Формулы площади треугольника билет № 2

1. Формулы площади треугольника билет № 2

2. Площадь треугольника Определение: Для треугольника площадью называется положительная величина с такими свойствами: • Если фигура составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур. • Равные треугольники имеют одну и ту же площадь.

3. S =½*a*b Лемма: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. А D Дано: ABC-треугольник АС=b BC=a Доказать: S =½*a*b Доказательство: 1)Д.П. CADB-прямоугольник 2)S(CADB)=a*b 3)S(ACB)=1/2*S(ADBC)=½*a*b b С a В

4. S =½*a*b Теорема: Площадь произвольного треугольника равна произведению любой из сторон на высоту, проведённый к этой стороне. I случай (Прямоугольный треугольник) А CB-основание AC-высота S(ACB)=½*CB*AC(по лемме) С В

5. S =½*h*b II случай (ABC-остроугольный треугольник) B Дано: ABC-о/у треугольник AH-высота Доказать: S(ABC)=½*AH*BC Доказательство: 1)S(ABH)=1/2*BH*AH 2)S(AHC)=1/2*HA*HC 3)S(ABC)=S(ABH)+S(AHC)=1/2*BH*AH+1/2*AH*HC=1/2*AH(BH+HC)=½*AH*BC H А C

6. S =½*h*b III случай (Тупоугольный треугольник) Дано: АВС - т/у тр-кАН - высота Доказать: S(ABC)=½*AH*BC A Доказательство: 1)S(AHC)=1/2*АН*НС 2)S(AHD)=1/2*АН*НВ 3)S(ABC)=S(AHC)-S(AHB)=1/2*AH*HC-1/2*АН*НВ=1/2*АН*(НС-НВ)= ½*АН*ВС H B C

7. S =½*b*c*sinα Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. C Дано: ABC-треугольник CB=a;AB=c; <A=α Доказать: S =½*b*c*sinα Доказательство: 1)Доп. пост. CH-высота. 2)S(ABC)=½*AB*CH 3) Рассмотрим треугольник ABC-п/у sin<A=CH/AC => CH=AC*sin<A=b*sinα 4) S(ABC)=½*b*c*sinα b a α A H B c

8. S =½*P*r Теорема:Площадь треугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности. B F H Дано: ABC-треугольник со сторонами a, b, c;окр(O,r); OF ,OH,OE-высоты; BO,AO-биссектрисы Доказать: S(ABC)=½*P*r o Доказательство: 1)Д.П. ОС 2)S(AOB)=½*OF*AB 3)S(AOC)=½*OE*AC 4)S(BOC)=½*OH*BC 5)S(ABC)=S(AOB)+S(AOC)+S(BOC)= =½*OF*(a+b+c)=½*P(ABC)*r= =p(ABC)*r A E C Следствие: Площадь любого многоугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности.

9. S =(a*b*c)/4R Теорема: Площадь треугольника равна отношению произведения сторон к произведению четырёх радиусов описанной окружности. Дано:ABC-треугольник со сторонами a,b,c Доказать: S(ABC)=(a*b*c)/4R Доказательство: S(ABC)=½*AB*AC*SinA Д.П. BD-диаметр; CD <C=90° по 2му следствию => BCD-п/у <A=<D по 1му следствию => SinD=SinA=BC/BD S(ABC)=½*(c*b*a)/2R=(a*b*c)/4R B A C D

10. Формулы площади треугольника • S=½*a*b – площадь прямоугольного треугольника • S=½*a*ha - половина произведения стороны на высоту проведённой к этой стороне • S=½*b*c*SinA – полвина произведения 2-х сторон на синус угла между ними • S=p*r – произведение полупериметра на радиус вписанной окружности • S=(a*b*c)/4R – отношение произведения сторон к 4м радиусам описанной окружности • S=√ p*(p-a)*(p-b)*(p-c) – теорема Герона • S=(a2*√3)/4 – площадь равностороннего треугольника

11. ВСЁ!!! Презентацию подготовил: Масленников Дмитрий Преподаватель: Васина Г.С.