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2. 第三篇：动力学 动力学 Vectorial Dynamics Vectorial Dynamics 导言 introduction 1.质点动力学 Dynamics of a particle/mass point 2.动力学普遍 定理 general(universal) principles 动力学的任务是研究物体的机械运动与作用在物体上的力之间的 关系。 动力学的基本问题大致分为两类：（1）已知运动求力；（2）已知力求运动。 具体学习以下内容：◆　动力学基本方程 质点运动微分方程；◆　普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理（重点内容）；◆　达朗伯原理：动静法（重点内容）；　　本篇叙述的动力学即矢量动力学，矢量动力学也称作牛顿力学， 是以牛顿动力学基本定律为基础，经过数学演绎，推导出动力学普遍 定理。 3.达朗伯原理 principle of D'Alembert 主页

3. 学习目标 课时安排 重点与难点 本章学习指导 质点动力学 Dynamics of a particle/mass point 掌握动力学基本方程的适用条件，理解惯性坐标系与非惯性坐标系。能针对具体问题建立质点、平动刚体的运动微分方程，熟练求解质点和平动刚体的两类动力学问题． §1质点运动微 分方程 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 课内学时：2学时 课外学时：2学时 §3质点动力学 两类问题求 解举例 重点：求解质点和平动刚体的两类动力学问题。难点：理解惯性坐标系与非惯性坐标系。 主页

4. 解决动力学问题的最根本依据是牛顿第二定律，即F＝m a，它也称为动力学基本方程。这个定律虽然大家非常熟悉，但真正掌握并能用它来解决问题却也不那么容易。工程上的许多力学问题就是围绕着如何寻找满足一定的几何条件和运动条件的动力学基本方程之解进行的。 力F和加速度a以及质量m之间存在的这样的确定联系，只有在惯性坐标系中方能成立。这是在使用定律时首先要注意的。F＝m a之所以称为动力学基本方程，是因为以它为出发点，还可以推导出动力学中的其他定理（如动量定理、动量矩定理和动能定理）和结论。当然，这些定理和结论也只适用于惯性坐标系。 学习方法及注意问题 本章学习指导 质点动力学 Dynamics of a particle/mass point §1质点运动微 分方程 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

5. 动力学的基本问题归结为两类：已知运动求力和已知力求运动。亦有些问题则介乎二者之间，即已知部分运动和力求部分未知的运动和力。在解决动力学问题时，一方面要象静力学中一样对研究对象进行受力分析，另一方面还要进行运动分析，即判明那些运动是已知的，那些是未知的，然后取适当的投影形式建立质点运动微分方程并求解之。　　质点在非惯性坐标系中运动时，其相对运动微分方程式可以和牛顿第二定律具有相同的形式，但除了作用在质点上的"真实力"F之外，尚需加上两个作为修正项的"假想力"，即牵连惯性力Qe和哥氏惯性力Qk。动力学的基本问题归结为两类：已知运动求力和已知力求运动。亦有些问题则介乎二者之间，即已知部分运动和力求部分未知的运动和力。在解决动力学问题时，一方面要象静力学中一样对研究对象进行受力分析，另一方面还要进行运动分析，即判明那些运动是已知的，那些是未知的，然后取适当的投影形式建立质点运动微分方程并求解之。　　质点在非惯性坐标系中运动时，其相对运动微分方程式可以和牛顿第二定律具有相同的形式，但除了作用在质点上的"真实力"F之外，尚需加上两个作为修正项的"假想力"，即牵连惯性力Qe和哥氏惯性力Qk。 学习方法及注意问题 本章学习指导 质点动力学 Dynamics of a particle/mass point §1质点运动微 分方程 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

6. differential equation of motion of a particle relative to inertial reference frame 矢经法 自然坐标系下的投影形式 质点动力学 vector methods Dynamics of a particle/mass point plojective equation on natural coordinates/normal-tangential coordinates 惯性坐标系下质点运动微分方程 直角坐标系下的投影形式 differential equation of motion of a particle relative to inertial reference frame §1质点运动微 分方程 plojective equation on rectangular coordinates differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 质点M ：质量为m ,作用力合力F ,在惯性坐标系oxyz　　　　中运动，如图所示。 t 瞬时：矢径 r，速度v 则：加速度与矢径 r 之间 的关系为: §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

