Mi a káosz?

1. Mi a káosz? Egyszerű rendszerek bonyolult viselkedése

2. Érzékszerveink működése logaritmikus Weber-Fechner féle pszichofizikai törvény: az érzet erőssége az inger erősségének logaritmusával arányos Hallás Látás

3. Agyunk működése lineáris Ez mennyi búza? Szalmonella (15 percenként)

4. A valódi világ komplex(gondolkodásunkkal átlátható)modelleket alkotunk • fizika • műszaki tudományok • biológia • közgazdaságtan • ……... (a „természettörvények”-re az embereknek van szüksége, nem a természetnek)

5. Modellek • geometriai pont • egyenes- • tömegpont • ponttöltés • harmonikus oszcillátor • áramgenerátor • ……….

6. A modell egyszerűa modellt leíró differenciálegyenlet is egyszerű lineáris, szétválasztható változójú, ….  analitikusan megoldható

7. Ami meglepő Ezek a modellek milyen jól leírják a sokkal bonyolultabb valóságot.

8. Az inga • Mozgásegyenlet: • linearizálás:

9. Az ingaóra • Christian Huygens és • George Graham

10. A szerkezet azért bonyolultab (a veszteségeket pótolni kell)

11. Fizikai rendszerek • lineáris oszcillátor: (harmonikus rezgőmozgás) • nemlineáris oszcillátor: • kényszerrezgés: • hőtágulás:

12. Még bonyolultabb problémák • Háromtest-probléma • Naprendszer • Csillagpulzáció • Időjárás • Populációnövekedés • Gazdasági növekedés • …..

13. Megoldási módszerek • Fizikai modell készítés, kísérlet • Számítógépes modell • Analóg számítógép • Digitális számítógép

14. Mi a káosz? Egyszerű rendszerek bonyolult viselkedése Pl. olyan mozgás, mely • szabálytalan: nem ismétli önmagát, nem periodikus • „előrejelezhetetlen”: érzékeny a kezdőfeltételekre, • hosszútávon valószínűségi leírást igényel • a fázistérben határozott struktúrájú, fraktál szerkezetű

15. Mi nem káosz? • az instabil állapot és környéke • a véletlenszerű mozgás (pl. Brown-mozgás) • külső hatásból eredő zaj • sok összetevőből álló, vagy egyenletekkel le sem írható rendszerek mozgása (pl. történelem, társadalom) • turbulencia, légkör: ezek bonyolultabbak, mint a káosz

16. Példák kaotikus mozgásra • Kaotikus Inga – Härtlein Károly • WplotHU

17. Vizsgálati módszerek • Időtartomány - egy állapothatározó és az idô által kifeszített tér, pl. [r(t), t], [x(t), t], [v(t), t], … • fázistér - az állapothatározók által kifeszített absztrakt tér, dimenziója megegyezik a rendszer szabadsági fokainak számával, pl. [v(t),r(t)], [P(T),V(T)], ... • Poincare leképezés

18. A bonyolult mozgások jellemzésének módszere A mozgás fázistérben való ábrázolása(trajektória) Harmonikus rezgőmozgáspl. inga, rugó Csillapított rezgőmozgás

19. Definíciók (1) • trajektória - a rendszer pályája a fázistérben • attraktor - a fázistér azon alakzata, amely felé a rendszer állapota a vonzástartományba eső kezdőfeltételektől függően konvergál • fixpont: az attraktor egyetlen pontból áll • határciklus: az attraktor zárt görbe, a rendszer periódikusan oszcillál a fázistérben • különös attraktor:végtelen számú egymás melletti rétegből álló, nem egész dimenziójú (fraktál természetű) attraktor, a közeli pályák exponenciálisan válnak szét. Kaotikusan viselkedő rendszert ír le.

20. Időbeli és fázistérbeli viselkedés fixpont határciklus bifurkáció különös attraktor

21. Perióduskettőződés (bifurkáció) A logisztikus leképezés Korlátozott szaporodás r=0,8 r=2,5 r=3,1 r=3,8

22. Definíciók (2) • bifurkáció - periódus-kettőződés, nem-lineáris egyenletek minőségileg eltérő, új megoldásának megjelenése valamely paraméter változtatásakor. A periódus-kettőződés révén, a bifurkációk végtelen sorozatán át káoszhoz jutunk • káosz - a determinisztikus rendszer belső, nem lineáris tulajdonságából adódó szabálytalan (nem periódikus) viselkedése • zaj - a rendszer szabálytalan viselkedése külső véletlenszerű hatások (pl. hőmozgás) következtében

