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4. Symmetriebrechung

4. Symmetriebrechung. Symmetriebrechung:. Beispiel 2: Wasserstoffatom,  Rotationssymmetrie. , Spezialfall:. Entartung durch Symmetrie. „zufällige“ Entartung. 4.1. Stationäre Störungen. Symmetrie  Entartung von Energieniveaus.

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4. Symmetriebrechung

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  1. 4. Symmetriebrechung Symmetriebrechung: Beispiel 2:Wasserstoffatom,  Rotationssymmetrie , Spezialfall: Entartung durch Symmetrie „zufällige“ Entartung 4.1. Stationäre Störungen • Symmetrie  Entartung von Energieniveaus Beispiel 1:Harmonischer Oszillator in zwei Dimensionen,  Rotationssymmetrie  hoher Entartungsgrad

  2. i.a. ℕ • Entartung von Energieniveaus  Symmetrie Beispiel:

  3. Ungestörte Lösungen: Kleiner stationärer Störoperator: Entwicklung in  ( Störungsreihe ): • Stationäre, kleine Störung:  zeitunabhängige Störungsrechnung Ungestörte Schrödingergleichung:

  4. Tafelrechnung  bei nicht-entarteten Eigenzuständen n Strategie der Störungsrechnung (  Theorie VL ) „Störungsrechnung 1. Ordnung“ Die Energieverschiebung in erster Ordnung Störungsrechnung ist gleich dem Erwartungswert des Störpotentials, berechnet mit der ungestörten Wellenfunktion.

  5. Tafelrechnung  Für entartete Zustände np (entartet in p) sind die orthonormalen Basisfunktionen np im entarteten Unterraum so zu wählen, dass die Störmatrix diagonal ist. Die Energieverschiebungen sind (bei beliebiger Wahl der Basis) gleich den Eigenwerten der Störmatrix. Störmatrix: Bedingung für die guten QZ: Dann: Komplikation:Entartung p: entartete QZ np, n fest, spannen den entarteten Unterraum auf. Frage:Welche Basis passt zur Störung? Was ist die gute QZ p? Gute QZ p  Erhaltungsgröße zum gestörten Hamilton-Op.

  6. z-Achse H-Atom im äußeren Magnetfeld r B H-Atom Störpotential ( klassisch ): e-Bahnbewegung  magnetisches Moment A I Bahndrehimpuls: e Störpotential: 4.2. Der normale Zeeman-Effekt B  0 3-D Drehsymmetrie im Raum B  0 1-D Drehsymmetrie um z-Achse partielle Symmetriebrechung

  7. Klassisches Störpotential: z Quantenmechanisch: I e  Aufhebung der m-Entartung Bohrsches Magneton: Experimentelle Beobachtung: B  0 B  0 m1 E m0 2p Spektrallinien spalten auf! Problem: Theorie passt quantitativ nur schlecht! m1 m0 1s Störungsrechnung 1. Ordnung 

  8. z I wird vom Photonübernommen e m  1: e-Kreisschwingung   -Strahlung m  0:e-Schwingung ∥  -Strahlung Beobachtung des Photons in -Richtung m  0:existiert nicht (keine Dipolstrahlung entlang Dipolachse) m  1:Photonen sind rechts / links zirkular polarisiert B  0 B  0 m1 E Beobachtung des Photons senkrecht zur -Richtung m0 2p m1 m  0:Photonen sind linear polarisiert in -Richtung m  1:Photonen sind linear polarisiert senkrecht zur -Richtung m0 1s

  9. z I wird vom Photonübernommen e m  1: e-Kreisschwingung   -Strahlung m  0:e-Schwingung ∥  -Strahlung Folgerung:Photonen tragen Eigendrehimpuls ( Spin) von . B  0 B  0 m1 E m0 2p m1 m0 1s Experimenteller Befund: Strahlungsübergänge mit m1 finden nichtstatt, bzw. sind stark unterdrückt (höhere Multipolübergänge). Bemerkung:Spin ist rein quantenmechanisches Konzept. Es gibt kein klassisches Analogon. Theorie hierzu:Zeitabhängige Störungstheorie; Quantenfeldtheorie

  10. relativistische Massenzunahme • e-Geschwindigkeit abhängig von ℓ ℓ-Entartung • Orientierung von nicht relevant  m-Entartung bleibt erhalten Störoperator (QM) 4.3. Relativistische Korrekturen Störung (klassisch):

  11. Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante Störungsrechnung 1. Ordnung mit Wasserstoff-Wellenfkt. ( Lehrbücher)