7. differential equation of motion of a particle relative to inertial reference frame 矢经法 自然坐标系下的投影形式 质点动力学 vector methods Dynamics of a particle/mass point plojective equation on natural coordinates/normal-tangential coordinates 惯性坐标系下质点运动微分方程 直角坐标系下的投影形式 differential equation of motion of a particle relative to inertial reference frame §1质点运动微 分方程 plojective equation on rectangular coordinates differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 根据牛顿第二定律 ：m a = F，质点的运动微分方程可表示为如下三种常用形式：● 矢量形式；● 直角坐标系投影形式；● 自然坐标系投影形式。 §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

8. 矢量形式一般用于理论推导． vector method 矢经法 自然坐标系下的投影形式 质点动力学 vector methods Dynamics of a particle/mass point plojective equation on natural coordinates/normal-tangential coordinates 惯性坐标系下质点运动微分方程 直角坐标系下的投影形式 differential equation of motion of a particle relative to inertial reference frame §1质点运动微 分方程 plojective equation on rectangular coordinates differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

9. plojective equation on rectangular coordinates 矢经法 自然坐标系下的投影形式 质点动力学 vector methods Dynamics of a particle/mass point plojective equation on natural coordinates/normal-tangential coordinates 惯性坐标系下质点运动微分方程 直角坐标系下的投影形式 differential equation of motion of a particle relative to inertial reference frame §1质点运动微 分方程 plojective equation on rectangular coordinates differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 其中：x、y、z为质点的坐标;Fx、Fy、Fz 为合力F 在x、y、z轴上的投影。 主页

10. plojective equation on natural coordinates/normal-tangential coordinates 矢经法 自然坐标系下的投影形式 质点动力学 vector methods Dynamics of a particle/mass point plojective equation on natural coordinates/normal-tangential coordinates 惯性坐标系下质点运动微分方程 直角坐标系下的投影形式 differential equation of motion of a particle relative to inertial reference frame §1质点运动微 分方程 plojective equation on rectangular coordinates differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 Fτ、Fn、Fb分别是合力F 在切线、主法线和副法线上 的投影。 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 因为： 主页

11. 矢经法 自然坐标系下的投影形式 质点动力学 vector methods Dynamics of a particle/mass point plojective equation on natural coordinates/normal-tangential coordinates 惯性坐标系下质点运动微分方程 直角坐标系下的投影形式 differential equation of motion of a particle relative to inertial reference frame §1质点运动微 分方程 plojective equation on rectangular coordinates differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 注意： 除上述三种常用形式外， 还可以应用极坐标（平面曲线）、球坐标、 柱坐标等形式。（请看有关参考书） 请试着写出这三种形式的方程。 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

12. differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame 质点动力学 非惯性坐标系下质点运动微分方程 Dynamics of a particle/mass point differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame §1质点运动微 分方程 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 牛顿运动定律只适用于惯性坐标系，然而，有时我们必须在非惯性系中观察研究质点的运动。如图所示： o x y z ----- 惯性坐标系　　 o‘ x’ y‘ z’ ----- 非惯性坐 标系，它相对于惯性系作加 速运动，同时质点在非惯性 系中运动。 §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

13. differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame 质点动力学 非惯性坐标系下质点运动微分方程 Dynamics of a particle/mass point differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame §1质点运动微 分方程 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 根据牛顿第二定律： m aa＝ F由运动学知：　　　aa＝ ae＋ar＋ ac（加速度各符号意义与运动学一致！）将上述加速度关系代入 牛顿第二定律，即： §3质点动力学 两类问题求 解举例 m ( ae＋ar＋ ac ) ＝ F 主页

14. differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame 质点动力学 非惯性坐标系下质点运动微分方程 Dynamics of a particle/mass point differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame §1质点运动微 分方程 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 移项处理后得：m ar＝ F＋ Qe＋ Qc其中：　 Qe＝ －mae　称为牵连惯性力Qc＝ －mac　称为哥氏惯性力 上式就是以矢量形式表示 的非惯性坐标系中质点运 动微分方程（也称为相对 运动微分方程）。 §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

15. differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame 质点动力学 非惯性坐标系下质点运动微分方程 Dynamics of a particle/mass point differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame §1质点运动微 分方程 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 可以看出：　 质点相对于非惯性坐标系运动的微分方程式与质点相对于惯性坐标系的微分方程式形式相同，但除作用在质点上的合力F之外，还要加上牵连惯性力Qe和哥氏惯性力Qc 。 换句话说，非惯性坐标系中的观察者，要用牛顿定律描述动力学现象时，应该作某些修正，即：除了作用在质点上的“真实力”F以外，还必须加上“假想力”Qe和 Qc 。 下边看几种特殊情况。 §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

16. differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame 质点动力学 非惯性坐标系下质点运动微分方程 Dynamics of a particle/mass point differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame §1质点运动微 分方程 differential equation of motion of a particle 特殊情况： §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 ⑴ 当动坐标系作平动时，ac＝ 0， 则 Qc＝ 0　　　 　　　　　故 　mar＝ F＋Qe⑵ 若动坐标系作匀速直线平动时，ac＝ 0，ae＝ 0， 则 Qe＝ 0，Qc＝ 0 , 故 　mar＝ F differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 上式表明：当动坐标系作匀速直线平动时，质点相对运动微方程式与绝对运动方程式没有什么区别。这说明在惯性坐标系中和相对惯性坐标系作匀速直线平动的动坐标系中，动力学现象是相同的。 主页

17. differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame 质点动力学 非惯性坐标系下质点运动微分方程 Dynamics of a particle/mass point differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame §1质点运动微 分方程 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 ⑶ 若质点相对于动坐标系作匀速直线运动，则称为该质点处于 相对平衡，这时　　ar＝ 0． 故 　0 ＝ F＋Qe＋Qc　 即：当质点处于相对平衡时，作用于质点的力F和牵连惯性 力Qe及哥氏惯性力Qk 构成平衡力系. differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 ⑷ 若质点在动坐标系中保持相对静止，这时 ar＝ 0 , vr＝ 0 ,ac＝ 0， Qc＝ 0 . 故 　0 ＝ F＋Qe　 即：质点保持相对静止时，作用于质点上的力F与牵连惯 性力Qe构成平衡力系. 主页

18. differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame 质点动力学 非惯性坐标系下质点运动微分方程 Dynamics of a particle/mass point differential equation of motion of a particle relative to a noninertial reference frame §1质点运动微 分方程 differential equation of motion of a particle 例题 §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 例如：如图所示，一小锤M ,重为G ,用长为L的细杆悬挂在以 匀加速度a 沿水平直线轨道行驶的车厢中，当摆杆摆过α 角时，小锤M处于相对静止。这种装置可用来测量车子 的加速度。 （请考虑如何做？） §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

19. general(universal) principles of dynamics 质点动力学两类问题求解 质点动力学 Dynamics of a particle/mass point general(universal) principles of dynamics 例二 例一 例三 example1 example2 §1质点运动微 分方程 example3 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 质点动力学问题一般分为两类问题：★已知运动规律求力　 求解这类问题时，只需根据已知的运动规律，通过微分 运算求出质点的加速度，从而按质点运动微分方程式求 出未知力。这类问题一般比较简单。 §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

20. general(universal) principles of dynamics 质点动力学两类问题求解 质点动力学 Dynamics of a particle/mass point general(universal) principles of dynamics 例二 例一 例三 example1 example2 §1质点运动微 分方程 example3 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 ★已知力求运动规律 求解这类问题时，首先要列出质点运动微分方程式，然后进行积分，同时利用运动的初始条件（即t =0时，质点的位置和速度）确定积分常数，求出质点的运动规律。这类问题一般比较繁琐。 因为在一般情况下，力F是时间、位置和速度的函数，只有在简单情况下，进行积分，可求出运动微分方程的解析解，对一些难以利用解析方法求解的微分方程可以利用数值方法计算积分，求出运动近似解（这也是常用方法之一）。 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

21. example1 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 题：　偏心轮---挺杆机构。已知：偏心轮以匀角速度ω 绕轴O顺时针转动，挺杆AB　沿铅垂滑道平动，挺杆顶部 放置一质量为m的物块D。OC＝e ，开始时OC 位于铅垂线上。求：　物块对挺杆的压力。 §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

22. example1 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 solution 解： 步骤一:　取研究对象：物块D；　　　 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 步骤二： 　受力分析如图：F : 挺杆对物块的反作用力； mg: 物块的重力。 主页

23. example1 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 differential equation of motion of a particle solution §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 步骤三:运动分析： 挺杆AB作平动, 选坐标轴oy如图，　挺杆AB的运动方程为： §3质点动力学 两类问题求 解举例 求二阶导数得挺杆的加速度： 因为物块D随挺杆一起平动，它们的加速度应同。 主页

