論理とは何か

1. 論理とは何か 2007/4/6

2. 構成 • 第一部 • 論理体系の導入 • cut除去定理 • 第二部 • 新しい論理体系への拡張 • cut除去定理の成立条件 • 結論

3. 論理とは何か • 論理的なもの • 日常生活における論理的思考 • 数学における証明過程 • プログラムの動き • 論理的な部分だけ取り出したい

4. 例1.日常生活における論理 • 例 • 暖冬ならば雪が少ない • 雪が少ないならばスキー場が困る • よって、暖冬ならばスキー場が困る • 一般化 • 仮定：　「AならばB」と「BならばC」 • 結論：　「AならばC」

5. 例2.数学における論理 • 例 • 辺の長さが3,4,5ならば、三平方の定理を満たす • 三平方の定理を満たすならば、直角三角形 • よって、辺の長さが3,4,5ならば、直角三角形 • 一般化 • 仮定：　「AならばB」と「BならばC」 • 結論：　「AならばC」

6. 例3.プログラムにおける論理 • 例 プログラム1 文字列S 整数n プログラム2 Yes or No 文字列S • 一般化 • 仮定：　「AからB」と「BからC」 • 結論：　「AからC」

7. 推論規則 Γ ⇒ Δ,X,Y,Π (e右) Γ ⇒ Δ,Y,X ,Π Σ,X,Y,Γ ⇒ Δ(e左) Σ,Y,X,Γ ⇒ Δ Y, Γ ⇒ Δ,Y(→右) Γ ⇒ Δ,X→Y Γ ⇒ Δ,XY,Σ⇒ Π(→左) X→Y,Γ,Σ ⇒ Δ,Π Γ ⇒ Δ (w左) X,Γ ⇒ Δ Γ ⇒ Δ (w右) Γ ⇒ Δ,X Γ ⇒ Δ,X,X (c右) Γ ⇒ Δ,X X,X,Γ ⇒ Δ (c左) X,Γ ⇒ Δ X,Γ ⇒ ΔY,Γ⇒ Δ(∨左) X∨Y,Γ ⇒ Δ Γ ⇒ Δ,Y (∨右2) Γ ⇒ Δ,X∨Y Γ ⇒ Δ,X (∨右1) Γ ⇒ Δ,X∨Y X, Γ ⇒ Δ (¬右) Γ ⇒ Δ,¬X Y, Γ ⇒ Δ (∧左2) X∧Y,Γ ⇒ Δ Γ ⇒ Δ,X Γ⇒ Δ,Y(∧右) Γ ⇒ Δ,X∧Y 公理 論理体系LK A ⇒ BB⇒ C (cut) A ⇒ C Γ ⇒Δ,XX,Σ⇒ Π(cut) Γ,Σ ⇒ Δ,Π 上段が仮定、下段が結論 Γ ⇒ Δ,X (¬左) ¬X,Γ ⇒ Δ Γ ⇒ Δ,X (¬左) ¬X,Γ ⇒ Δ X, Γ ⇒ Δ (∧左1) X∧Y,Γ ⇒ Δ X, Γ ⇒ Δ (∧左1) X∧Y,Γ ⇒ Δ ギリシャ文字は0個以上の論理式の列を表す A,B,C ⇒ D,E の意味は、 「AかつBかつC」ならば「DまたはE」 仮定： ４月(X)ならば、春(Δ)だ 結論： ４月(X)かつ金曜日(Y)ならば、春(Δ)だ X ⇒ X 仮定： 男性(Δ)または女性(X)だ 結論：女性でない(¬X)ならば男性(Δ)だ

8. A B 証明図 • ド・モルガンの法則 ¬(A∨B)⇒¬A∧¬B A ⇒ A B ⇒ B (∨左) (∨左) A⇒A∨B (¬右) B⇒A∨B (¬右) ⇒¬A, A∨B (¬左) ⇒¬B, A∨B (¬左) ¬(A∨B)⇒¬A¬(A∨B)⇒¬B (∧右) ¬(A∨B)⇒¬A∧¬B 論理的に正しい式を証明できる

9. (¬左) A⇒A B ⇒ B ⇒A,¬A ¬B, B⇒ (¬右) (→右) (→左) ¬B, A→B ⇒ ¬A (¬右) A→B ⇒ A→B ¬B ⇒ ¬A, ¬(A→B) (¬左) (¬左) ¬(A→B), A→B ⇒ . ¬B, ¬¬(A→B) ⇒ ¬A 最後をcut規則 と仮定 A⇒BB⇒C(cut) A⇒C (¬右) (→右) 証明図の自動生成 • 証明図が作れるかどうかを自動的に調べたい • 例：対偶　　 A→B ⇒ ¬B→¬A ¬¬(A→B) ??? ⇒ ¬¬(A→B) ??? C ⇒ F∨G→H K L→M→N F∨G→H ¬D→E ¬¬I∧J ¬¬I∧J A∧B C ¬D→E L→M→N A∧B K (cut) A→B ¬B→¬A • パターンが無限にある！　 • cut規則のみの特徴 • cut規則を取り除きたい

