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型 II 誤差機率的計算 Calculating Type II Error Probabilities

型 II 誤差機率的計算 Calculating Type II Error Probabilities. 檢定力 Power of Test. 1. 正確拒絕虛無假設 H 0 為偽的機率 2. 以 1 -  來表達 3. 以此來決定檢定的適切性 4. 受下列因素的影響 母體參數的真實值 訂定的顯著水準  標準差以及樣本數 n. 檢定力的求解. 檢定力的求解. Hypothesis: H0 :  = 368 Ha :  < 368 n=25, s =15, a =.05. 檢定力的求解. 拒絕區 Reject.

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  1. 型II誤差機率的計算Calculating Type II Error Probabilities

  2. 檢定力Power of Test • 1. 正確拒絕虛無假設H0為偽的機率 • 2. 以1 - 來表達 • 3. 以此來決定檢定的適切性 • 4. 受下列因素的影響 • 母體參數的真實值 • 訂定的顯著水準  • 標準差以及樣本數n

  3. 檢定力的求解

  4. 檢定力的求解 Hypothesis:H0 : = 368Ha :  < 368 n=25, s=15, a=.05

  5. 檢定力的求解 拒絕區 Reject  標準誤n =15/25 Hypothesis:H0: = 368H1:  < 368 n=25, s=15, a=.05 接受區 Do not reject 根據Ｈ0 畫出X分配  = .05  = 368  X 0

  6. 檢定力的求解 拒絕區 Reject  標準誤n =15/25 Hypothesis:H0: = 368H1:  < 368 n=25, s=15, a=.05 接受區 Do not reject 根據Ｈ0 畫出X分配  = .05  = 368  X 0 真實情形之母數:假設1 = 360 

  7. 檢定力的求解 拒絕區 Reject  標準誤n =15/25 Hypothesis:H0: = 368H1:  < 368 n=25, s=15, a=.05 接受區Do not reject  = .05  = 368  X 0  真實情形之母數:假設1 = 360 根據Ｈ1 畫出X分配   X  = 360 1

  8. 檢定力的求解 拒絕區 Reject  標準誤n =15/25 Hypothesis:H0: = 368H1:  < 368 n=25, s=15, a=.05 接受區 Do not reject  = .05  = 368  X 0  真實情形之母數: 假設1 = 360 根據Ｈ1 畫出X分配   X  = 360 1

  9. 檢定力的求解 拒絕區 Reject  標準誤n =15/25 Hypothesis:H0: = 368H1:  < 368 n=25, s=15, a=.05 接受區 Do not reject  = .05  = 368  X 0  真實情形之母數: 假設1 = 360 根據Ｈ1 畫出X分配   X  = 360 1

  10. 檢定力的求解 拒絕區 Reject  標準誤n =15/25 Hypothesis:H0: = 368H1:  < 368 n=25, s=15, a=.05 接受區 Do not reject  = .05  = 368  X 0  真實情形之母數:假設1 = 360 根據Ｈ1 畫出X分配 型II誤差 檢定力1-   X  = 360 1

  11. 檢定力的求解 拒絕區 Reject  標準誤n =15/25 Hypothesis:H0: = 368H1:  < 368 n=25, s=15, a=.05 接受區 Do not reject  = .05  = 368  X 0   真實情形之母數:假設1 = 360 根據Ｈ1 畫出X分配   X  = 360 363.065 1

  12. 檢定力的求解 拒絕區 Reject  標準誤n =15/25 Hypothesis:H0: = 368H1:  < 368 n=25, s=15, a=.05 接受區 Do not reject  = .05  = 368  X 0   真實情形之母數: 假設1 = 360 根據Ｈ1 畫出X分配  = .154   1- =.846 Z 表查出  = 360 363.065 1

  13. 檢定力曲線Power Curves

  14. 檢定力的求解 拒絕區 Reject  標準誤n =15/25 Hypothesis:H0: = 368H1:  < 368 n=25, s=15, a=.05 接受區 Do not reject 根據Ｈ0 畫出X分配  = .05  = 368  X 0 真實情形之母數:假設2 = 362 