  12. Beispiel:Z  1 ( Wasserstoff ) nicht mehr entartet! Generell: Der kleine Wert von  rechtfertigt Störungsrechnung. ≲

  13. 4.4. Der Spin des Elektrons z Magnet Ofen N x 0 Ag-Strahl S Ag-Dampf Ag Blende Glasscheibe B  0 N B↗ Ag-Dichte B↗↗ Ag-Strahl S inhomogen z 0 4.4.1. Das Stern-Gerlach-Experiment(1921)

  14. B  0 B↗ Ag-Dichte B↗↗ z 0 N Hypothese: (Goudsmith, Uhlenbeck, 1925) Elektronen tragen Eigendrehimpuls bzw. Spin magn. Moment Ag-Strahl S inhomogen Erklärung:Ag-Atome haben magnetisches Moment Problem:Grundzustand des Ag-Atoms ist s-Zustand  Bemerkung:Spin ist rein quantenmechanisches Konzept. Es gibt kein klassisches Analogon.

  15. Quantenmechanischer Ansatz analog zum Bahndrehimpulsoperator: Folge:Kraft im Magnetfeld: Bahdrehimpuls: Ansatz:Magnetisches Spinmoment des Elektrons:   gyromagnetisches Verhältnis 1925 war bekannt(aus Untersuchung von Mehrelektronen-Atomen): Das magnetische Moment des Ag-Atoms wird nur von einemValenzelektron getragen. Die übrigen magnetischen Momente kompensieren sich ( abgeschlossene Schalen).

  16. B  0 B↗ Ag-Dichte B↗↗ z 0 N Ag-Strahl S inhomogen Fazit:Beobachtung von zwei Stern-Gerlach-Peaks  2s  1  2 Das Elektron ist ein Spin-½-Teilchen. • Teilchen mit halbzahligem Spin heißen Fermionen. • Teilchen mit ganzzahligem Spin heißen Bosonen.

  17. z Kugelradius y x Das Vektormodell des Elektronen-Spins: Aufwachen! Sehr wichtig!

  18. 4.4.2. Der Einstein-de-Haas-Effekt(1915)   Messung des gyromagnetischen Verhältnisses S des Elektronenspins. Lichtquelle Torsionsfaden Spiegel Skala Eisenzylinder Magnetfeld in Feldspule so groß, dass Eisenzylinder bis zur Sättigung magnetisiert.  Alle magnetischen Spinmomente voll in z-Richtung ausgerichtet. Feldspule z

  19. Experiment: Umpolen  • messbar Änderung aller Elektronenspins Drehimpuls-Übertrag auf Zylinder Anfangs-Rotationsenergie:  • ETorsion bei Maximalausschlag : messbar  Fazit: Richtmoment Dr z Spiegel Radius R Masse m Feldspule Betrag der Magnetisierung: N  Spins im Zylinder

  20. Bahndrehimpuls des Elektrons: 4.2.  Schreibweise: Landé-Faktor Genauere Messung ( Elementarteilchenphysik)  ! Relativistische Quantenmechanik ( Dirac-Gleichung)  Quantenfeldtheorie ( Quantenelektrodynamik)  Experimentelles Resultat: • Spin des Elektrons:

  21. 4.4.3. Die Feinstruktur Wechselwirkung zwischen und  ,,Spin-Bahn-Kopplung” Klassisches Modell: Kern Biot-Savart  Energie von in : e Volle relativistische Rechnung ( z.B. Jackson): I Elektron-Ruhesystem Analogon in QM: Störungsrechnung 1. Ordnung: Abkürzung Folge:,,Feinstruktur-Aufspaltung” der entarteten Wasserstofflinien

  22. Trick: ¾ unabhängig von mℓ , ms , mj nicht einzeln erhalten, keine guten QZ mehr bzgl. welcher guten QZ? Gesamtdrehimpuls: ( Erhaltungsgröße) Zu klären:Welche Werte können dieneuen QZ j , mjannehmen?

  23. z Erreichbare Werte für j: ms y  mL x Hier (s  ½): Wert j ist nicht eindeutig! und ungekoppelt (einzeln erhalten) mL, mshaben eindeutige Werte! Drehimpulsaddition im Vektormodell: (formale Behandlung  Q.M. II) Aufwachen! Sehr wichtig!

  24. z Erreichbare Werte für j: y  x Hier (s  ½): Drehimpulsaddition im Vektormodell: (formale Behandlung  Q.M. II) und gekoppelt  ist erhalten Jeder Beitrag zu (j,mj) erfüllt: mjmLms Aber: mL, mshaben keinen eindeutigen Wert!

  25. Beispiel: Nomenklatur: p ℓ  1 ℓ Bleibt zu untersuchen: klassischer Faktor quantenmechanischer Erwartungswert  Folgerung: Zeeman-Effekt des Spin-moments im Magnetfeld des Stroms der Bahn-bewegung des Elektrons Spezialfall:ℓ  0  j  ½ eindeutig; keine Aufspaltung, nur Verschiebung!

  26. Verschiebung ist von der Ordnung 2, genauer En Z2 2 n1. Diese Größenordnungen haben auch die relativistischen Korrekturen (4.3.): Summe beider Beiträge ergibt sowohl für jℓ½ als auch fürjℓ½: Feinstrukturaufspaltung Zusammenfassung: • Entartung in ℓbleibt bestehen ( zufällig). • Nicht der Fall bei Mehrelektronatomen ( kein reines 1r-Potential). • Elegantere Herleitung: Dirac-Gleichung ( erelativistisch, Spin-½)

  27. n  3 3s½ n  2 2p½ 3p½ n  1 1s½ 2s½ Termschema des realen H-Atoms (Feinstruktur stark übertrieben): E s (ℓ0) p (ℓ1) d (ℓ2) 0 Ry*

  28. Grund: Wechselwirkung zwischen magn. Spinmoment und B-Feld Voraussetzung:Das B-Feld ist hinreichend klein, derart, dass die Wechselwirkungsenergie zwischen magnetischem Spinmoment und B-Feld kleingegen die Feinstruktur-Energieverschiebung ist. Wechselwirkungsenergie ist kleine Korrektur zur Feinstruktur. Gesamtdrehimpuls: Magnetisches Gesamtmoment: 4.4.4. Der anomale Zeeman-Effekt Nomaler Zeeman-Effekt ( 4.2.): Experimentell nur bestätigt für Atome mit:  QZ des ungestörten Wasserstoffatoms: n , ℓ, s (½) , j , mj

  29. ist Erhaltungsgröße ist verschmiert aufKegelum istverschmiert aufKegelum verschmiert aufKegelum Gemittelt über den Kegelmantel bleibt nur die Komponente von in Richtung von : V für : QM Semiklassische Auswertung: (Vektormodell) ungestörtes Atom (B0)

  30. Der alte Trick: Resultat: Landé-Faktor:

  31. Voraussetzung:Das B-Feld ist hinreichend groß, derart, dass die Wechselwirkungsenergie zwischen magn. Spinmoment und B-Feld großgegen die Feinstruktur-Energieverschiebung ist. Die Wechselwirkungsenergie ist eine Störung des Atoms ohne Spin-Bahn-Kopplung ( und beide erhalten). Die Spin-Bahn-Kopplung ist eine kleine Störung dieses gestörten Atoms ( 2. Störung). Paschen-Back-Effekt Der umgekehrte Fall:  QZ des ungestörten H-Atoms: n , ℓ, mℓ, s (  ½ ) , ms (   ½ )

  32. Spektroskopische Notation: L, S, J QZ für Gesamtdrehimpuls-spin in Mehrelektronensystemen z.B.

  33. mL2mS mL mS mJ D1 D2 B 0 Beispiel: Die ,,diffusen“ Natrium-Linien D1 , D2 anomaler Zeeman-Effekt Paschen-Back-Effekt

  34. Neutron n Qn0 Proton p Qpe Up-Quark u Qu⅔ e Spin-½ Atomkern Kerne tragen Kernspin , sehr komplex zusammengesetzt aus Bahndrehimpulsen und Spins der Konstituenten. Down-Quark d Qd⅓ e Spin-½ Proton (uud) Neutron (ddu) 4.5. Hyperfeinstruktur Spektroskopie höchster Auflösung  DieFeinstruktur-Linien des H-Atoms sind gespalten in Dubletts Hyperfeinstruktur (HFS) Ursache:Atomkern  positive Ladung Ze undendliche Ausdehnung • Nukleonen (p oder n) tragen Bahndrehimpuls im Kern • Nukleonen sind Spin-½-Teilchen • Nukleonen sind selbst zusammen-gesetzt aus Spin-½-Quarks

  35. Analog zum Elektron: K  gyromagnetisches Verhältnis Magnetisches Kern-Moment: QZe ist positiv Natürliche Einheit: Kernmagneton  Folge: HFS-Aufspaltung  O(103)Feinstruktur-Aufspaltung Schreibweise:gI Landé-Faktor Kernspin:

  36. Beispiel:Proton, Neutron  Ip  In  ½  gp 2 , gn 0  Protonen und Neutronen sind zusammengesetzt

  37. Hüllenspin  Magnetfeld am Kern Hülle besteht aus negativen Ladungen  Kopplung  und nicht mehr getrennt erhalten, sondern nur noch Der alte Trick:  Aj Hyperfeinkonstante Das Störpotential des Kernspins (semiklassisch im Vektormodell):

  38. für S-Zustände Resultat: Beispiel: Grundzustand des Wasserstoffatoms  ℓ  0 , s  ½ , j  ½ , I  ½ Bemerkung: Kleine Magnetfelder führen zur Aufspaltung der HFS-Linien gemäß gFBBmF(anomaler Zeeman-Effekt). Wird die magnetische WW-Energie groß gegen die HFS-Aufspaltung, spalten die Linien gemäß gjBBmj gIKBmIauf (Paschen-Back-Effekt) . Die HFS kommt dann als kleine Zusatzaufspaltung gemäß AjmImj hinzu ( Ableitung aus Vektormodell für ). Ungestörte Wellenfunktion der Hülle  Magnetfeld Bj am Kern

  39. Analog: ½ Der Wasserstoff-Grundzustand 1 2S½: n  1 , ℓ 0 , j  ½, I  ½ Erinnerung: sehr klein

  40. Der Wasserstoff-Grundzustand 1 2S½: n  1 , ℓ 0 , j  ½, I  ½ mjmI mj mI mF B 0 F  1 F  0 HFS anomaler Zeeman-Effekt Paschen-Back-Effekt

  41. virtuelles Photon, Energie E e e t tt e ≲ Verletzung der Energie-Erhaltung klassischer Bahnradius V(r) 0 r  Verschiebung der Energie- niveaus, besonders bei inneren Orbitalen (wo das Potential V(r) stark gekrümmt ist) Verschmierung durch Zitterbewegung 4.6. Die Lamb-Verschiebung Quantenelektrodynamik  Quantenfluktuationen des Vakuums, z.B.  Zitterbewegung des Elektrons

  42. Exp. Test (Lamb & Retherford, 1947): Messung des Übergangs 2s½ , 2p½ 1s½ 1s½ Dirac-Gleichung (Feinstruktur) Quanten-Elektrodynamik Beispiel: Wasserstoffatom E 0 2s, 2p 1s Ry* Schrödinger-Gleichung

  43. 4.6. Der Stark-Effekt Ungestörtes Atom: Kern QK Ze induziertes elektr. Dipolmement: Hülle QH Ze elektr. Dipolmement: atomare Polarisierbarkeit (Tensor) Wechselwirkungsenergie: Die Wechselwirkungsenergie ist proportional zum Quadrat der Störgröße , d.h. es handelt sich um eine Störung zweiter Ordnung. Externes elektrisches Feld (homogen über Atom/Molekül-Volumen) • Klassich: Betrachte System ohne permanentes elektr. Dipolmoment

  44.  hat eine wohlbestimmte Parität: Folgerung:  gerade Funktion Folgerung: ist eine ungerade Funktion Folgerung: Störungsrechnung 1. Ordnung Störungsrechnung 2. Ordnung  (1) EE(2) quadratischer Stark-Effekt • Quantenmechanisch: Elektronzustand seinicht entartet! z Potentielle Energie des Hüllenelektrons im E-Feld: Hüllenelektron Orbital:  Ungestörte Atome besitzen kein elektrisches Dipolmoment. Ein äußeres elektrisches Feld führt zu keiner Energieverschiebung in erster Ordnung Störungsrechnung.

  45. Folgerung: (Vqp) besitzt Eigenwerte  0  es gibt Energieverschiebungen linearer Stark-Effekt Ursache: Die Eigenzustände zur Störmatrix sind Linearkombinatio- nender entarteten Orbitale, ℂ d.h. Mischungen von Orbitalen verschiedener Paritäten. Diese Eigenzustände besitzen daher i.a. nicht-verschwin- dende elektrische Dipolmomente: • Quantenmechanisch: Elektronzustand seientartet! z Störmatrix der entarteten Orbitale p: Vqp i.a. ungleich 0, falls q, p ungleiche Parität haben Hüllenelektron mit entarteten Orbitalen: p

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