第六章单变量微分学

第六章单变量微分学 郇中丹 2006-2007学年第一学期

基本内容 • §0 微积分的创立 • §1 导数和微分的定义 • §2 求导规则 • §3 函数一点行为的导数刻划 • §4 区间上的可导函数(中值定理) • §5 不定式 • §6 Taylor公式 • §7 用导数研究函数 • §8 割线法和切线法(Newton方法)

§0 微积分的创立 • Isaac Newton (1642-1727) • Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)

Isaac Newton (1642-1727) • 1661.6 (顺治18年)入剑桥三一学院(半公费(做仆人挣钱缴交学费的)学生), 数学指导教师Isaac Barrow (1630-1677),1664.1(康熙3年)获学士学位. • 1664-1666英国流行黑死病(鼠疫), 1665-1666牛顿回家乡呆了18个月,其间发明了流数(Fluxion)法(变量为流,变化率为流数)、发现了万有引力定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成. • 1665年11月发明“正流数法”(微分法)，1666年5月发明“反流数法”(积分法)，1666年10月总结文稿“流数简论”，建立了微积分基本定理。

Isaac Newton (II) • 1669接替Barrow的教授职位; 1687(康熙26年)出版Mathematical Principles of Natural Philosophy. • Newton有关流数的著作到他身后才发表(1736).

Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) • 1661入Leipzig大学学法律,1663获学士,1666具备获法学博士的资格(出于嫉妒,该校教师拒绝授予),被另一所大学授予博士和请其为教授(他拒绝了后者). • 作为律师, 他被雇主们支得在四处透风的马车中四处奔波,使得他具有在任何时间、任何地点和任何条件下工作的能力，他不停地读着、写着和思考着，他的手稿至今还成捆地放在图书馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅比一般人的都小。

Leibniz (II) • 1666其称作“中学生随笔”的《组合艺术》中立志要创造出“一般方法和普适语言，其中所有推理都简化为计算，除了可能的事实错误外，只会有计算错误”，为此他创立了符号逻辑但未能完成, 发明了能做四则运算和开方的计算机。由于其才能而被种种琐事困扰。 • 1672-1673请求Huygens教授了他现代数学; 在英国了解到了无穷级数方法。 • 1675年发现了微积分基本定理，1677年7月11日将其发表，其方法主要经过James和John Bernoulli兄弟的发展而成为一种强有力而又容易运用的工具。

Leibniz (III) • Leibniz建立微积分的基本记号和术语,包括微积分(Calculus,原意是鹅卵石,用于计数), 微分(原意是差的, Differential),微分,求导和积分的符号. 建立了四则运算的求导规则. • 1673年引入函数的术语。 • 提出：不能像卫道士那样：只有知识而没有判断。

§1.导数和微分的定义 • 微分和导数概念的意义 • 函数增量与微分和导数 • 连续与导数和导数的解释

微分和导数概念的意义 (I) • 微分的概念源自试图刻划在一个“小”时间间隔或空间上的变化量。 • 导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位置的变化率，典型的例子有：在一个时刻的速度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。 • 微分与导数的概念是密切联系着的，所涉及的范围和对其意义的理解是不断演化的。由时间到空间，由一维到高维，由有限维到无穷维。由近似到线性映射。

微分和导数概念的意义 (II) • 导数的物理背景: 随时间或空间的变化率(rates of change), 包括各种瞬时速度、各种密度、浓度或强度等等。 • 导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。 • 引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函数和由函数图像确定图像切线。 • 由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。

函数增量与微分和导数 • 设在a的一个邻域上有定义. • 增量定义: 称Dx=x-a为自变量x在a处的增量, D(x)=(x)-(a)为在a处的增量. • 微分定义: 若cR使得D(x)~cDx (Dx0),就称线性函数g(Dx)=cDx为D(x)(也叫在a处)的微分,记做d(x)或d. Dx也记做dx.此时称在a处可微. • 导数定义: 若cR使得D(x)/Dxc (Dx0), 称c为在a处的导数,记做c=(a)或d/dx(a)=D(a). • 小结: 若在a处可微, D(x)=d(x)+g(Dx)Dx (a(0)=0), d(x) (a)dx. d(x)也叫做函数增量D(x)的线性部分.

连续与导数和导数的解释 • 可微与连续: 若在a处可微,则在a处连续. • 左导数和右导数: 右导数(a+),左导数(a-). • 导数与左右导数: 在a处有导数当且仅当在a处左右导数存在且相等. • 切线定义: 曲线y=(x)在(a,(a))的切线定义为直线: y=(a)+(a)(x-a). • 导数(a)的几何解释: 曲线y=(x)在(a,(a))的切线的斜率. • 导数(a)的物理解释: 若(x)为物体在时间间隔[t0,a]内运动的路程, (a)为在时刻a的瞬时速度.