24. example1 步骤四: 根据质点运动微分方程可列出物块的运动方程: 步骤五: 求解得： 而物块对挺杆AB的压力 F ‘=－F 。 从F 的表达式可见，F 的大小 是随时间而变化的。 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 solution differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame y §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

25. example1 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 思考：１、当偏心轮的角速度过大时，会发生什么现象？　　　２、欲保持物块与挺杆接触不会分离，偏心轮速度　　　　　最大允许值为多少？　 §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

26. example1 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 题：　小球用两根钢丝相连，在水平面内作匀速圆周运动，　　　如图所示。已知：小球质量m =5（kg）, 小球速度v =3.6（m/s）,AB = BC = 1.2 m。求 ： 钢丝AC、BC的拉力 . differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

27. example1 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 differential equation of motion of a particle 步骤一：选取研究对象：小球C步骤二：受力分析如图：重力mg , 两根钢丝拉力FAC ，FBC。 solution §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 步骤三：运动分析 小球在水平面内 作匀速圆周运动， 其中： §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

28. example1 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 differential equation of motion of a particle 步骤四：用自然法列运动微分方程（∵轨迹已知）：τ：0=0 （τ垂直于b与n决定的平面） solution §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 步骤五：求解得：FAC＝22.6 (N) FBC＝58.8 (N) 主页

29. example3 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 differential equation of motion of a particle 试求不计空气阻力时脱离地球引力场而作宇宙飞行的飞船所需的最小速度----- 第二宇宙速度。 §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

30. example3 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 differential equation of motion of a particle Solution： §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 这是第二类质点动力学问题，需求积分。步骤一：研究对象：飞船（视为质点） §3质点动力学 两类问题求 解举例 步骤二：分析受力： 地球引力 F＝GMm / z2 式中：G ----万有引力常数；M ----地球质量；m ----飞船质量。 主页

31. example3 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 Solution： differential equation of motion of a particle §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 ∵在地球表面：引力等于重量，即 mg＝GMm / R2　即 　g R 2＝GM（R ---- 地球半径）∴ 　　F＝g R 2 m / z2（力是位置的函数） differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame §3质点动力学 两类问题求 解举例 步骤三：取坐标如图： O点在地心，OZ铅垂向上为正，列出质点运动微分方程式： 初始条件： t ＝0 时 z＝z 0，v＝ v 0 主页

32. example3 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 differential equation of motion of a particle Solution： §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 步骤四：对微分方程分离变量，积分一次得：z 0是飞船开始自由飞行处 的坐标。 再积一次分可得z与t 的 函数关系，即飞船的 运动规律。 §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

33. example3 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 differential equation of motion of a particle Solution： §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 步骤五：　求第二宇宙速度 由 §3质点动力学 两类问题求 解举例 可见：如果当z →∞ 而vz ≥ 0， 则飞船就可以离开地球引力 空间，不再返回地面。 主页

34. example3 质点动力学 例二 Dynamics of a particle/mass point example2 质点动力学两类问题求解 例一 例三 general(universal) principles of dynamics §1质点运动微 分方程 example1 example3 differential equation of motion of a particle Solution： §2非惯性坐标 系下质点运 动微分方程 differential equation of mtion of a particle relative to a noninertial reference frame 为此，在z 0处,飞船所需的最 小初速度（使vz＝0）为 当 z 0 ＝R ,即在地面发射时, 飞船所需的最小速度称为第二宇宙速度。即　 §3质点动力学 两类问题求 解举例 主页

35. 熟练掌握动力学基本量的计算，熟练掌握三个普熟练掌握动力学基本量的计算，熟练掌握三个普 遍定理的综合应用． 学习目标 课时安排 课内学时：14学时 课外学时：14学时 重点与难点 重点：掌握各种动力学基本量的计算，掌握三个 普遍定理的综合应用。难点：三个普遍定理的"综合应用"。 动力学普遍定理 本章学习指导 general(universal) principles of dynamics §1基本力学量 的计算 calculations of basic mechanics quantities §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

36. 动力学三个普遍定理是动力学的重点内容，在工程中有广泛的应用。它们从不同的侧面反映了机械运动的规律。正确分析质点系所受外力，熟练计算质点系的动量、动量矩、动能及转动惯量、功是应用普遍定理的关键。（1）动量定理表明动量的变化与外力间的关系，是矢量式，在实际应用时，采用其投影式。质心运动定理是动量定理的另一种表达形式，它描述质点系质心运动的变化与外力的关系。质点系动量的变化或质心运动的变化与质点系所受外力有关，内力不能改变质点系的动量，亦不能影响质心的运动，因此，应用质点系动量定理或者质心运动定理时只分析质点系所受外力，受力图中只画外力，当外力为零或沿某轴投影为零时，系统动量守恒（或者质心运动守恒）。因此分析外力非常重要。　　另外，注意计算质点系的动量时用到的速度必须是相对于惯性坐标系的所谓绝对速度。　　　　　　动力学三个普遍定理是动力学的重点内容，在工程中有广泛的应用。它们从不同的侧面反映了机械运动的规律。正确分析质点系所受外力，熟练计算质点系的动量、动量矩、动能及转动惯量、功是应用普遍定理的关键。（1）动量定理表明动量的变化与外力间的关系，是矢量式，在实际应用时，采用其投影式。质心运动定理是动量定理的另一种表达形式，它描述质点系质心运动的变化与外力的关系。质点系动量的变化或质心运动的变化与质点系所受外力有关，内力不能改变质点系的动量，亦不能影响质心的运动，因此，应用质点系动量定理或者质心运动定理时只分析质点系所受外力，受力图中只画外力，当外力为零或沿某轴投影为零时，系统动量守恒（或者质心运动守恒）。因此分析外力非常重要。　　另外，注意计算质点系的动量时用到的速度必须是相对于惯性坐标系的所谓绝对速度。　　　　　　 学习方法及注意问题 本章学习指导 动力学普遍定理 general(universal) principles of dynamics §1基本力学量 的计算 calculations of basic mechanics quantities §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

37. （2）动量矩定理建立了动量矩的变化与外力矩之间的关系。对于有心力作用的情况和刚体定轴转动动力学问题，用动量矩定理特别有效。和动量定理一样，动量矩定理亦是一矢量式，实际应用时通常使用其投影式。在计算质点系动量矩时，要对质点系内每一个质点，刚体进行计算，然后相加，而且要注意其各部分速度之间的协调关系。定轴转动刚体对转轴的动量矩为Jz ω，形状规则物体的Jz可以通过查表求得，常用刚体转动惯量要熟记，同时掌握平行轴定理的恰当应用，以及回转半径的概念。联合质心运动定理和相对于质心的动量矩定理就能建立刚体平面运动微分方程。前者解决质心的运动问题，后者解决相对于质心的转动问题。工程上的许多动力学问题，特别是具有质量对称平面的平面机构动力学问题，都可以应用平面运动微分方程来解决。应用动量矩定理时也是只分析质点系所受外力，因内力不影响质点系动量矩变化，可不必考虑，受力图中只需画出外力，注意动量矩守恒的条件。　　　 学习方法及注意问题 本章学习指导 动力学普遍定理 general(universal) principles of dynamics §1基本力学量 的计算 calculations of basic mechanics quantities §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

38. （3）动能定理建立的是动能的变化与作用力的功之间的关系。动能定理不同于动量定理和动量矩定理。首先它是标量方程式，因此应用时不必定坐标，只要注意功的正负问题。由于动能总是正值，计算质点系的动能时只须将质点系中各质点及刚体的动能求算术和；其次在分析力的功时，不仅要分析外力的功，而且要注意内力的功，因为内力之功的和不一定等于零。对于一般常见力（如重力、弹性力、万有引力、摩擦力及力偶等）的功的计算要熟练掌握；同时要理解对刚体而言其内力的功的总和恒为零；对理想约束情况，约束力作功之和亦等于零。在此特别指出，轮子作纯滚动时，静滑动摩擦力的功等于零，因为接触点无相对滑动。计算质点系的动能。主要是掌握刚体平动、定轴转动与平面运动时动能的计算公式，对于一些较为复杂的运动，其动能可以利用柯尼克定理来计算。在此强调一点，动能计算中的速度和角速度都是指相对于惯性参考系的绝对速度与绝对角速度（相对于质心的动能则是指相对于过质心的平动参考系的速度和角速度）。（3）动能定理建立的是动能的变化与作用力的功之间的关系。动能定理不同于动量定理和动量矩定理。首先它是标量方程式，因此应用时不必定坐标，只要注意功的正负问题。由于动能总是正值，计算质点系的动能时只须将质点系中各质点及刚体的动能求算术和；其次在分析力的功时，不仅要分析外力的功，而且要注意内力的功，因为内力之功的和不一定等于零。对于一般常见力（如重力、弹性力、万有引力、摩擦力及力偶等）的功的计算要熟练掌握；同时要理解对刚体而言其内力的功的总和恒为零；对理想约束情况，约束力作功之和亦等于零。在此特别指出，轮子作纯滚动时，静滑动摩擦力的功等于零，因为接触点无相对滑动。计算质点系的动能。主要是掌握刚体平动、定轴转动与平面运动时动能的计算公式，对于一些较为复杂的运动，其动能可以利用柯尼克定理来计算。在此强调一点，动能计算中的速度和角速度都是指相对于惯性参考系的绝对速度与绝对角速度（相对于质心的动能则是指相对于过质心的平动参考系的速度和角速度）。 学习方法及注意问题 本章学习指导 动力学普遍定理 general(universal) principles of dynamics §1基本力学量 的计算 calculations of basic mechanics quantities §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

