Курс общей физики проф. Тюрин Юрий Иванович

1. Томский политехнический университет ЕНМФ Курс общей физики проф. Тюрин Юрий Иванович Адрес: пр. Ленина, 43, г.Томск, Россия, 634034 tyurin@fnsm.tpu.edu.ru, Тел. 8-3822-563-621 Факс 8-3822-563-403

2. Сегодня: понедельник, 27 октября 2014 г. Лекция 7 Содержание лекции: 7.1. Введение 7.2. Измерение скорости света 7.3. Скорость света в инерциальных системах отсчета 7.4. Инвариантность величины скорости света 7.5. Принцип относительности Эйнштейна 7.6. Преобразования координат и времени в теории относительности – преобразования Лоренца 7.7. Лоренцево сокращение длины 7.8. Замедление времени 7.9. Сложение скоростей в теории относительности 7.10. Релятивистская механика 7.11. Взаимосвязь массы и энергии Тема: СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

3. 7.1. Введение

9. 7.3. Скорость света в инерциальных системах отсчета Применение преобразования Галилея к задаче об определении величины скорости света относительно движущегося приемника сRприводит к результату, что в системе отсчета, связанной с приемником, скорость света сR отличается от с – значения скорости света в вакууме относительно неподвижного приемника и равна сR = с±v, где v – скорость приемника света, с которой тот движется навстречу источнику (+) или от источника (–).

12. Рис. 7.5. Наблюдатель А на Земле и наблюдатель В на космическом корабле, одновременно измеряющие скорость одного и того же светового импульса

13. На рис. 7.5 приведен соответствующий пример.Стоящий на Земле наблюдатель А видит один световой импульс (или вспышку), распространяющийся со скоростью vимп. В то же самое время эти световые импульсы ре­гистрирует наблюдательВ, летящий в космическом корабле со скоростью vВ. Согласно преобразованиям Галилея (рис. 7.1) наблюдатель В должен видеть световой импульс, распространяющийся с меньшей скоростью: v имп = vимп – vВ. Однако в реальном эксперименте не только наблюдатель А измерит vимп = с, где с = 2,998108 м/с, но и наблюдатель В также измерит vимп = с, и это для одного и того же светового импульса в один и тот же момент времени!

14. 7.4. Инвариантность величины скорости света Величина скорости света не зависит от движения источника или наблюдателя. Скорость рентгеновских лучей, испускаемых источником, который движется со скоростью порядка 0,5с, остается постоянной независимо от скорости движения источника с точностью 10%. Скорость распространения электромагнитных волн не зависит от частоты в интервале 108 1022 Гц. Величина с не зависит от интенсивности света и наличия других электромагнитных полей. Все это относится только к электромагнитным волнам, распространяющимся в свободном от вещества пространстве – вакууме.Оказывается, что скорость света является предельной скоростью переноса информации, вещества и взаимодействий.

16. На основе этого принципа и постулата о постоянстве и независимости скорости света в вакууме от движения источника и наблюдателя А. Эйнштейн создал в 1905 году частную, или специальную, теорию относительности (СТО). Специальная теория относительности представляет физическую теорию, изучающую пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физических процессов, когда можно пренебречь действием тяготения Специальная теория относительности, раскрывает новый взгляд на свойства пространства и времени, в рамках которых следует вести описание поведения физических процессов при скоростях движения, близких к скорости света.

17. 7.6. Преобразования координат и времени в теории относительности – преобразования Лоренца Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К'. Система К' движется относительно К со скоростью v = const– равномерно и прямолинейно. Пусть x, y, z, t – координаты и время некоторого события в системе К, а x', y', z', t' – координаты и время того же события в системе К'. Как связаны между собой эти координаты и время? В рамках классической теории при скоростях движения, много меньших скорости света v << c, эта связь устанавливалась преобразованиями Галилея, В частности, при относительном движении систем К и К' параллельно оси x имеем (рис. 7.6):

18. x = x + vt, y = y, z = z, t = t. РИС.7.6 Из этих преобразований следует, что взаимодействия в классической физике должны передаваться с бесконечно большой скоростью и, в частности, электромагнитные  со скоростью с = , так как в противном случае можно было бы одну инерциальную систему отсчета отличить от другой по характеру протекания в них физических процессов.

