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离散 数学. 冯伟森. 计算机学院. Email ： fws365@scu.edu.cn 2014年11月11日星期二. 主要内容. 图的道路与连通性 道路的定义及相关概念 连 通 图 点割集和边割集、点连 通 度和边连 通 度. 道路与回路.
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离散 数学 冯伟森 计算机学院 Email：fws365@scu.edu.cn 2014年11月11日星期二
主要内容 • 图的道路与连通性 • 道路的定义及相关概念 • 连通图 • 点割集和边割集、点连通度和边连通度 计算机学院
道路与回路 • 定义10.8图G＝<V,E>中结点和边相继交错出现的序列P=v0e1v1e2v2…ekvk，若P中边ei的两端点是vi-1和vi（G是有向图时要求vi-1与vi分别是ei的始点和终点，即方向一致。），则称P为结点v0到结点vk的道路。简记为〈v0，vk〉。 • v0和vk分别称为此道路的起点和终点，统称为道路的端点。其余结点称为内部结点。 • 道路中边的数目k称为此道路的长度。 • 如P=v0，称为零道路，其长度为零。 • 若v0≠vk，称为开道路，否则称为闭道路。 计算机学院
简单道路与基本道路 • 若道路中的所有边e1，e2，…，ek（有向边）互不相同，则称此道路为简单道路；闭的简单道路称为回路。 • 若道路中的所有结点v0，v1，…，vk互不相同（从而所有边互不相同），则称此道路为基本道路；若回路中除v0＝vk外的所有结点v0，v1，…，vk-1互不相同（从而所有边互不相同），则称此回路为基本回路或者圈。 • 基本道路(或基本回路)一定是简单道路(或简单回路)，但反之则不一定。为什么？ 计算机学院
v3 v4 v5 e3 e4 e8 e2 e6 v1 e7 e5 v7 e1 e9 v2 v6 G1 例10-2.1 e10 在图G1中： v1e1v2e2v3e3v4e4v5e7v6：基本道路 v1e1v2e5v4e3v3e2v2e9v6。简单道路 v2e10v2e2v3e3v4e5v2回路 v2e2v3e3v4e5v2 圈 计算机学院
v2 v3 e5 e9 e1 e6 v1 e3 e8 e4 e2 e7 v5 v4 G2 在图G2中： v1e2v5e3v2e6v4e8v3e9v3e5v2e1v1：回路 v5e3v2e4v5：圈 计算机学院
注： 在不会引起误解的情况下，一条道路v0e1v1e2v2…envn也可以用边的序列e1e2…en来表示，这种表示方法对于有向图来说较为方便。 在简单图中，一条道路v0e1v1e2v2…envn也可以用结点的序列v0v1v2…vn来表示。 计算机学院
道路图和圈图 • 若一个图能以一条基本道路表示出来，则称此图为道路图。n阶的道路图记为Pn。 • 若一个图能以一个圈表示出来，则称此图为圈图。n阶的圈图记为Cn。 例10-2.2 P5 C6 计算机学院
定理10.3 在一个具有n个结点的图中，如果从结点vi到结点vj (vi≠vj)存在一条通路，则从vi到vj存在一条不多于n-1条边的通路。 证明设vi0,vi1,…,vik为从vi到vj的长度为k的一条通路，其中vi0=vi，vik=vj。此通路上有k+1个结点。若k≤n-1，这条通路即为所求。若k＞n－1，则此通路上的结点数k+1＞n，必存在一个结点在此通路中不止一次出现，设vis=vit，其中，0≤s＜t≤k。去掉vis到vit中间的通路，至少去掉一条边，得通路vi0,vi1,…,vis,vit+1,…vik，此通路比原通路的长度至少少1。如此重复进行下去，必可得一条从vi到vj不多于n-1条边的通路。 ■ 计算机学院
例10-2.3 (渡河问题) 一个摆渡人要把一只狼、一只羊和一捆菜运 过河去。由于船很小，每次摆渡人至多只能带一样东西。另外，如果人不在旁时，狼就要吃羊，羊就要吃菜。问这人怎样才能安全地将它们运过河去？ 计算机学院
解： 用F表示摆渡人，W表示狼，S表示羊，C表示菜。 原岸全部可能出现的状态为以下16种： FWSCFWSFWCFSCWSCFWFSFC WSWC SCFW SCΦ 状态图 W FWS FWSC WC FWC S FS Φ C FSC 计算机学院
W FWS FWSC WC FWC S FS Φ C FSC 按图中所指出的方案，摆渡人只要摆渡7次就能将它们全部运到对岸，并且羊和菜完好无损。 计算机学院