习题十八 (I) • 1. 用定义计算下列函数在x=0点的导数: (1) (0)=0, 若x0, (x)=x^2 sin 1/x; (2) (0)=0, 若x0, (x)=exp(-1/x^2); (3) Dirichlet函数D(x); (4) xD(x); (5) x^2D(x). • 2. 证明: 若(0)存在, 则n((1/n)- (0))(0) (n). 反过来成立吗？ • 3. 设(0)=0且(0)存在.计算数列: xn=(1/n^2)+ (2/n^2)+…+(n/n^2)的极限.计算数列极限: • (1) xn=sin(1/n^2) + sin(2/n^2)+…+sin(n/n^2); • (2) yn=(1+1/n^2)(1+2/n^2) …(1+n/n^2).

习题十八 (II) • 4. 设函数在x=0的一个邻域上有定义并且满足: xI, (x)(0). 证明: 如果 (0)存在, 则(0)=0. •  若             

§2 求导规则 • 复合函数求导的链式法则 • 反函数求导公式 • 一阶微分形式的不变性 • 求导运算的算术性质 • 初等函数求导公式 • 双曲函数及其求导公式

复合函数求导的链式法则 • 定理: 设在a点可微,g在(a)点可微,则h=g在a点可微, 并且h(a)= g((a))(a). • 证明: 记a=(a), b= g((a)). 则 • (1) D(x)=a Dx + a1(Dx)  Dx (a1(0)=0), • (2) Dg(y)=b Dy + b1(Dy)  Dy (b1(0)=0). • 因此, Dh(x)= bD(x)+b1(D(x))D(x)=baDx + ba1(Dx)Dx + b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(aDx+a1(Dx)  Dx)= baDx + g(Dx)Dx, 其中g(Dx)=ba1(Dx)+ b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(a+a1(Dx))满足g(0)=0. • 所以, h(a)= ba = g((a))(a). #

反函数求导公式 • 定理: 设C(I), g是在(I)上的反函数,这里I是区间. 若在a点可微且(a)0, 则g在b=(a)可微,并且g(b)=1/(a)=1/(g(b)). • 证明: 由在(I)上有反函数,在I上严格单调,因此, gC((I)). 只要证明g(b)存在就够了.而这由(g(y)-g(b))/(y-b)= (g(y)-g(b))/((g(y))-(g(b)))和复合函数的极限性质就得到结论.#

一阶微分形式的不变性 • 这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法: 设的微分是d(x). 若x=g(t)有微分dx=dg(t), 则d((g(t))=(g(t))dg(t)=(x)dx=d(x). • 这看似空洞的公式,许多时候有意想不到作用,同类的公式在高阶导数时不再成立.

求导运算的算术性质 • 设何g在a点可微, cR. 则+g, c, g在a点可微, 若g(a)0, /g在a点也可微. 并且 • (+g)(a)= (a)+g(a); • (c)(a)= c (a); • (g)(a)= (a)g(a)+(a)g(a); • (/g)(a)= ((a)g(a)-(a)g(a))/g(a)^2. • 证明: 极限性质和导数定义的应用.#

初等函数求导公式 • 基本初等函数求导公式: • (c)=0; • (x)=1; 由归纳法： (x^n)=nx^{n-1}; • (exp x)=exp x;由链式法则,(a^x)= a^x ln a;反函数求导规则:(ln x)=1/x;(logax)=(ln a)/x;(x^a)=ax^{a-1};以及(u^v)=u^v (vln u +vu/u). • (sin x)=cos x; 由求导运算的算术性质得到: (cos x)= -sin x; (tan x)=sec^2 x; (cot x)=-csc^2 x; (sec x)=tan x  sec x; (csc x)=-cot x  csc x. 由反函数求导规则: (arcsin x)=1/sqrt{1- x^2}; (arccos x)=-1/sqrt{1- x^2}; (arctan x)=1/(1+x^2);(arccot x)=-1/(1+x^2);(arcsec x) =1/(|x|sqrt{x^2-1}); (arccsc x)=-1/(|x|sqrt{x^2-1}).

双曲函数及其求导公式 • 双曲函数定义: sinh x,cosh x,tanh x,coth x,sech x, csch x. • 双曲函数求导公式: (sinh x)=cosh x; (cosh x)= sinh x; (tanh x)=sech^2 x; (coth x)=-csch^2 x; (sec x)=-tanh x  sech x; (csch x)=-coth x  csch x. • 反双曲函数求导公式: • (arcsinh x)=1/sqrt{1+x^2}; (arccosh x)=1/sqrt{x^2-1}; • (arctanh x)=1/(1-x^2); (arccoth x)=1/(1-x^2); • (arcsech x) =1/(xsqrt{1-x^2}); • (arccsch x)= -1/(|x|sqrt{x^2+1}).