1 / 69

KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR

MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ. KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR. DERS ÖĞRETMENİ:. BAŞLAMAK İÇİN TIKLAYIN. LİNEER CEBİR. MATRİSLER DETERMİNANTLAR. TANIM : m,n için, (i=1,2,3,...,m ; j=1,2,3,...,n) olmak üzere , reel sayılarından oluşturulan;. i. satır. j. sütun.

britanni-lowe
Download Presentation

KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR DERS ÖĞRETMENİ: BAŞLAMAK İÇİN TIKLAYIN...

  2. LİNEER CEBİR • MATRİSLER • DETERMİNANTLAR

  3. TANIM: m,n için, (i=1,2,3,...,m ; j=1,2,3,...,n) olmak üzere , reel sayılarından oluşturulan; i. satır j. sütun tablosuna, m x n biçiminde (tipinde) bir matris denir. Satranç tahtası 8x8 tipinde bir matris örneğidir.

  4. A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve elemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir. elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütununun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = şeklinde gösterilir. Burada, m matrisin satır sayısını, n de sütun sayısını gösterir. . A matrisinin elemanlarına i.satır elemanları; elemanlarına da j. sütun elemanları denir.

  5. Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her satırına, satır matrisidenir. B1 = [a11 a12 ... a1n] (1.satır matrisi) B2 = [a21 a22 ... a2n] (2.satır matrisi) . . . . . . . . . . . . Bm = [am1 am2 ... amn] (m.satır matrisi) şeklinde gösterilir. A= [aij]m x n = A matrisi satır matrisine bağlı olarak, Satır Matris

  6. Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi denir. • A1 :1.satır matrisi • A2 : 2.satır matrisi • ... • ... • An : n.satır matrisi A matrisi sütun matrisine bağlı olarak , A= [aij]m x n = [A1 A2 A3 ... An] şeklinde gösterilir. Sütun Matris

  7. Tanım: n x n tipindeki A= [aij]m x n matrisine, n. basamaktan kare matris denir. matrisi , 2.sıradan bir kare matrisidir. Satranç tahtası aynı zamanda 8x8 ‘lik bir kare matris örneğidir. Kare Matris

  8. Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir. matrisi , 2x3tipinde bir sıfır matristir. Sıfır Matrisi

  9. Tanım : A= [aij]n x n kare matrisine a11,a22,a33,...,ann elemanlarının oluşturduğu köşegene, asal köşegen; an1,a(n-1)2,...,a1n terimlerinin oluşturduğu köşegene, yedek köşegen denir. a11,a22,a33 : asal köşegen a31,a22,a13 :yedek köşegen Yedek köşegen Asal köşegen Asal Köşegen , Yedek Köşegen

  10. Tanım: A= [aij]n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip kare matrise, köşegen matris denir. matrisi, 3.sıradan bir köşegen matrisidir. Köşegen Matris

  11. Tanım: A= [aij]n x n köşegen matrisinde a11 = a22 = a33 ...= ann = k ise, (k R) bu matrise, skalar matris denir. matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir. Skalar Matris

  12. Tanım: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise, birim matris denir. n x n tipindeki bir birim matrisIn ile gösterilir. matrisi , 4.sıradan bir birim matrisidir. I4 ile gösterilir. (asal köşegen) Birim Matris

  13. Şekildeki bulmaca 15x15 tipinde bir matris örneğidir.

  14. Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, eşit matrisler denir.  (i, j)  M x N için, aij = bij  [aij]m x n = [bij]m x n ÖRNEK: é ù + é ù a 4 x 5 3 a 2 b = = A ve B ê ú ê ú + b y 2 a 2 b 5 ë û ë û olmak üzere, A = B ise kaçtır ? İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ

  15. 5a = 4, 5b = 2 , 3a + 2b = x ,a + 2b = y olduğundan é ù + a 5 3 a 2 b é ù 4 x matrislerinin eşitliğinden, = ÇÖZÜM : A = B  ê ú ê ú + b a 2 b 5 y 2 ë û ë û 5a = 22 5b = 2  52b = 22  5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer x/y de yerine yazılırsa; bulunur.

  16. + é ù é ù x y 1 0 6 1 0 = Örnek : ise ê ú ê ú - - - 1 4 2 1 x y 2 ë û ë û 2 3 2 3 x x = x ?

  17. + = Çözüm : x y 6 = = Þ = x - y 4 2x 10 x 5

  18. Tanım: A= [aij]m x n ve B= [bij]m x n matrisleri verilmiş olsun.A + B = [aij]m x n + [bij]m x n= A= [aij+ bij]m x n matrisine, A ve B matrislerinin toplamı denir. O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır. MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ

  19. ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır?

  20. ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre; m+1 = n+1  p-2 = 2  m = n  p = 4 3xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3  k = 2 m =n 2 , p = 4 , k = 2 olmalıdır. m+p+k = 2+4+2 = 8 dir.

