Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур

1. Использование модели Кейна для расчетаэнергетического спектра полупроводниковых структур М.С.Жолудев научные руководители:д.ф.-м.н. В.Я.Алешкин д.ф.-м.н. В.И.Гавриленко

2. Содержание • Введение • Описание однородных полупроводников • kp-метод • модель Кейна • Учет неоднородностей • плавное поле • гетероструктуры • Примеры расчетов

3. 1. Введение

4. Введение гамильтониан электрона в кристалле: R– вектор прямой решетки

5. Теорема Блоха гамильтониан электрона в кристалле: R– вектор прямой решетки собственная функция: медленная огибающая быстро осциллирующая периодическая часть

6. Теорема Блоха гамильтониан электрона в кристалле: R– вектор прямой решетки собственная функция: уравнение дляблоховских функций:

7. Теорема Блоха гамильтониан электрона в кристалле: R– вектор прямой решетки собственная функция: уравнение дляблоховских функций: … и его решения:

8. Теорема Блоха гамильтониан электрона в кристалле: R– вектор прямой решетки собственная функция: уравнение дляблоховских функций: частично можем получить из эксперимента … и его решения:

9. Выводы • Нельзя вычислить зонную структуру непосредственно решая уравнение Шредингера, т.к. периодический потенциал неизвестен • Часть информации о зонной структуре можно получить из эксперимента, а остальное «достроить» с помощью приближенных методов

10. 2. kp-метод

11. kp-гамильтониан

12. kp-гамильтониан

13. Базис блоховских функций

14. Базис блоховских функций

15. Базис блоховских функций Базис для периодических функций: По нему можно разложить любую периодическую функцию

16. Базис Кона-Латтинжера – в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше Базис для периодических функций: По нему можно разложить любую периодическую функцию

17. Базис Кона-Латтинжера – в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше Базис для периодических функций: По нему можно разложить любую периодическую функцию:

18. Базис Кона-Латтинжера – в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше Базис для периодических функций: Базис Кона-Латтинжера:

19. Теория возмущений возмущение возмущение

20. Теория возмущений 1-й порядок 2-й порядок

21. Теория возмущений 1-й порядок 2-й порядок или зона проводимости всегда получается параболической

22. kp-метод • Зависимость энергии от k рассматривается как возмущение, вызванное влиянием других зон • Эта зависимость аппроксимируется некоторой функцией, параметры которой извлекают из экспериментальных результатов. • Невырожденная зона всегда получается параболической

23. 3. Модель Кейна Evan O. Kane,“Band structure of indium antimonide”,J. Phys. Chem. Solids 1, 249 (1957)

24. Модель Кейна возмущение возмущение

25. Модель Кейна возмущение возмущение

26. Модель Кейна возмущение возмущение

27. Гамильтониан Кейна – матрица Векторная запись волновой функции: где Уравнение Шредингера:

28. Гамильтониан Кейна возмущение возмущение

29. Гамильтониан Кейна (фрагмент) энергия в Г-точке

30. Гамильтониан Кейна (фрагмент) взаимодействие базисных функций энергия в Г-точке +

31. Гамильтониан Кейна (фрагмент) взаимодействие базисных функций энергия в Г-точке + + возмущение

32. Гамильтониан Кейна

33. Гамильтониан Кейна Гамильтониан Кона-Латтинжера

34. Гамильтониан Кейна Точный учет взаимодействиязоны проводимостии валентной зоны

35. Модель Кейна • Явно учитывает несколько зон, которые имеют разную энергию даже в нулевом приближении • Взаимодействие между этими зонами входит в гамильтониан точно • Поправки к энергии, связанные с влиянием далеких зон рассматриваются как возмущение • Модель учитывает непараболичность зоны проводимости

38. 4. Неоднородные системы

39. Плавный потенциал Плавный потенциал можно разложить по плоским волнам из 1-й зоны Бриллюэна: Кулоновский потенциал мелкой примеси является плавным вдали от центра

40. Плавный потенциал огибающие – плавные функции: J. M. Luttinger and W. Kohn,“Motion of electrons and holes in perturbed periodic fields”,Phys. Rev. 97, 869 (1955)

41. Гетероструктура • Блоховские функции материалов, образующих структуру, отличаются • Потенциал, нарушающий периодичность, не является плавным

42. Кусочно-гладкое решение 1. Находим огибающие для каждой однородной области 2. Сшиваем решения на границах правильно – сшивать полные волновые функции: граничные условия: непрерывность полной волновой функции и ее производной

43. Кусочно-гладкое решение 1. Находим огибающие для каждой однородной области 2. Сшиваем решения на границах приходится сшивать огибающие граничные условия – основная проблема

44. Опорный кристалл

45. Опорный кристалл Опорный потенциал V0является периодическим для всей структуры. Его блоховские функции – базис,по которому раскаладываетсяволновая функция электрона.

46. Опорный кристалл возмущение

47. Разложение волновой функции Блоховские функции опорного потенциала одинаковы для всей структуры M. G. Burt,“The justification for applying the effective-massapproximation to microstructures”,J. Phys.: Condens. Matter 4, 6651 (1992)

48. Разложение волновой функции Блоховские функции опорного потенциала одинаковы для всей структуры Волновая функция имеет тот же вид,что и в случае плавного потенциала:

49. Разложение волновой функции Блоховские функции опорного потенциала одинаковы для всей структуры Волновая функция имеет тот же вид,что и в случае плавного потенциала: Уравнение Шредингеразаписывается для всей структуры

50. Полный гамильтониан Вместо волнового вектора используется дифференциальный оператор. Он не коммутирует с эффективной массой, которая зависит от координат. Граничные условия для огибающейсодержатся в гамильтониане.