§ 7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. §7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯНЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 7.1 Первообразная и неопределенный интеграл Основная задача интегрального исчисления состоит в том, чтобы по заданной функции f(x) найти такую функцию F(x), что Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и для х(a, b). . Пример: Функция F(x)=x3+7 является первообразной для функции f(x)=3х2, т.к.

2. Теорема 1: Пусть F(x) – первообразная для функции у = f(x) на (a, b), тогда у = F(x)+с, где с –const, есть общий вид первообразной для функции у = f(x) на (a, b). Совокупность всех первообразных для функции f(x) на (a, b) называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается В силу теоремы 1 Неопределенным интегралом от функции f(x) на (a, b) называется такая функция F(x)+с, где с – const, дифференциал которой равен подынтегральной функции. Операция нахождения всех первообразных или неопределенного интеграла называется операцией интегрирования данной функции. Пример: В силу предыдущего примера

3. Свойства неопределенного интеграла: 1. 2. , R. 3. 4. Если F(x)–первообразная для f(x), то

4. Основные неопределенные интегралы: 1. 7. 2. 8. 3. 9. 4. 10. 5. 11. 6. 12.

5. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

6. Пример:

7. 7.2 Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки (1) где f(t)–непрерывная функция, а t=(x) – непрерывно дифференцируемая функция, причем область значений функции t=(x) принадлежит области определения функции f(t). Для вычисления интеграла нужно «подвести» под знак дифференциала, получив при этом d(x), и осуществить подстановку (x)=t. Затем нужно вычислить интеграл и в окончательном результате вернуться к исходной переменной х по формуле t=(x).

8. Пример:

9. Поменяв в формуле (1) переменную интегрирования x на t, а t на x, получим (2) где (t)–непрерывно дифференцируемая функция, такая, что существует обратная функция t=–1(x). нужно ввести замену х=(t), Для вычисления интеграла и в окончательном вычислить интеграл результате вернуться к исходной переменной х по формуле t= –1(x).

10. Пример:

11. 7.3 Интегрирование по частям Пусть u=u(x) и v=v(x)–непрерывно дифференцируемые на некотором интервале функции. тогда по определению неопределенного интеграла следует, что  или (3) Формулой (3) целесообразно пользоваться тогда, когда подынтегральное выражение можно разбить на два множителя uи dvтак, чтобы интегрирование выражений dvи vduявлялось задачей более простой, чем интегрирование исходного выражения udv.

12. Пример: