Download
1 / 7
130 likes | 464 Views
Progresii. Geometrice. Aritmetice. Progresii aritmetice. Sirul numeric ( a n ) n Î N se numeste progresie aritmetica , daca exista un numar real r , numit ratia progresia , astfel incat. De fini ţie. a n +1 - a n = r , ( n N ).
E N D
Progresii Geometrice Aritmetice
Progresiiaritmetice Sirul numeric (an)n Î N se numesteprogresiearitmetica, dacaexista un numar real r, numitratiaprogresia, astfelincat Definiţie an+1 - an = r, (nN) . adicadacafiecaretermen al sirului (incepand cu al doilea) esteegal cu precedentul plus unulsiacelasinumar (ratia). Elementulan se numestetermen general al progresieisautermen de rang n. Notatie :
Proprietatile progresiei aritmetice 1) (monotonia).Progresia aritmetica este un sir : - strict crescator , daca ratia r > 0 ; - strict descrescator , daca ratia r < 0. 2) (formula termenului general) Daca sirul este o progresie aritmetica avand primul termen si ratia r , atunci termenul generalare forma ; . 3) Siruleste o progresie aritmetica daca si numai daca orice termen al sau , incepand cu al doilea , este medie aritmetica a termenilor vecini lui , adica daca
4)Daca numerele sunt in progresie aritmetica , atunci : Suma oricaror doua numere egal departate de numerele extreme () este egala cu suma numerelor extreme ( ). 5) (suma primilor n termeni)Daca este o progresie aritmetica , atunci : Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este egala cu produsul dintre semisuma termenilor extremi si numarul termenilor sumei. 1) Obs. 2) Scrierea convenabila a 3 termeni in progresie aritmetica: Scrierea convenabila a 4 termeni in progresie aritmetica : Scrierea convenabila a 5 termeni in progresie aritmetica: Exercitiu rezolvat
Progresiageometrica Sirul cu 0(primul termen)pentru care fiecare termen al sau , incepand cu al doilea , se obtine din precedentul prin inmultirea cu acelasinumar q 0se numeste progresie geometrica.Numarul q se numesteratia progresiei. Definiţie Daca este progresie geometrica daca avem relatia de recurenta : ; . Pentru a proba ca siruleste progresie geometrica daca = constant , . Elementulbn se numestetermen general al progresiei de rang n. Urmatoarelesirurireprezintaprogresiigeometrice: 2, 4, 8, ..., 2n, ... cu b1 = 2 siq = 2, 3, -1, 1/3, -1/3,... cu b1 = 3 siq = -1/3, a, a, a, ... cu b1 = asiq = 1, a, 0, 0, ... cu b1 = asiq = 0 Tinemsamentionam, ca dacaunul din termeniiprogresieigeometriceesteegal cu zero, atuncisaub1 = 0 sauq = 0.
Proprietatileprogresieigeometrice P1.Termenul de rang n al progresieigeometrice se determine prin formula bn = b1·qn-1, (n N). (1) P2. (Proprietateacaracteristica a uneiprogresiigeometrice). Patratultermenului de rang nesteegal cu produsultermenilorechidistanti de el: (2) in caz particular, pentruoricetreitermeniconsecutiv (3) Nota.Formulele (2), (3) se pot scriesiastfel (4) (5) adicamodulultermenului de rang neste media geometrica a termenilorechidistanti de el. In cazulprogresiei cu termenipozitiviinsasitermenul de rang neste media geometrica a termenilorechidistanti de el (6) P3.Dacak + n = m + p (k, n, m, p N), atunci bk·bn = bm·bp, (7) undebk, bn, bm, bp - termeniaiprogresieigeometriceb1, b2, .... P4.Treinumerea, b, cformeaza o progresiegeometrica (fara a precizaconsecutivitatealor) dacasinumaidacaverificarelatia: (a2 - bc)(b2 - ac)(c2 - ab) = 0, (8) iarnumerelea, b, cformeaza o progresiegeometrica (in ordineaindicata) dacasinumaidaca b2 = ac. P5. Suma primilorntermeniSnaiuneiprogresiigeometrice se determinaprin formula (9) undeb1 - primultermen, q - ratia, sibn - termenul general al progresieigeometrice. In cazq = 1 sumaprimilorntermeni se determinaprin formula Sn = b1·n. (10) P6. Suma S a tuturortermeniloraiprogresieigeometriceinfinitdescrescatoare (|q| < 1) se determinaprin formula (11) Exercitiu rezolvat