无向图的连通性 定义10.9 设u,v为无向图G＝<V,E>中的两个结点，若u,v之间存在道路，则称结点u,v是连通的，记为u～v。对任意结点u，规定u～u。 无向图中结点之间的连通关系是等价关系。 我们可以利用连通关系对G的结点集进行一个划分{V1，V2，…，Vk}（显然，Vi是一个等价类），使得G中的任意两个结点u和v连通当且仅当u和v同属于一个Vi(1≤i≤k)。则点诱导子图G（Vi）(1≤i≤k)是G的极大连通子图，称为G的支。图G的分支数记为（G）。 计算机学院
连通图 定义10.10只有一个分支的无向图称为连通图，支数大于1的无向图称为非连通图。 无向完全图Kn（n≥1）都是连通图，而多于一个结点的零图都是非连通图。 计算机学院
距离 定义10.11在图G＝<V，E>中，对vi，vjV， 如果从vi到vj存在道路，则称长度最短的道路为从vi到vj的距离，记为d(vi,vj)。 d(vi，vj)满足下列性质： d(vi,vj)≥0； d(vi,vi)＝0； d(vi,vk)+d(vk，vj)≥d(vi，vj)； d(vi,vj)＝(当vi到vj不存在道路时) 2014/11/11 计算机学院 计算机学院 15
v3 v3 v4 v5 v2 v1 v1 v7 v2 v6 v5 v4 G1 G2 例10-2.4 在G1中有： d(v2,v1)＝1， d(v3,v1)＝2，d(v1,v4)＝3， d(v1,v2)＝2， d(v1,v3)＝4，d(v4,v1)＝3； 在G2中有： d(v1,v3)＝2， d(v3,v7)＝3， d(v1,v7)＝4。 计算机学院
v1 v5 v1 v5 v10 v8 v9 v6 v11 v3 v3 v4 v2 v7 v2 v4 v6 v7 G1 G2 例10-2.5 G1是连通图，所以(G1)＝1。 G2是非连通图，且(G2)＝4。 计算机学院
＊点割集 定义10.12 设G＝<V,E>是连通图。若存在结点子集SV，使 (G-S)＞1，则称S为G的一个点割集（割集）；而删除S的任何真子集S′（即 S′ S）后， (G-S′)＝1，则称S为G的一个基本割集。特别地，若点割集中只有一个结点v，则称v为割点。 计算机学院
v1 e8 e7 v2 e1 v6 e6 e9 e2 v3 e5 e3 v7 v4 e4 v5 例10-2.6 • {v3,v5}、{v2}、{v6}、 {v2,v4}、 {v2,v3,v5} …为点割集； • {v3,v5}、{v2}、{v6}为基本割集。 • v2、v6为割点。 计算机学院
＊边割集 定义10.13设G＝<V,E>是连通图。若存在E1E，使 (G-E1)＞1，则称E1为G的一个边割集；而对任何E′（即 E′E1）， 都有(G-E′)＝1，则称E1为G的一个基本边割集。 特别地，若边割集中只有一条边e，则称e为割边。 计算机学院
v1 e8 e7 v2 e1 v6 e6 e9 e2 v3 e5 e3 v7 v4 e4 v5 例10-2.7 • {e3,e4}、{e4,e5}、{e1,e2,e3}、{e1,e2,e4}、{e9}、 {e6,e7,e9}、 {e1,e2,e5,e6,e8}等都是边割集； • {e3,e4}、{e4,e5}、{e1,e2,e3}、{e1,e2,e4}、{e9} 等都是基本边割集； • e9是割边。 计算机学院
点连通度、边连通度 显然，点连通度越大，连通性越好 定义10.14 设无向连通图G＝<V,E>，称(G)＝min{|V||V为G的点割集}为G的点连通度，简称连通度。规定：完全图Kn的点连通度为n-1，n≥1；非连通图的点连通度为0。又若(G)≥k，则称G为k-连通图。 设无向图连通图G＝<V,E>，称(G)＝min{|E||E为G的边割集}为G的边连通度。规定非连通图的边连通度为0。又若(G)≥k，则称G为k边-连通图。 计算机学院
v1 e8 e7 v2 e1 v6 e6 e9 e2 v3 e5 e3 v7 v4 e4 v5 例10-2.8 • 右图所示图的点连通度为1，它是1-连通图，但不是2-连通图；它的边连通度为1，它是1边-连通图，但不是2边-连通图。 • 彼得森图的点连通度为3，它是1-连通图、2-连通图、3-连通图，但不是4-连通图；它的边连通度为3，它是1边-连通图、2边-连通图、3边-连通图，但不是4边-连通图。 彼得森图 计算机学院
定理10.4 在非平凡连通图G中，结点v为G的割点的充分必要条件是存在结点u和w，使u到w的每一条道路都以v为内部结点。 • 定理10.5 在非平凡连通图G中，边e为G的割边的充分必要条件是e不包含于G的任何圈中。 计算机学院
定理10.6 对任意无向图G＝<V,E>，均有下面不等式成立： (G)≤(G)≤(G) 其中，(G)、(G)和(G)分别为G的点连通度、边连通度和结点的最小度数。 推论对任意无向图G＝<V,E>，若G是k-连通图，则G必为k边-连通图。 计算机学院
习题十 • 13、15、17、18、19、21 计算机学院