19. Теперь надо установить связь между координатами и временем события в системах отсчета К и К', основываясь на тех экспериментальных фактах, что: Скорость света в вакууме постоянна во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника и наблюдателя. Все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны. При этом учитывается, что пространство однородно и изотропно, а время однородно, т.е. все точки пространства и моменты времени в инерциальных системах отсчета К и К' абсолютно эквивалентны. Поэтому связь между координатами и временем в К и К' должна быть линейной.

20. Допустим, что относительное движение систем К и К' происходит параллельно осям x и x, т.е. y = y и z = z. Пусть мы следим за началом отсчета системы К' – точкой x = 0  из системы К, тогда ее координата с точки зрения наблюдателя в системе К –координата 0' – равна x = vt. Имеем x vt = 0 и x = 0, в силу линейной связи между x и x' получаем: x = (x vt). Аналогично для положения начала координат в системе К: x = 0 с точки зрения наблюдателя в К' следует x' = vt и, следовательно, (x + vt)= 0: x = (x+vt).

21. Отметим то важное обстоятельство, что в специальной теории относительности не предполагается наличие одного общего времени для инерциальных систем отсчета К и К', и время течет в системах отсчета К и К', в общем, по-разному. В силу принципа относительности =', т.к. все инерциальные системы отсчета эквивалентны.Пусть в момент времени t = t = 0, когда начала координат О и О' систем отсчета К и К' совпадали, в системах К и К' вдоль осей x и x' испускается луч света. Согласно постулату о постоянстве скорости света имеем для координат луча в моменты времени t и t: x = ct и x' = ct. Подставляя эти значения в выражения для x и x, имеем:

22. xx = c2tt = 2(x – vt)(x + vt) = 2tt (c2v2), откуда следует, что Таким образом, получаем: y = y', y' = y, z = z', z' = z.

23. Найдем преобразования для времени. Поскольку то имеем

24. Аналогично для t: Таким образом, получаем следующие выражения для преобразования координат и времени физического события при переходе между системами отсчета К и К', движущихся параллельно осям x и x' со скоростью v:

25. Преобразования лоренца y = y', y' = y, z = z’, z’ = z.

26. Эти преобразования называются преобразованиями Лоренца и были найдены Лоренцем в 1904 г. Истинный физический смысл этих формул был впервые установлен Эйнштейном в 1905 году. В теории относительности время иногда называют четвертым измерением. Точнее говоря, величина сt, имеющая ту же размерность, что и x, y, z, ведет себя, как четвертая пространственная координата. Величины ct и х могут перемешиваться в зависимости от скорости наблюдателя. В теории относительности ct и х проявляют себя с математической точки зрения сходным образом.

27. Полученные уравнения связывают координаты и время в подвижной К и неподвижной К системах отсчета (рис. 7.6). Отличие состоит только в знаке v, что и следовало ожидать, поскольку система K движется относительно K слева направо со скоростью v, но наблюдатель в системе K видит систему K, движущуюся относительно него справа налево со скоростью –v. При малых скоростях движения << 1 или бесконечной скорости распространения взаимодействий (с=∞) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

28. 7.7. Лоренцево сокращение длины Предположим, что необходимо измерить длину линейки, покоящейся относительно штрихованной системы отсчета K. Концы этой линейки закреплены в точках x1 и х2, причем х2х1 = l0 (рис. 7.7). Величина l0– собственная длина стержня, не зависящая от выбора системы отсчета, в которой покоится стержень. Если система К'движетсяотносительно системы отсчета К со скоростью v, то длиной стержня в системе К назовем величину l, равную расстоянию между двумя точками в системе К, мимо которых концы стержня проходят одновременно l = x2 – x1, t2 = t1. Для определения l воспользуемся преобразованиями Лоренца, где t1= t2,

29. В результате получаем длину стержня в системе отсчета К, относительно которой стержень движется со скоростью v (v≠ 0):

30. Длина движущегося стержня короче, чем покоящегося. Это явление называется Лоренцовым сокращением длины. Рис. 7.7. Движущаяся метровая линейка неподвижна в штрихованной системе. Длина линейки в К' равна l0 = x2 – x1 , в К: Если метровая линейка движется мимо наблюдателя со скоростью, составляющей 0,6 скорости света, то наблюдателю ее длина будет казаться равной .