  15. 檢定力的求解 拒絕區 Reject  標準誤n =15/25 Hypothesis:H0: = 368H1:  < 368 n=25, s=15, a=.05 接受區 Do not reject  = .05  = 368  X 0  真實情形之母數:假設2 = 362 根據Ｈ1 畫出X分配 型II誤差 檢定力1-  2  X = 362

  16. 檢定力的求解 拒絕區 Reject  標準誤n =15/25 Hypothesis:H0: = 368H1:  < 368 n=25, s=15, a=.05 接受區 Do not reject  = .05  = 368  X 0   真實情形之母數: 假設2 = 362 根據Ｈ1 畫出X分配  = .3632   1- =.6368 Z 表查出  = 362 363.065 2

  17. 檢定力的求解 拒絕區 Reject  標準誤n =15/25 Hypothesis:H0: = 368H1:  < 368 n=25, s=15, a=.05 接受區 Do not reject 根據Ｈ0 畫出X分配  = .05  = 368  X 0 真實情形之母數:假設3 = 365 

  18. 檢定力的求解 Hypothesis:H0: = 368H1:  < 368 n=25, s=15, a=.05 拒絕區 Reject  標準誤n =15/25 接受區 Do not reject  = .05  = 368  X 0   真實情形之母數: 假設3 = 365  = .7422 根據Ｈ1 畫出X分配   1- =.2678 Z 表查出 363.065 3 = 365

  19. 檢定力的求解 • Hypothesis:H0 : = 368 • Ha :  < 368 n=25, s=15, a=.05 • 由上述討論，當真實情形之母數分別為： • 1 = 360 ， 2 = 362 ， 3 = 365 時所求得之 • 檢定力 1 - 分別為 0.846 ，0.6368 ，0.2578 • 可看出當真實值與假設之值相差越小時， • 檢定力越弱；反之，則越強。

  20. 檢定力曲線Power Curves 檢定力Power 單尾Ha: <0 所有可能的對立假設值Possible True Values for 1 根據虛無假設= 368

  21. 檢定力曲線Power Curves 單尾Ha: > 0 單尾Ha: <0 檢定力Power 檢定力Power 所有可能的對立假設值Possible True Values for 1 所有可能的對立假設值Possible True Values for 1 雙尾Ha: ≠0 檢定力Power 根據虛無假設= 368 所有可能的對立假設值Possible True Values for 1

  22. 檢定力曲線Power Curves 同理，在檢定 H0：p = p0 單尾Ha: p > p0 單尾Ha: p < p0 檢定力Power 檢定力Power 所有可能的對立假設值Possible True Values for p1 所有可能的對立假設值Possible True Values for p1 雙尾Ha: p≠ p0 檢定力Power 根據虛無假設 p=p0 所有可能的對立假設值Possible True Values for p1

  23. 檢定力曲線Power Curves 影響檢定力的因素： （1）樣本大小；若樣本數n越大，則檢定力越大。 （2）顯著水準α；若α越大，則檢定力越大。 （3）樣本統計量的選擇；如檢定μ時，若不採 X，而 採Med，則β較大，即檢定力較小。 （4）決策法則的選擇；採雙尾、單尾檢定決策法則 不同，則檢定力不同。

  24. 單母體假設檢定綜合問題

  25. 單母體假設檢定綜合問題 一、當雷達螢幕上出現不明物，警報單位有下列兩種假設 及其決定 1 、一切安好，僅雷達螢幕受干擾而已，不拉警報。 2 、敵機來襲，拉警報。 若型Ⅱ錯誤為一切安好但拉警報，問虛無假設、對立 假設各代表什麼意義？

  26. 單母體假設檢定綜合問題解答 犯型Ⅱ錯誤為當虛無假設為偽時卻接受虛無假設。 就題意為一切安好但拉警報，故 H0：敵機來襲 H1 ：一切安好

  27. 單母體假設檢定綜合問題 二、在某已知情況中，假設在a=0.05下拒絕H0，試回答下 列各問題並說明理由： (a) 在a=0.02下，是否拒絕H0？ (b) 在a=0.10下，是否拒絕H0？ (C) p值是否大於 0.05？

  28. 單母體假設檢定綜合問題解答 因為顯著水準 a 越大所對應之拒絕域越大， 以 Z 檢定之右尾檢定為例：

  29. 單母體假設檢定綜合問題解答 故 (a) a = 0.05 對應之拒絕域大於a = 0.02對應之拒絕域 即 ： 落入a = 0.05 對應之拒絕域者未必亦落入a = 0.02 對應之 拒絕域，因此在a = 0.02 下未必拒絕H0

  30. 單母體假設檢定綜合問題解答 (b) a = 0.05 對應之拒絕域小於a = 0.10對應之拒絕域 即 ： 落入a = 0.05 對應之拒絕域者必落入a = 0.10 對應 之拒絕域，因此在a = 0.10 下亦拒絕H0

  31. 單母體假設檢定綜合問題解答 (c) 若在 a = 0.05 下拒絕域 H0 表示檢定統計量值落入拒絕域 內 故等於檢定統計量值或比檢定統計量值更極端之所有可 能值之機率，即 p 值必小於a

  32. 單母體假設檢定綜合問題 三、某公司甲生產線生產奶茶，乙生產線生產咖啡，在廣告 上都聲稱平均容量不少於250cc， 消基會從甲、乙兩條生 產線各取 50 瓶飲料檢驗其容量， 在 a = 0.05 下， (a) 若甲生產線生產的奶茶平均容量是 248cc，標準差是 4cc，而乙生產線生產的咖啡平均容量是249cc，標準 差是 4cc， 試問那一生產線被發現廣告不實的機會較 大？為什麼 ？

  33. 單母體假設檢定綜合問題 (b) 若甲生產線生產的奶茶平均容量是 248cc，標準差是 4cc，而乙生產線生產的咖啡平均容量是248cc，標準 差是 3cc， 試問那一生產線被發現廣告不實的機會較 大？為什麼 ？ (c) 若甲生產線生產的奶茶平均容量是 248cc，標準差是 4cc，而乙生產線生產的咖啡平均容量是249cc，標準 差是 3cc， 試問那一生產線被發現廣告不實的機會較 大？為什麼 ？

  34. 單母體假設檢定綜合問題解答 • H0 : = 250 • Ha :  < 250 a=.05 • (a)甲生產線生產的奶茶，因兩者之標準差相同，而甲生產 • 線生產的奶茶平均容量較小， 即比假設值小較多，故被 • 發現廣告不實的機會較大。 • (b)乙生產線生產的咖啡，因兩者之平均容量相同，而乙生 • 產線生產的咖啡標準差較小，表乙生產線生產的咖啡容 • 量大都集中在248cc左右，故被發現廣告不實的機會較大

  35. 單母體假設檢定綜合問題解答 (c) 在 a = 0.05 下，拒絕域： z < -z 0.05(=1.645) ， 甲生產線生產的奶茶容量檢定力為0.9706， 乙生產線生產的咖啡容量檢定力為0.7612 即甲生產線生產的奶茶容量檢定力較大 表當兩種飲料平均容量均少於 250cc 時， 甲生產線生產的奶茶被發現廣告不實的機會較大

  36. 單母體假設檢定綜合問題 四、某公司宣稱其生產之輪胎壽命為常態分配，且平均壽命 至少為35千哩，現抽取該公司生產之輪胎10個，得其平 均壽命為32千哩，標準差為 3.59 千哩，試以a = 0.05 檢 定該公司所宣稱者是否屬實？

  37. 單母體假設檢定綜合問題解答 • H0:  = 35 • Ha:  < 35 •  = .05 • df = 10 - 1 = 9 • Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 在 = .05下，拒絕Ｈ0 有充分證據證明該公司所宣稱輪胎平均壽命至少35千哩有誇大其辭之嫌。 -1.833

  38. 單母體假設檢定綜合問題解答 • 本題若以p值檢定法解之： • P值： p( t < -2.2426 ) ， df = 9 • ∵ p( t < -2.821 ) ＜ p( t < -2.2426 ) ＜ p( t < -2.262 ) • 即 p( t < -t 0.01 ) ＜ P值 ＜ p( t < -t 0.025 ) • 故 P值 ＜ 0.025 ＜ α（ = 0.05 ） • 即在α = 0.05 下拒絕H0

