第三章 复变函数的积分

1. 第三章复变函数的积分 §1 复积分的概念及其简单性质 §2 柯西积分定理 §3 柯西积分公式及其推论 §4 解析函数与调和函数的关系

2. 第1节 复积分的概念及其简单性质 1. 复变函数积分的定义: 逐段光滑的简单闭曲线简称为围线. 定义3.1设有向曲线C: 以 为起点, 为终点, 沿C有定义.顺着C从a到b 的方向在C上取分点: 把曲线C分成若干个弧 段(图3.1) 其中 图3.1

3. 当分点无限增多,而这些弧段长度的最大值趋于零时,如果和数 的极限存在 且等于J,则称 沿C(从a到b)可积,而称J为 沿C(从a到b)的积分,并以 记号: 表示: C称为积分路径. 表示沿C的正方向的积分, 表示沿C的负 方向的积分. 定理3.1 若 沿曲线C连续,则 沿C可积,且 (3.1)

4. 证: 设 上式右端的两个和数是对应的两个曲线积分的积分和数.在定理的条件下,必 有 沿C连续,于是这两个曲线积分都是存在的,因此,积分 存在,且有公式(3.1)

5. 例3.1命C表连接点a及b的任一曲线,试证: (1) (2) 证: (1) 因 (2)因 取 由定理3.1可知积分 存在,且应与 的极限相等,从而应与 的极限相等,今

6. 2. 复变函数积分的计算问题 设有光滑曲线C:

7. 例3.2 这里C表示以a为心,p为半径的圆周(注:积分值与a,p无关) 证: C的参数方程为:

8. 3. 复变函数积分的基本性质:设f(z),g(z)沿曲线C连续,则有下列与数学 分析中的曲线积分相类似的性质:

9. 定理3.2(积分估值)若f(z)沿曲线C连续,且有正数M>0使定理3.2(积分估值)若f(z)沿曲线C连续,且有正数M>0使 L为C之长,则: 证:由不等式: 取极限即可.

10. 例3.3计算积分: 解: (1) 连接o及1+i的直线段的参数方程为: (2)连接o与1的直线段的参数方程为: 连接点1与1+i的直线段的参数方程为：

11. §２　柯西积分定理 • 柯西积分定理 定理3.3设 在Z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任意一条围线，则 证明：令 ，由公式 (3.1) 得 由假设 在D内连续，从而 在D内连续，且C-R满足条件： 根据格林（Green）定理有 ， 因此

12. 定理3.4设 在单连通区域D内解析，C为D内任意一条闭曲线（C不必为简单闭曲线），则 推论3.5设 在单连通区域D内解析，则对于D内任意两点 与 ，积分值 与连接起点 与终点 的路径无关． 证明：设 与 是D内连接 与 的两条曲线，则正方向曲线与负方向曲线 就连接成D内的一条闭曲线C， 从而由柯西积分定理及§１的性质（３）有: 因此

13. ２．不定积分 定理3.6设 在单连通区域D内解析，则由(3.5)定义的函数 在D内解析，且 证明： 作一个以Z为心，以充分小的 为半径的圆 ，使得 在 内 取动点 ，则 由于积分与路径无关，因而我们可取 的积分路径为由 沿 与相同的路径到Z,再从Z沿直线段到 ,从而有 于是 图3.3

14. 但已知 在D内连续，所以对 ，可取上述的 充分小，使得在 内的一切 点 均有 ， 从而由定理3.2有 即 定理3.7设 (1) 在单连通区域D内连续． (2) 沿区域D内任一条围线C的积分为零，则函数 （ 为D内一定点）在D内解析，且 ( ) 定义3.2设 在区域D内连续，则称满足 条件（ ）的函数 为 的一个原函数． 定理3.8（牛顿－莱布尼兹公式）在定理3.6或定理3.7的条件下， (3.7)

15. 例3.5 解：因为 在z平面上解析， 为 的一个原函数，故由（3.7）式即得 例3.6求 解：因为 在平面上解析，且 为它的一个原函数，故

16. ３．柯西积分定理的推广 定理　 设C是一条围线，D是C的内部， 在闭区域 上解析， 则 定理3.9设C是一条围线，D是C的内部， 在D内解析，在 上连续，则