23. A káosz kialakulásának feltételei • Nemlinearitás • konzervatív eset: a független megmaradó mennyiségek száma kisebb a helykoordináták (a szabadsági fokok) f számánál. • Példák • Kepler-probléma: f=2, E, N állandó => nem kaotikus • Anizotróp Kepler: f=2, E állandó -=> kaotikus. A bolygómozgás egy szabálytalan alakú égitest körül kaotikus lenne • Korlátozott 3-test probléma: f=2, E állandó => kaotikus (Poincaré) • Szimmetrikus súlyos pörgettyű: f=3, E, Nz , N állandó => nem kaotikus • Aszimmetrikus súlyos pörgettyű: f=3, E, Nz állandó => kaotikus (Kovalevszkája)

24. A káosz kialakulásának feltételei • disszipatív eset: legalább 3 elsőrendű autonóm differenciálegyenlet írja le, vagyis ha a fázistér legalább 3 dimenziós

25. A kaotikus mozgás jellemzői • A kezdőfeltételekre való érzékenység • Hosszú távú előrejelezhetetlenség

26. Érzékeny a kezdőfeltételre Lorentz 1961-ben nyomtatott lapja Rayleigh – Bénard konvekció x – a konvekció intenzitása y – hőmérsékletkülönbség z – vertikális hőmérsékletprofil nemlinearitása

27. Az előrejelezhetőség reguláris kaotikus Ljapunovidő:

28. Egy konkrét kezdőfeltételből indított kaotikus mozgás, vagyis egy trajektória, az exponenciálisan növekvő hiba miatt, csak a előrejelzési ideig követhető megbízhatóan. Az előrejelzési idő a Ljapunov-exponens reciprokával arányos. A hosszú távú viselkedés ezért csak valószínűségi eloszlással adható meg. Ez a P* eloszlás (az ún. természetes eloszlás) megadja, hogy hosszú távon a rendszer egy állapota milyen valószínűséggel kerül a fázistéren belül az attraktor egyik, vagy másik pontja közelébe.

29. (11 millió év) Az előrejelezhetőség(számpéldák) • Legyen: (az elektron sugara) • Időjárás T~3..4 nap Laskar 150 000 tag Dt=500 év 200 milló évre (előre és vissza) • Naprendszer T~10..20 milló év • belső bolygók T~5 milló év

30. Vajon melyiket tudjuk könnyebben megjósolni? Melyik jelezhető előre? A napot holnap eltakaró felhőt, vagy a Napot száz év múlva eltakaró Holdat?

31. A napfogyatkozások időpontja és helye pontosan kiszámítható. Teljes napfogyatkozás Magyarországon 1999. augusztus 11-én volt utoljára, s 2081. szeptember 3-án 7 óra 51 perc 8 másodperckor lesz legközelebb (É.sz. 47,3° K.h 19.05°, 120m magasságon számítva). (Lásd: http://saros139.csillagaszat.hu/eclipse/HE20.htm) Vajon ki tudja megmondani, hogy ez a napfogyatkozás a felhőktől látható lesz-e?

32. Kaotikus mozgások a Naprendszerben • A Voyager-I felfedezte (1981), hogy a Hyperion, a Szaturnusz egyik szivar alakú holdja szabálytalan fényvisszaverődést mutat: a Hyperion forgása kaotikus. • Szimulálással felfedezték: a Plútó is kaotikusan mozog. • Kiderült, hogy a belső bolygók is kaotikusak, köztük a Föld. A pálya stabil, de a pálya elfordulása és a forgástengely „billegése” szabálytalan. Az előrejelzési idő 5 millió év. • A Föld típusú bolygók ütközése 1% valószínűségű 3.3 milliárd év múlva

33. Kaotikus mozgások a Naprendszerben • A Mars forgástengelye nagy kilengéseket végez, akár +- 30 fokot is változhat néhány évmillió alatt. Ez lehet a magyarázata a sarki jégsapkák időleges elolvadásának (a vízfolyásoknak). • A Hold stabilizáló hatása nélkül a Föld forgástengelye is ennyire billegne. • Az exobolygók (a Naprendszeren kívüli csillagrendszerek bolygói: már több százat ismerünk!) nagy részének mozgása kaotikus lehet, így ezeken az élet valószínűsége kicsi.