39. （4）普遍定理综合应用时，当已知某些主动力求运动时，应（4）普遍定理综合应用时，当已知某些主动力求运动时，应 优先选用动能定理，当已求得速度与位移，或角速度与 角位移（转角）的函数式时，求一次导数就可求得加速 度或角加速度，再配合动量定理或质心运动定理及动量 矩定理，可求得约束反力等其他未知力，这是求解动力 学问题的一个非常有效的方法。 学习方法及注意问题 本章学习指导 动力学普遍定理 general(universal) principles of dynamics §1基本力学量 的计算 calculations of basic mechanics quantities §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

40. center of mass of particle systems 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆质心：质点系的质量分布中心，一般用C表示质心。◆ 质心的位置和质点系各质点的质量分布有关。◆ 质心的位置可用矢径确定如下： §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 其中：M ＝∑m k质点系总的质量。 主页

41. center of mass of particle systems 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 质心位置也可用直角坐标表示: §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 注意：从上述公式很容易看出，质心和重心在地球表面附近是重 合的，但二者的概念不同，重心只有在地球表面附近有意 义，而质心在宇宙空间依然存在！ synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

42. velocity and acceleration for center of mass of particle systems 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system 对质心坐标公式求导一次可得质心的速度，即 ： §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

43. velocity and acceleration for center of mass of particle systems 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system 对质心坐标公式求导二次可得质心的加速度，即 ： §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

44. 我们已熟悉质点的动量为mv ，它是一矢量，如图：而质点系的动量等于质点系内各质点动 量的矢量和（称为动量的主矢量）或等 于质点系的总质量与质心速度的乘积。常用P表示, 即: linear momentum 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

45. 动量是一矢量，它在直角坐标轴上的投影分别为：　　动量是一矢量，它在直角坐标轴上的投影分别为：　　 linear momentum 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 可利用上述公式求质点系的动量主矢量及其在坐标轴 上的投影。 主页

46. angular momentum / moment of momentum 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 ◆ 质点的动量矩 principle/theorem of angular momentum of particle system ◆ 质点系的动量矩 §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system ◆ 绕定轴转动刚体对转轴x的动量矩 §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

47. angular momentum / moment of momentum 动力学普遍定理 动量矩 质点系动量能 动量 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 质点的动量矩 质点对点的动量矩： §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system 质点对轴的动量矩： §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

48. angular momentum / moment of momentum 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 质点的动量矩 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system 注意：对点的动量矩是矢量，从矩心O 画出，其方位垂直于矢径r 和动量mv 所组成的平面，指向按右手规则确定，对轴的动量矩等于对点的动量矩矢量在相应轴上的投影，对轴的动量矩是代数量（标量）。一般规定：从轴正向看， 逆时针为正，顺时针为负。 可见：对点或轴的动量矩定义完全与力对点之矩和力对轴之矩 类似。 §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

49. angular momentum / moment of momentum 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 质点系的动量矩 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system ● 质点系对某点的动量矩： §4质点系动能 定理 质点系内各质点对同一点O动量矩的矢量和称为质点系对点O的动量矩；一般用LO表示。 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

50. angular momentum / moment of momentum 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 质点系的动量矩 §3质点系动量 矩定理 ● 质点系对某轴的动量矩: principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly、Lz表示。 即：　　　　　　　　　　　　　 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页