10. cut除去定理 • G. Gentzen(1934) • 証明図からcut規則を取り除くことができる • この分野で最も重要な定理の１つ • 例 • cutの場所を上げていくことで証明 (¬左) A⇒A B ⇒ B ⇒A,¬A ¬B, B⇒ (¬右) (¬右) (¬左) . (→右) (→左) (→左) . (cut) ¬B, A→B ⇒ ¬A (¬右) (→右) • cutなしの証明図のみ考えればよい • パターンの数が減る • 証明図があるかどうかを調べられる . A→B ⇒ A→B (cut) ¬B ⇒ ¬A, ¬(A→B) (¬左) (¬左) ¬(A→B), A→B ⇒ . . ¬B, ¬¬(A→B) ⇒ ¬A (cut) (¬右) (→右) ¬B, A→B ⇒ ¬A . ¬¬(A→B) ⇒ ¬B→¬A (cut) A→B ⇒ ¬¬(A→B) A→B ⇒ ¬B→¬A

11. 第一部のまとめ • 推論規則の導入 • 日常、数学、プログラムなどの論理を記号で表現 • 論理体系LKの形成 • 推論規則を集めて論理の体系を作る • cut除去定理 • cut規則は取り除くことができる • 証明図の自動生成などに役立つ

12. 構成 • 第一部 • 論理体系の導入 • cut除去定理 • 第二部 • 新しい論理体系への拡張 • cut除去定理の成立条件 • 結論

13. 新しい論理 • 論理体系LK • 最も古い論理 • 通常「論理的」と言われる論理 • その他の論理体系 • 時間とともに真偽が変わる論理 • 例：「今日は雨だ」 • 背理法を認めない論理 • 正しさだけでなく、ものの量も考える論理 • 意味は特にない論理

14. 公理 推論規則 Γ ⇒ Δ (w左) X,Γ ⇒ Δ Γ ⇒ Δ (w右) Γ ⇒ Δ,X Γ ⇒ Δ,XY,Σ⇒ Π(cut) Γ,Σ ⇒ Δ,Π Γ ⇒ Δ,XY,Σ⇒ Π(→左) X→Y,Γ,Σ ⇒ Δ,Π Y, Γ ⇒ Δ,Y(→右) Γ ⇒ Δ,X→Y Γ ⇒ Δ,X (∨右1) Γ ⇒ Δ,X∨Y Γ ⇒ Δ,Y (∨右2) Γ ⇒ Δ,X∨Y X,Γ ⇒ ΔY,Γ⇒ Δ(∨左) X∨Y,Γ ⇒ Δ X, Γ ⇒ Δ (∧左1) X∧Y,Γ ⇒ Δ Y, Γ ⇒ Δ (∧左2) X∧Y,Γ ⇒ Δ Γ ⇒ Δ,X Γ⇒ Δ,Y(∧右) Γ ⇒ Δ,X∧Y Γ ⇒ Δ,X (¬左) ¬X,Γ ⇒ Δ X, Γ ⇒ Δ (¬右) Γ ⇒ Δ,¬X 様々な論理におけるcut除去定理 cut除去定理 ○(1934年) ○(1934年) ○(1980年代) ×(1980年代) ×(1980年代) ○(1980年代) 線形論理の部分体系 古典論理 部分構造論理 直観主義論理 LK FLc FLec MALL LJ FLcw X ⇒ X X,X,Γ ⇒ Δ (c左) X,Γ ⇒ Δ Γ ⇒ Δ,X,X (c右) Γ ⇒ Δ,X Γ ⇒ Δ,X,Y,Π (e右) Γ ⇒ Δ,Y,X ,Π Σ,X,Y,Γ ⇒ Δ(e左) Σ,Y,X,Γ ⇒ Δ 　体系を一般化 cut除去が成り立つ 　ための条件を与えたい …… …… X,Y ,Γ ⇒ Δ (＊左) X＊Y,Γ ⇒ Δなど 「⇒」の右には高々１つ その差は何か ?

