I numeri Irrazionali..

1. La matematica non è un aggregato di formule astratte, ma rappresenta il cammino del pensiero dell'uomo. I numeri Irrazionali.. • Giulia Bellezza • Anastasia De Giglio • Alessia Lentano • Giorgia Ruta • Roberta

2. Scusate, mi presento sono Pitagora Filosofo un po’ antico Mileto 375 a.C Metaponto 495 a.C. Riflettevosulfatto che..

3. Pitagora Figura maggiore della filosofia rivestito da un alone di leggenda. Prototipo del “filosofo antico” propone ai suoi discepoli: • uno stile di vita dedicata alla ricerca della verità • un isolamento dai problemi della città (biòs theoreticòs).

4. Scuola pitagorica Nasce la matematica = “insegnamento” (in greco); • i matematici (discepoli più esperti nell’insegnamento) • che hanno superato l’iniziazione • gli acusmatici invece possono solo ascoltare • una leggenda narra che Pitagora parlava loro dietro una tenda

5. 2 10 0,51 matematica 1 3 1009756 124 i principi della matematica sono i numeri • nei numeri credettero • più che nel fuoco • capirono che nel numero • vi era l’essenza di ogni realtà: • tutto è numero • tutto è numeralizzabile I pitagorici si chiedevano cosa ci fosse al principio dell’universo (αρχή).

6. 2 10 0,51 matematica 1 3 1009756 124 i principi della matematica sono i numeri • I pitagorici associavano: • il cosmo, qualcosa di tangibile, illimitato e concreto allarazionalità dei numeri • la negativitàdel chaosall’irrazionalitàdei numeri • Il calcolus o “sassolino” era utilizzato dai pitagorici per compiere i calcoli...

7. Le grandezze incommensurabili Due grandezzeomogenee sidicono incommensurabili quando non ammettono una grandezza sottomultipla comune…

8. AC e AB sono incommensurabili? AC= DIAGONALE AB= LATO Per ASSURDO QUADRATO Dimostrazione.. Supponiamo che AC e AB siano segmenti commensurabili: data una grandezza sottomultipla comune U contenuta m volte in AC e n volte in AB. n AC = m AB. Con il teorema di Pitagora sul triangolo ABC si ha n2= 2 m2. Si è giunti ad un assurdo perché n2 contiene 2 elevato ad esponente pari, mentre il secondo membro contiene 2 elevato ad esponente dispari. Questo è un assurdo. Ne consegue che AC e AB sono segmenti incommensurabili.

9. Grandezze commensurabili Grandezze incommensurabili Riprendiamo il caso precedente. Confrontiamo AC e AB : AB<AC<2AB riportando ABsu AC si nota che ABè contenuto una sola volta con il resto dir. La definizione di rapporto per le grandezze commensurabili non ha significato per quelle incommensurabili. Nuovo rapporto

10. Q+ I+ R+ Ripetendo il procedimento possiamo dedurre che non si avrà mai un resto nullo. Se ciò accadesse si otterrebbe un numero irrazionale. Si viene a costruire così un allineamento decimale, illimitato, non periodico. Q+ U I+ =R+ Il rapporto di due grandezze omogenee è un numero reale (positivo); esso è un numero razionale nel caso di grandezze commensurabili, irrazionale nel caso di grandezze incommensurabili.

12. “ Esplorare πè come esplorare l’Universo…”David Chudnovsky

14. π La storia del π: Nasce nel 1706 dal matematico inglese William Jones Non può essere scritto come quoziente di due interi La sua approssimazione è 3,14 È un numero irrazionale e trascendente Non è una costante fisica, bensì matematica È anche conosciuto come la costante di Archimede

15. Costruzione geometrica delle radici quadrate dei numeri naturali

16. Consideriamo il triangolo OAB di figura in cui OA=1 costruisce geometricamente le radici quadrate dei numeri interi a partire da un triangolo rettangolo isoscele avente cateti di lunghezza unitaria La spirale di Teodoro

17. l'ipotenusa di OBCOC =√3Iterando il procedimentosi ottengono tutte le radici quadrate dei numeri naturali (√N) Per il teorema di PitagoraOB =√2.si costruisce un nuovo triangolo rettangolo retto in B con cateti OB e BC, tale che BC=1 Si ottiene inoltre tale figura:

18. …ma c’è un numero razionale che al quadrato fa esattamente due? 1,442 = 2,0736 1,432 = 2,0449 1,412 = 1,9881 1,41422 =1,99996164 1,4152 = 2,002225 1,414212 =1,999989924

19. “ La reductio ad absurdum, tanto amata da Euclide è una delle più belle armi di un matematico. E’ un gambetto molto più raffinato di qualsiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificio un pedone o anche qualche altro pezzo, ma il matematico offre la partita.” G.H.Hardy

20. Le grandezze non sempre possono essere espresse sotto forma di frazioni. Per questo esiste un’altra categoria di numeri chiamati irrazionali. Questinon possono essere scritti come decimali, né come decimali periodici. La misura esatta della diagonale del quadrato di lato 1 è √2 ogni tentativo di scriverlo in forma decimale può soltanto essere un’approssimazione ad 1,414213562373..

21. 1 2 valore approssimato per difetto a meno di una unità valore approssimato per eccesso a meno di una unità Quindi 1<√2<2

22. La ricerca della posizione di √2 all’interno dell’intervallo avvia un procedimento infinito e genera due classi di numeri i cui elementi sono gli infiniti valori approssimatirispettivamente per difetto e per eccesso

23. determina separa Proprietà di Cd e Ce º Le classi sono separate: Cd<Ce º Fra le due classi c’è un avvicinamento indefinito ºLe classi si dicono contigue √2 Cd Ce Si definisce numero irrazionale l’elemento separatore di una coppia di classi contigue di numeri razionali che rappresentano i suoi valori approssimati rispettivamente per difetto e per eccesso.

24. Grazie per avermi ascoltato..il mio lavoro finisce qui…ora torno ai miei pensieri. Buona fortuna!