34. Kaotikus mozgások a Naprendszerben • A kisbolygók mozgása kaotikus. A kisebbek jelennek meg hullócsillagokként. A Földnek a nagyobbakkal való találkozása kis valószínűségű, de nem lehetetlen még évtizedeken belül sem. • Az Apophisz (az ókori Egyiptom káosz istene) egy 300 méter átmérőjű kisbolygó. 2004-ben 2.7% valószínűséget számoltak egy 2029.-ben bekövetkező ütközésre. Ma már a számítások csak 1:45000-t mondanak. Ez az „időfüggés” maga káoszra utal.

35. A korlátozott síkbeli háromtestprobléma

36. Newton II. axiómája • A test mozgásmennyiségének megváltozása arányos a rá ható erővel, és annak az egyenes vonalnak az irányában megy végbe, amelyben az erő hat. Ha a tömeg állandó az egyenlet F = ma –ra egyszerűsödik.

37. A mozgásegyenlet megoldása Néhány egyszerű erőtörvény esetében a mozgásegyenlet analitikusan is megoldható Általában csak numerikusan Ha ismerjük az erőtörvényt, egy adott helyen és pillanatban kiszámítható a gyorsulás Ha a testnek gyorsulása van, akkor egy kis idő múlva megváltozik a sebessége Ha test mozog, egy kis idő múlva máshol lesz. Az új helyet és időpontot visszaírva az erőtörvénybe a mozgás nyomon követhető

38. Newton általános tömegvonzási törvénye Nem lineáris

39. A kéttest probléma Határozzuk meg két, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat! A feladat megoldható (centrális erőtér => síkmozgás, megmaradó mennyiségek: energia és impulzusnyomaték)

40. A háromtest probléma Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat! (A több mint két évszázados kutató munka ellenére a lehetséges megoldások összességét ma sem ismerjük.)

41. A korlátozott síkbeli háromtest probléma Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat, az alábbi korlátozó feltételek mellett: • Két test körpályán kering a közös tömegközéppont körül. • A harmadik test • az előző kettő keringési síkjában mozog • tömege olyan kicsi, hogy az semmilyen hatást nem fejt ki a másik két testre

42. Elrendezés és jelölések Együtt forgó vonatkoztatási rendszer

43. A forgó rendszer potenciáltere =0,2

44. Lagrange-pontok L1, L2 és L3 instabil (nyeregpontok), L4 és L5 stabil (egyenlő szárú háromszögek csúcspontjai)

47. A potenciálteret kirajzoló Matlab kód % % Két, egymás körül körpályán mozgó tömeg közös potenciálja együtt forgó vonatkoztatási rendszerben % [x,y]=meshgrid(-2:0.01:2); mu2 = 0.2; % a kisebbik tömeg mu1 = 1 - mu2; s1 = sqrt((x + mu2).*(x + mu2) + y.*y); % a vonzócentrumoktól s2 = sqrt((x - mu1).*(x - mu1) + y.*y); % való távolságok for i=1:401 % a zéróval való osztás elkerülése for j=1:401 if s1(i,j)<0.01 s1(i,j)=0.01; end; if s2(i,j)<0.01 s2(i,j)=0.01; end; end end z=-mu1./s1-mu2./s2-(x.*x+y.*y)/2-mu1.*mu2/2; % a potenciál értéke for i=1:401 % a szintvonalak sûrûségének beállítása for j=1:401 if z(i,j) < -3 z(i,j) = -3; end; end end surfc(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z'); shading flat

48. A Rugós inga esete

49. Az 1965. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny (OKTV) második fordulójának 1. feladata így szólt: • Felfüggesztett L hosszúságú, elhanyagolható tömegű rugóra kisméretű testet akasztunk. A rugót a testtel együtt vízszintes helyzetbe hozzuk (a rugó akkor nyújtatlan állapotban van, hossza L) és elengedjük. Ismeretes a rugó D állandója, amely szerint a rugalmas erő arányos x megnyúlással: F=-Dx. Mekkora a rugó megnyúlása, amikor a test éppen a felfüggesztési pont alatt halad át?

50. Az OKTV bizottság a versenyzők dolgozatainak átnézése közben vette észre, hogy a feladat nem megoldható! Vermes Miklóst, az OKTV bizottságának elnökét nem hagyta nyugodni a probléma. De hosszas számolgatással is csak egy közelítő eredményt tudott megadni arra az esetre, ha a rugó megnyúlása kicsi.