17. §３　柯西积分公式及其推论 １．柯西积分公式 定理3.10（柯西积分公式）设围线C是区域D的边界， 在D内解析， 在 上连续，则 　 （ ）（3.9） 证明：对于任意固定一点 ，则函数 作为 的函数在D内除点z外解析．现以点z为心，充分小的 为半径作圆周 ，使 对于复围线 及函数 ，应用定理3.10的（3.8）式有 而由例3.2知

18. 因此 又 根据的连续性知对 ，只要 时，就有 ( ) 于是由定理3.2知 由的任意性即知，有（3.10） 故有

19. 例3.7　求 ，其中C为圆周 　解：因为在闭圆上解析．所 以满足定理3.11的条件，故由（3.10）式有 又知 这是因为 在z平面上解析 定理3.12若函数 在圆 内解析，在闭圆 上连续，则 即 在圆心 的值等于它在圆周上的值的算术平均值．

20. 2. 解析函数的无穷可微性 我们将柯西积分公式（3.10）形式地在积分号下求导后得： （3.14） 再求导一次得 由此我们推得 定理3.13　在定理3.10的条件下，函数 在区域D内有各阶导数，且有 　　（ ）　　（3.15） 证明：首先，当 时，我们证明（3.14）式成立，应用（3.10）我们有 ( ) 因此

21. 由定理3.11的条件知 ，使得 均有 ，从而 因此由定理3.2知 故对 ，只要 ，有 即有 于是（3.14）式成立

22. 例3.8计算　 其中是绕一周的围线 解：因为 在z平面上解析，故应用公式（3.15）得 定理3.14设 在区域D内解析，则 在D内具有各阶导数，并且它们也 都在D内解析． 证明： ，则我们作一个以 为心，以充分小 的为半径的圆使得 此闭圆全含于D内，则由定理3.13和 在此圆内有各阶导数，特别地 在 有各阶导呼，再由 的任意性即推得 在D内有各阶导数．

23. ３．柯西不等式与刘维定理 定理3.15（柯西不等式）设 在区域D内解析， 为D内一点，区域 包含于D，则有 　 （ ）其 中 ． 证明：应用定理3.13于 上，则有 由柯西不等式，我们又可得到： 刘维尔定理：z平面上解析且有界的函数 必为常数．

24. 代数基本定理在z平面上，n次多项式 （ ）至少有一个零点． 证明：（反证法）假设 在z平面上无零点，由于 在平面上解析，从 而 在z平面上也是解析的．其次，由于 所以 于是 ，使得 ， 又因为 在 上连续，故 ， 使得 （ ）从而在z平面上有 即 在z平面上解析且有界，因此根据刘维尔定理， 为常数，故 亦为常数，与已知 为多项式矛盾，定理得证．

25. ４．摩勒拉定理 柯西积分定理说明，只要 在单连通区域D内解析，则对D内任一围线均 有 ，我们现在证明其逆也是正确的． 摩勒拉定理　设函数 在单连通区域D内连续，且对D内任一围线C，有 ，则 在D内解析． 证明：在假设条件下，由定理3.7知，函数 （ ）在D内解 析，且 （ ）再由定理3.14知 在D内还是解析 的，此即说明 在D内解析的．

26. §4 解析函数与调和函数的关系 定义3.5如果二元实函数 在区域D内有二阶连续偏导数，且满 足拉普拉斯方程 , 则称 为区域D内的调和函数. 定义3.6 在区域D内满足C-R条件 的两个调和函数 中, 称为 在区域D内的共轭调和函数.

27. 定理3.18若 在区域D内解析,则在区域D内 必为 的共轭调和函数. 假设D是一个单连通区域， 是区域D内的调和函数，则 在D内有二 阶连续偏导数，且 即: 在D内有一阶连续偏导数，且 由数学分析的定理，知道 是全微分， (3.21) 则（3.22）

28. 定理3.19设 是在单连通区域D内的调和函数,则存在由（3.22）式所确定的函数 ,使 是D内的解析函数. 注 (1) 如单连通区域D包含原点,则（3.22）式中的 显然可取成原点 (0,0)；如D非单连通区域，则积分（3.22）可能规定一个多值函数. (2) 公式（3.22）不必强记,可以先如下去推（3.21）：由 ， 然后两端积分之。 (3) 类似地， 然后两端积分，有

29. 例3.15验证 是z平面上的调和函数,并求以 为实部的解析函数 ,使合 解 因在z平面上任一点 , ,故 在平面z上为调和函数. 法一 故 要合必 故

30. 法二先由C.-R条件中的一个得 故 再由C.-R条件中的另一个得 故 即 因此 (下同法一)