垂直关系的性质

1. 垂直关系的性质

2. 直线与平面垂直的性质 如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，则这五个面中，互相垂直的平面共有 （A）3对（B）4对（C）5对（D）6对 答案：C 线面垂直关系： 1、PA⊥平面ABCD 2、CD⊥平面PAD 3、BA⊥平面PAD 4、BC⊥平面PAB 5、AD⊥平面PAD

3. 证明两个平面垂直的总体思路 面面垂直 线面垂直 线线垂直

4. 问题引导： α a β L 1、当平面α⊥平面β时，平面α里面的任意一条直线a和平面β之间会存在些什么样的位置关系？　 2、平面α里哪些直线是垂直于平面β的 猜想： 平面α里垂直于交线L的直线垂直于平面β

5. α A L β B M 两个平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面.

6. 已知： 平面α，β，且α⊥β，α∩β＝L，直线AM在 平面α内，且AM⊥L于点M 求证： AM⊥β 证明：在平面β内过点M作直线L的垂线MB 则∠AMB为二面角α-L-β的平面角 ∵α⊥β ∴∠AMB=90。 ∴AM⊥BM 又∵AM⊥L 直线L与BM都在平面β内， 且L∩BM=M ∴AM⊥β

7. 例 1 ：如图，平面 AED ⊥平面 ABCD ，⊿ AED 是等边 a 2 a 三角形，四边形 ABCD 矩形，且 AD= ,AB= , (1) 求证： EA ⊥ CD (2) 求 EC 与平面 ABCD 所成的角 解（1）∵平面AED⊥平面ABCD 又CD⊥AD E ∴CD⊥平面AED ∵AE在平面AED内 ∴CD⊥EA 2）过E作EM⊥AD于点M，连MC D C ∵平面AED⊥平面ABCD B M ∴EM⊥平面ABCD A ∴∠AMC即为直线EC与平面ABCD所成的角

8. A D P B Q C

9. 即C到平面BAD的距离为 证明：（1）∵平面ABC⊥平面DBC 又DC⊥BC ∴DC⊥平面ABC ∵AB在面ABC内 ∴DC⊥AB 又AB⊥AC， AC∩CD=C， AC，AD在面ACD内 ∵AB⊥平面ACD 而AB在平面ABD， ∴平面ABD⊥平面CAD （2）过C作CE⊥AD于点E ∵平面ABD⊥平面CAD ∴CE⊥平面CAD

10. A D C D C N A B M E E B

11. 平面与平面垂直的性质 什么是两个平面互相垂直？ 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直． 如何判定两个平面互相垂直？ 第一种方法根据定义，判定两个平面所成的 二面角是直二面角； 第二种方法是根据判定定理，判定其中一个 平面内有一条直线垂直于另一个平面．

12. 已知： 求证： 两个平面垂直的性质 两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂 直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂 直于另一个平面．

13. 分析：我们要证明直线AB与平面β垂直，只需证明分析：我们要证明直线AB与平面β垂直，只需证明 AB与β内两条相交直线垂直即可，引导学生找出在 β内适合题意的直线是解决本题的关键。 引导过程：AB现在垂直β内的直线CD，即只需再 找出一条与CD相交的直线即可，题目中的二面角 是直角这个条件要用起来。

14. 证明：在平面β内引直线BE⊥CD，则∠ABE是二 面角α-CD-β的平面角． ∵α⊥β，∴AB⊥BE． 又∵AB⊥CD， ∴AB⊥β． 本题小结：从性质定理可以得出，把面面垂直的问 题转化为线面垂直的问题．

15. 两个平面垂直的结论 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面 内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面 内．

16. 例1 如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上的动点， 过动点C的直线VC垂直圆O所在的平面，D、E分别 是VA、VC的中点。直线DE与平面VBC有什么关系？ 试说明理由。

17. 解：由VC垂直于圆O所在平面， 知VC⊥AC，VC⊥BC， 即∠ACB是二面角A-VC-B的平面角。 由∠ACB是直径的圆周角，知∠ACB=900， 因此，平面VAC⊥平面VBC。 由DE是ΔVAC两边中点的连线， 知DE∥AC， 故DE⊥VC。 由两个平面垂直的性质定理，得 直线DE与平面VBC垂直。

18. 例2.矩形ABCD中, AD=2,AB=1,现沿对角线AC折成 直二面角D-AC-B,求折起后BD长度.

19. 练习 1. 求证：AC⊥DE。 2. 已知

20. 课堂小结 1、两个平面垂直的性质定理 2、“转化思想” 面面关系 线面关系 线线关系 线面平行 面面平行 线线平行 面面垂直 线线垂直 线面垂直