31. 7.8. Замедление времени Применим два принципа, лежащих в основе специальной теории относительности – постоянства скорости света и эквивалентности инерциальных систем отсчета (принцип относительности) к световым часам. Световые часы представляют собой два параллельных зеркала, расположенных на расстоянии L, друг от друга (рис. 7.8). Пусть  – время, за которое импульс света, отра­зившись от нижнего зеркала, достигает верхнего. Часы «тикают» всякий раз, когда свет отражается от зеркала. Имеются две пары вполне идентичных ча­сов А и В. Частота их хода синхро­низована и период «тиканья»  = L/c. Часы В движутся вправо со скоростью v (рис. 7.8, б).

32. Рис. 7.8. Двое одинаковых световых часов в момент времени t = 0; часы В движутся вправо со скоростью v (а); световые часы спустя  с точки зрения наблюдателя А; оба световых импульса прошли расстояния с ; импульс в часах А достиг зеркала, тогда как импульс в часах В лишь на пути к зеркалу (б)

33. Дальнейшее рассмотрение проведем с точки зрения наблюдателя, покоящегося относительно часов A. Этому наблюдателю путь светового луча от одного края часов В до другого будет представляться более длинным, чем в часах A. Из рис. 7.8, б видно, что световой импульс в часах В должен двигаться по диагонали, а в соответствии с принципом постоянства скорости света это движение должно происходить с той же скоростью, что и движение светового импульса в часах А. Следовательно, с точки зрения наблюдателя А световому импульсу в часах B понадобится больше времени, для того чтобы достичь верхнего зеркала, чем световому импульсу в часах А.

34. Обозначим этот (больший) промежуток времени через Т; тогда длина диагонали равна сТ. Приме­няя теорему Пифагора к чертежу на рис. 7.14, б, имеем (cT)2 = (vT)2 + (c)2, откуда получаем Покоящийся наблюдатель видит, что промежуток времени между «тиканьями» движущихся часов равен величине Т, которая больше  – промежутка времени между «тиканьями» любых часов, находящихся в покое. Отсюда следует, что любой наблюдатель обнаружит замедление хода движущихся часов в  раз по сравнению с точно такими же, но находящимися в покое часами.

35. Замедление времени – это свойство самого времени. Замедляют свой ход не только движущиеся часы, но и все физические процессы (в том числе химические реакции) замедляются при движении. Жизнь включает комплекс химические реакций, поэтому течение жизни при движении также замедляется в соответствующее число раз. Разумеется, человек, любое живое существо или растение в быстро движущемся космическом корабле не почувствуют и вообще не заметят, находясь внутри этого корабля, никакого замедления жизненного ритма.

36. Замедление физических процессов при движении должно сказываться и на периоде полураспада радиоактивного вещества. Этот эффект наблюдался с точностью 10–4 на пучке нестабильных частиц, движущихся со скоростью, близкой к световой. Период полураспада таких частиц возрастает в  раз. Одна из самых распространенных нестабильных частиц называется пионом. Пион имеет период полураспада около 1,810–8 с и легко образуется при бомбардировке любого материала пучком от ускорителя на высокие энергии. Пучок пионов с одинаковыми скоростями можно получить, отбирая траектории с одним и тем же углом отклонения в магнитном поле.

37. Рассмотрим пучок пионов, движущихся со скоростью v = 0,99с. Множитель  = = 7,09. Период полураспада пионов увеличивается в 7,09 раз; таким образом, он станет равным t = 7,09(1,810–8 с) = 1210–8 с. За это время пионы проходят путь х = vt = 0,99с(12,710–8 с) = 37,9 м. С еще большими скоростями двигаются пионы, рождающиеся в верхней слоях атмосферы при воздействии на нее космических лучей. В результате они могут проходить расстояния в несколько километров до своего распада и способны достигать поверхности Земли.