  39. 單母體假設檢定綜合問題 五、3年前的一次普查中，某一社區有20﹪的家庭屬於低收入 戶，欲了解如今此社區低收入戶之比例是否改變，隨機抽 取400戶該社區居民，發現其中有70戶為低收入戶，在 a = 0.05下試檢定之。

  40. 單母體假設檢定綜合問題解答 • H0: p = 0.2 • Ha: p 0.2 •  = .05 • n = 400 • Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 在 = .05下不拒絕Ｈ0 並無充分證據證明該社區低收入戶之比例與3年前不同。

  41. 單母體假設檢定綜合問題解答 本題若以p值檢定法解之： p值 = 2p（ Z > 1.25）= 2 × 0.1056 = 0.2112 > α（= 0.05） 即在α= 0.05 下不拒絕H0

  42. 單母體假設檢定綜合問題 六、欲了解某賽車選手對於控制車速之穩定性，故觀察其跑 完一圈所需時間之差異程度，經測試該選手15次跑完一圈 平均所需時間為58.23秒，且標準差為8.5秒，試以α=0.05 檢定該選手跑完一圈所需時間之標準差是否超過7秒？

  43. 單母體假設檢定綜合問題解答 H0: σ2= 49 Ha: σ2> 49  = 0.05 df = 15 – 1 = 14 S2 = 72.25 Critical Value(s): Test Statistic: χ2 = (n-1)s2/ σ20 = 14×72.25/49= 20.64 Decision: 在 = .05下，不拒絕Ｈ0 Conclusion: 沒有充分證據證明該選手跑完一 圈所需時 間之標準差超過7秒。 reject 0.05 23.685

  44. 單母體假設檢定綜合問題解答 本題若以p值檢定法解之： χ2 = (n-1)s2/ σ20 = 14 × 72.25/49= 20.64 p值 = p（ χ2 ＞ 20.64 ）， df = 14 p（ χ2 ＞ 20.64 ）＞ p（ χ2 ＞ 21.064 ） 即 p值 ＞ p（ χ2 ＞ χ2 0.1） 故 p值 ＞ 0.1 ＞α（ = 0.05） 即在α = 0.05 下，不拒絕H0

  45. 單母體假設檢定綜合問題 七、某公司宣稱其衛生紙之市場佔有率至少為四成，今以 α = 0.05檢定此問題，假定該公司所生產之衛生紙市 場佔有率為三成五時所期望的檢定力高達0.99，試求 出符合此一假檢定之要求所需之樣本為多少？

  46. 單母體假設檢定綜合問題解答 p0 = 0.4 p1 = 0.35 α = 0.05 β = 1 – 0.99 = 0.01 z0.05 = 1.645 z0.01 = 2.33 n =[(Zα ＋Zβ )/(p1-p0)]2 故 n = [(1.645 + 2.33 )/(0.4 – 0.35)]2 = 536.39 應調查537位購買衛生紙之顧客

  47. 單母體假設檢定綜合問題 八、一雜誌社宣稱其讀者中至少有25﹪為大學在學生，今 隨機抽取200讀者中有42位為大學生，試以α = 0.05檢 定之。

  48. 單母體假設檢定綜合問題解答 • H0: p = 0.25 • Ha: p < 0.25 •  = .05 • n = 200 • Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 在 = .05下不拒絕Ｈ0 並無充分證據證明該雜誌社讀者中大學在學中所佔比例少於25﹪

  49. 單母體假設檢定綜合問題解答 本題若以p值檢定法解之： p值：p（z < - 1.31）= 0.0951 > α（ = 0.05 ） 即在α = 0.05 下，不拒絕H0

  50. 單母體假設檢定綜合問題 九、金牌巧克力之重量標準差為15克，現隨機抽取36包， 得其平均重量為106克，試以α = 0.05下檢定此牌巧克 力之平均重量是否大於100克？

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