  21. é ù é ù é ù - 2 5 z ê ú ê ú ê ú + = - = Örnek : 1 y 1 ise (x, y, z) ? ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú - x 4 2 ë û ë û ë û

  22. = Þ = Çözüm : x - 4 2 x 6 + = Þ = 1 y -1 y -2 + = Þ = - 2 5 z z 3

  23. 1. Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özeliği vardır. 2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özeliği vardır. TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELİKLERİ

  24. 3. Sıfır matrisi, toplama işleminin etkisiz elemanıdır. 4. matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi, matrisidir. A+(-A) =

  25. Tanım: matrisi verilmiş olsun. matrisine , matrisinin toplama işlemine göre tersi denir. Örneğin: matrisinin toplama işlemine göre tersi, matrisidir. Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi

  26. İKİ MATRİSİN FARKI Tanım : matrislerinin farkı,

  27. MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denir Örneğin: k=5 bir reel skalar dır. Tanım: k skalar sayısı ve A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun.k.A = k. [aij]m x n = A= [k.aij]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir. é ù 2 - 3 = Örnek : matrisi ve k 3 sayısı için ê ú 4 1 ë û k.A matrisini bulalım. - é ù é ù 2 - 3 6 9 = = Çözüm : k.A 3. bulunur. ê ú ê ú 4 1 12 3 ë û ë û

  28. Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k1,k2 olsun. Her ve • k.(A+B) = k.A + k.B • (k1+ k2).A = k1.A + k2.A • k1.(k2.A) = (k1.k2).A Skalarla Çarpmanın Özellikleri

  29. - é ù é ù - 1 2 0 1 0 1 + - = Örnek : 3. ( 4 ). ? ê ú ê ú - - 2 - 3 1 2 3 2 ë û ë û

  30. - é ù é ù - 3 6 0 4 0 4 + Çözüm : ê ú ê ú - - - 6 - 9 3 8 12 8 ë û ë û - é ù 7 6 4 = ê ú - - 14 21 11 ë û 2 3 x

  31. Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için ;1. matrisin sütun sayısı , 2. matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. olmak üzere; elemanları toplamıyla bulunan matrisine A ve B matrislerinin çarpımı denir ve biçiminde gösterilir. MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ

  32. Örnek: olduğuna göre A.B ve B.A’yı bulalım.

  33. Çözüm: Buna göre A.B ve B.A birbirine eşit değildir.

  34. MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ • 2. A  O ve B  O olduğu halde, A . B = O olabilir. ve olup; dır. 1.Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B  B . A

  35. 3. A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde yutan elemandır. 4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır. 5.Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]p x r olmak üzere ; A.(B .C) = (A .B) . C dir.

  36. 6.Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır. a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği; A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]n x p olmak üzere ; A.(B +C) = A .B + A . C dir. b.Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği; A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler, (A +B) C . = A .C + B . C olur.

  37. Örnek: veriliyor.A.B=B.C olduğunu gösterelim. 7. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.(k.B)=(k.A).B dir. 8. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir.

  38. Çözüm: O halde A.B=A.C dir. Dikkat edilirse , A.B =A.C iken , B , C’ye eşit değildir.

  39. Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. kN+ olmak üzere A0 = In , A1 =A, A2 = A.A , A3 =A.A2 , ..., Ak =A.Ak-1 dir. KARE MATRİSİN KUVVETİ

  40. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi için, A.B=B.A= koşulunu sağlayan n. Sıradan B kare matrisi varsa; B matrisine , A matrisininçarpma işlemine göre tersi denir. A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A-1 ile gösterilir. A.A-1 = A-1.A =In dir. Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özellikleri • olmak üzere , n. sıradan bir A kare matrisinin • çarpma işlemine göre tersi varsa,

  41. 2.n. Sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, ve ise; 3. ise, dır. Eğer ad-bc=0 ise, yoktur.

  42. BİR MATRİSİN TRANSPOZU(DEVRİĞİ) Tanım: matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun haline getirmekle elde edilen matrisine A matrisinin devriği denir ve AT veya Ad ile gösterilir. matrisinin transpozu, Teorem: A ve B matrisleri mxn türünden iki matris ve k bir skalar ise; 1. 2. 3.

  43. Teorem: ve matrisleri için, dir. Teorem: A tersi olan bir matris ise, dir. - é ù 1 1 2 Örnek: = T T A . B ise , B . A matrislerini bulalım . ê ú 3 4 5 ë û é ù 1 3 Çözüm: T - é ù 1 1 2 ê ú ( ) T = = = - T T T T A . B B . A için B . A 1 4 dir . ê ú ê ú 3 4 5 ë û ê ú 2 5 ë û

  44. Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun; 1. = A ise, A matrisine, simetrik matris denir. 2. = -A ise A matrisine, antisimetrik matris denir. 3. = ise A matrisine, ortogonal matris denir. Örnek: matrislerinin hangisinin simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim. Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal

  45. Çözüm: Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır. simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir. matrisi, antisimetrik matristir. Çünkü, AT = -A dır.

  46. Tanım:1x1 biçimindeki matrisinin determinantı, dir. Örneğin; A=[7] matrisi için dir. Tanım: 2x2 biçimindeki matrisinin determinantı dir. DETERMİNANTLAR

  47. - é ù 3 6 olduğuna göre , yı hesaplayalım. = Örnek : A ê ú Tanım - 2 8 ë û - é ù 3 6 3.8-(-2).(-6) = 24-12 = 12 bulunur. = = Çözüm: A ê ú - 2 8 ë û

More Related