38. 7.9. Сложение скоростей в теории относительности Пусть скорость частицы относительно движущейся системы отсчета К' равна v'х, а сама система К' движется относительно неподвижной системы К со скоростью v (рис. 7.9). Требуется определить скорость этой частицы в системе К. Положение частицы в системах отсчета К' и К характеризуется координатами x', y,' z', t' и x, y, z, t, связанными преобразованиями Лоренца. Пусть v = const, имеем: . Разделив первые три равенства на последнее и замечая, что , получаем:

39. Рис. 7.9. Точка А движется со скоростью v’х относительно системы отсчета К’, а система К’ движется относительно системы К со скоростью v. Скорость точки А относительно системы К равна vх = . Она всегда меньше скорости света

40. Этиформулы выражают правило сложения скоростей в релятивистской кинематике. При медленных движениях, когда β<< 1, , получаем нерелятивистские формулы vx = v'х + v, vy = v'y, vz = v'z, следующие из преобразования Галилея.

41. Полученные формулы для сложения скоростей запрещают движение со скоростью движения больше скорости света. Если в штрихованной системе отсчета Kчастица движется со скоростью света (это может быть частица света фотон или нейтрино); таким образом, vх = с. При этом наблюдатель в нештрихованной системе K обнаружит, что .

42. При скорости движения, близкой к скорости света, релятивистские эффекты в сложении скоростей проявляются существенно. Рассмотрим распад нейтрона. Нейтрон является нестабильной частицей и распадается на протон, электрон и антинейтрино: n  p + e– +v. Электрон распада имеет скорость 0,8с при условии, что нейтрон до распада находился в покое. Найдем скорость электрона, если нейтрон распа­дается, двигаясь со скоростью 0,9с в том же направлении, что и электрон, поскольку система отсчета движется со скоростью v = 0,9с, а электрон – со скоростью vx = 0,8с. Находим .

43. 7.10. Релятивистская механика Уравнения механики Ньютона не являются инвариантными относительно преобразований Лоренца, и поэтому в них должны быть внесены изменения, учитывающие возможность движения частиц со скоростью, близкой к скорости света. Пусть частица движется со скоростью v относительно неподвижной системы отсчета К, dr ее перемещение за время dt. Величина (cdt,dr) является четырехвектором. Мы будем называть четырехмерным вектором совокупность четырех величин Ax, Ау, Аz, A, которые при переходе от одной системы отсчета к другой преобразуются так же, как разности координат двух точек в пространстве Минковского, т. е.

44. Величины Ax, Ау, Аzназываются пространственными, a A – временной составляющей четырехмерного вектора. Пространственные составляющие мы объединим в обычный трехмерный вектор А и будем обозначать четырехмерный вектор через (А, А).

45. Совокупность величин (сdt,dr) остается четырехвектором и после того, как мы умножим ее на постоянную величину М – массу частицы в системе координат К, связанной с частицей (собственная масса частицы), и разделим на dt0 = dt =dS/c собственное время частицы в системе К, которое также является инвариантом. Тогда получим четырехвектор

46. где введены обозначения p Согласно свойствам четырехвекторов, величина (E/c)2– p2 =Mc2 является инвариантом. Таким образом, собственная масса частицы является инвариантом в специальной теории относительности. По определению, p есть импульс релятивистской частицы, а скорость изменения импульса F = dp/dt равна силе, действующей на частицу.

47. Выясним смысл временной части компоненты четырехвектора величины Е. Работа, совершаемая под действием силы по перемещению частицы, идет на увеличение энергии частицы A = (F,dr) = (,dr) = (v, dp) = dE. После интегрирования этого выражения найдем, что

48. энергия частицы. В системе координат, где частица покоится (v= 0), E = Mc2 – энергия покоя частицы. Эти формулы, впервые полученные Эйнштейном, устанавливают взаимосвязь между массой и энергией.Кинетическая энергия частицы равна . При (v/с)2 << 1 имеем – обычное нерелятивистскоевыражение для кинетической энергии.

49. Воспользовавшись определением импульса p и энергии Е, можно записать следующее соотношение между ними: Для фотонов, частиц с собственной массой М = 0 и всегда движущихся со скоростью v=с, имеем: или E= pc. Подобное соотношение справедливо и для ультрарелятивистских частиц, движущихся со скоростью, близкой к скорости света (p >> Mc) .

50. Подобные частицы присутствуют в космических лучах и могут быть получены на современных ускорителях,где протоны достигают энергии, в 400 раз превышающей их энергию покоя. Если положить Е = 400 Mc2 и обозначить  = v/c, то имеем Откуда 1 – 2 = 1/4002, . Поэтому v = 0,999997с. Отношение E/pcравно .