15. cut除去定理の成立条件 • A.Ciabattoni, K.Terui(2006) • 体系Lが還元性と代入性を満たす ⇒Lでcut除去定理が成り立つ • W.Sakagawa(2007情報科学科の卒論) • Ciabattoni, Teruiの結果を部分的に改良 • cutをどのように除去するか、具体的に示した • 扱える範囲を広くした

16. A⇒B C⇒B A,C⇒B A⇒B C⇒B A,C⇒B B⇒D B⇒D B⇒D A⇒B C⇒B A,C⇒B A⇒B C⇒B A,C⇒B B,B⇒D B,B⇒D B,B⇒D(2-cut) B⇒D(cut) B⇒D(cut) A,C,A,C⇒D A, C⇒D A, C⇒D A, C⇒D Γ⇒X Σ1,X,Σ2,X,…,Σn,X,Σn+1,⇒Δ(n-cut) Σ1,Γ,Σ2,Γ,…,Σn,Γ,Σn+1,⇒Δ A,C,A,C⇒D A, C⇒D 問題点とその解決方法 B⇒D (w) . . A⇒B C⇒B A,C⇒B (2-cut) A⇒B C⇒B A,C⇒B A⇒B C⇒B A,C⇒B (cut) B,B⇒D (min) (c) A,C,A,C⇒D B⇒D(cut) A,C, • 問題点1. cutが高くならない A, C⇒D A,C,A,C⇒D A, C⇒D • 解決策. 拡張したn-cutを定義 . A⇒B C⇒B B⇒D B⇒D (1-cut) • 問題点2. n-cutの仮定が増える A,C⇒B B,B⇒D(2-cut) B,B⇒D(2-cut) • 解決策1. n-cutをさらに拡張(複数の仮定へ) A,C,A,C⇒D • 解決策2. cutを上げる方向を指定 A, C⇒D

17. 第二部のまとめ • LK以外の論理体系 • 現在まで数え切れないほどの論理が考案されてきた • cut除去定理の成り立つものとそうでないものがある • cut除去定理の成立条件 • ２つの条件が2006年に与えられた • それをもとに卒業論文を製作 • cut除去の具体的な手順を示した

18. 構成 • 第一部 • 論理体系の導入 • cut除去定理 • 第二部 • 新しい論理体系への拡張 • cut除去定理の成立条件 • 結論

19. 結論 • 論理とは（１つの答え） • 推論規則を用いて表現できるもの • 体系ごとに論理があり、１つではない • 他の答えについて • ぜひ情報科学科へ！

20. 論理とは何か おしまい

21. 主な参考文献 • A. Ciabattoni and K. Terui. "Towards a semantic characterization of cut-elimination". Studia Logica. Vol. 82(1). pp. 95 - 119. 2006. • A. Ciabattoni and K. terui. "Modular Cut-Elimination: Finding Proofs or Counterexamples". Proceedings of Logic for Programming and Automated Reasoning (LPAR'2006), LNAI. Phnom Pehn, November 2006.

22. 補足1.本質的cut除去 • cut除去に次の２つの条件を追加 • 公理を追加してもcutを除去可能 • 論理階数が増えないようにcutを除去可能 • 論理階数 …証明図中の論理規則をあるルールで数えた数 • 条件の由来 • １つ目の条件のみを課すものをmodular cut除去と呼ぶ • ２つ目の条件は本研究でのみ扱われる条件 • 文献よりも体系の一般化を進めたため、必要となった

23. 補足2.通常のcut除去との関係 通常のcut除去 異質な体系 本質的cut除去 • 条件を満たさない規則があるが、 • 　　　その規則を使う機会のない体系 • 2. cutを除去することで無駄が増えるような体系 還元性と代入性

24. 補足3. cut除去定理の証明方法 • 変数の定義 • degree … cutされる論理式の複雑さ (≧ 0) • rank …cutされる論理式が出続ける高さ (≧ 2) • 二重数学的帰納法 • (d1, r1) > (d2, r2) ((d1 > d2) or (d1 = d2 and r1 > r2)) • 例　(2,3) > (2,2) >(1,10)>(1,9)>…>(1,2)>(0,14)>…>(0,2) • この順序関係に対して数学的帰納法を適用 • cutの高さが一時的に低くなることもある

25. 補足4. 一般化した体系 公理 構造規則 X ⇒ X Υ1 ⇒ Ψ1 … Υn⇒ Ψn Θ ⇒ Ξ (R) 論理規則 Υ1 ⇒ Ψ1 … Υn⇒ Ψn Θl, ★(X), Θr ⇒ Ξ Υ1 ⇒ Ψ1 … Υn⇒ Ψn Θ ⇒ Ξl, ★(X),Ξr (★右) (★左) cut規則 Θ ⇒ Ξ1, X, ΞrΘl, X, Θr ⇒ Ξ Θl,Θ,Θr ⇒ Ξl,Ξ,Ξr (cut)