34. Introduction Genetic Algorithms（基因計算） Begin Encoding • Genetic Algorithms • Artificial mechanisms of natural evolution. • A robust search procedures and solving complex search problems. • Disadvantage • Low efficient if large problem space. • Population homogeneous. Initialize population Evaluate population Reproduction & Selection Crossover No Mutation Evaluate population Termination criterion End Yes

  35. The Eugenic Genetic Algorithm for TSPCrossover Phase (a) A 1 (a) B 1 • Sequence preserving crossover (SPX) • Schemata is preserved as more as possible. 2 9 2 9 3 8 3 8 4 7 4 7 Crossover 5 6 5 6 A=123||5748||69 B=934||5678||21 (a) A’ 1 (a) B’ 1 2 9 2 9 A’=234||5678||91 B’=936||5748||21 3 8 3 8 4 7 4 7 5 6 5 6

  36. The Eugenic Genetic Algorithm for TSPMutation Phase • Point mutation • Inversion mutation • Shift mutation (a) Point mutation (b) Inversion mutation (c) Shift mutation (right shift)

  37. 分子計算（Molecular Computation） • Use (DNA) molecules to represent the data instances. Put the molecules into a tube, control the environments. • The molecules will bind with each other. The most tightly binging is the minimum cost solution. • Massive parallelism since the large number of molecules. 一莫耳 = 6.02 * 1023 Ref. Adleman, Molecular Computation of Solutions to Combinatorial Problems, Science, Vol. 266, 11, 1994, PP1021-1024.

  38. 以TSP的特例Hamiltonian Path為例（也是難題） • 問題：有無從0  6，長度為6，各vertex恰走一遍的path? O2 TATCGGATCGGTATATCCGA O3 GCTATTCGAGCTTAAAGCTA O4 GGCTAGGTACCAGCATGCTT O23 GTATATCCGAGCTATTCGAG O34 CTTAAAGCTAGGCTAGGTAC O3 (bar) CGATAAGCTCGAATTTCGAT O23 O34 ↓ GTATATCCGAGCTATTCGA GCTTAAAGCTAGGCTACGATAAGCTCGAATTTCGAT ↓ O3 (bar) 4 3 1 0 6 2 5 • Fig.1. Directed graph. When Vin = 0 and Vout = 6, unique Hamiltonian path exists: 0  1, 1  2, 2  3, 3  4, 4  5, 5  6.

  39. 分子做法 1-1 任意選vertex編碼 1-2 產生instance編碼 1-3 截取DNA 1-4 放入試管 2．分子過濾 3．分子過濾 4．分子過濾 還有path存在 計算做法 1．產生一path 2．檢查首尾 3．檢查長度 4．檢查每個vertex都有 Yes No

  40. 未來的計算機 • 生物計算機 • 量子計算機

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