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第三节　函数的微分及其应用

第二章　导数与微分. 第三节　函数的微分及其应用. 一、微分概念. 二、微分的几何意义. 三、微分的基本公式及其运算法则. 四、微分在近似计算中的应用. 一、微分概念. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 当边长增加  x 时，. 　　先来看一个例子，边长为 x 的正方形，. 其面积增加多少？. 面积的增加部分记作  S ，. 设正方形的面积为 S ，. 则.  S = ( x +  x ) 2 - x 2. = 2 x  x + (  x ) 2 ，.

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第三节　函数的微分及其应用

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  1. 第二章　导数与微分 第三节　函数的微分及其应用 一、微分概念 二、微分的几何意义 三、微分的基本公式及其运算法则 四、微分在近似计算中的应用

  2. 一、微分概念 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 当边长增加 x 时， 　　先来看一个例子，边长为 x 的正方形， 其面积增加多少？ 面积的增加部分记作 S， 设正方形的面积为 S， 则 S = (x +x )2 -x2 = 2xx + (x)2， 　　当 x 很小时，例如 x = 1， x= 0.01 ，则 2xx = 0.02， 当 x 越小时， 而另一部分（ x）2 = 0.000 1， 因此，如果要取 S 的近似值时， （x）2部分就比 2xx小的更多. 显然 2xx 是 S 的一个很好的近似， 2xx 就称为 S = x2的微分.

  3. 定义设函数y = f (x) 在点x 的一个邻域内有定义， 如果函数f (x) 在点x 处的增量y = f (x + x ) -f (x) 可以表示为 y = Ax + ， 其中A 与x 无关，  是x 的高阶无穷小量， 则称Ax 为函数y = f (x) 在x 处的微分，记作dy，即 dy = Ax . 这时也称函数y = f (x) 在点x 处可微.

  4. 例1　设 y = x3，求 x = 1 处的微分. y = (1+x)3 – 13 = 3x +（3(x)2+ (x)3）. 解 　　上式可以看成两部分组成， 第一部分具有 Ax 形式的是 3x， 第二部分  是 3(x)2+ (x)3 ， 它是 x 的高阶无穷小量， 这是因为 所以函数 y = x3 在点 x = 1 处的微分是 dy = 3x . 　　为了方便起见，把自变量的增量 x 写成 dx ，即 x = dx. 从而 dy = Adx .

  5. 则函数y = f (x) 在点x 处可导， 定理1设函数y = f (x) 在点x 可微， 反之，如果函数y = f (x) 在点x 处可导， 且A = f (x). 则f (x) 在点x 可微. 证　因为 f (x) 在点 x 处可微， 所以有 y = Ax + . 即 f (x) 在点 x 处可导，且 A = f (x).

  6. 反之，因 f (x) 在 x 处可导， 即 从而有 (这是根据极限与无穷小的关系得出的). 得 y = f (x)x +x. 且 所以，函数 f (x) 可微. dy = f (x)x 或 dy = f (x)dx . ①

  7. 　　 函数 f (x) 在 x 处可微的充要条件是函数 f (x) 在 x 处可导. 上述定理可叙述为： ① 式也可以写为

  8. 例2　求函数 y = 2ln x在x 处的微分，并求当 x = 1 时的微分(记作dy | x = 1). 解　因为 所以

  9. y y=f (x) M T dy P N N N a x O 二、微分的几何意义 　　如图所示， PN = dx， NM = y， NT = PNtan = f (x)dx， 所以 dy = NT， 即函数 y = f (x) 的微分 dy 就是曲线 y = f (x) 在点 P处切线的纵坐标在相应处 x 的增量， 　　　　　　 而 y 就是曲线 y = f (x) 的纵坐标在点 x 处的增量 . M T P N x +x x

  10. 三、微分的基本公式及其运算法则 1.基本初等函数的微分公式 x-1dx. dx= 0. dc = dex= exdx. dax= axlnadx. dsin x = cos xdx. dcos x = - sin xdx. dtan x = sec2xdx. dcot x = - csc2xdx. sec xtan xdx. dcsc x = - csc xcot xdx. dsec x =

  11. 2.微分的四则运算 定理2设函数u、v可微， 则 d(u v) = du  dv. d(uv) = udv +vdu.

  12. 证　上述三个公式证法均类似， 我们只证第二个， 其余由读者作为练习自证之. d(uv) = (uv) dx = (uv+vu )dx = uvdx +vudx . 因为 vdx =dv， u dx = du. 所以有 d(uv) = udv+vdu. 推论1当 v为常数 c 时，则 d(cu) =cdu. 推论2当 v= 1时， 则

  13. 例3　设 y = 3ex–tanx， 求 dy . 解 dy = d(3ex) – dtan x = 3dex –sec2 xdx = 3exdx– sec2 xdx = (3ex – sec2x) dx . 例4　设 y = excos x，求 dy . dy = d(excos x) = ex dcosx + cos xdex 解 = ex (cosx - sin x)dx .

  14. 例5 求 dy . 解

  15. 3.复合函数的微分 定理3设函数y = f (u)， u =  (x) 均可微， 且 则y = f ( (x)) 也可微， dy =f (u)  (x) dx .

  16. 由于du =  (x) dx， 所以上式可写为 dy = f (u) du . 它与 y = f (x) 的微分 dy = f (x)dx 形式一样，这叫一阶微分形式不变性. 从上式的形式看， 其意义是：不管 u 是自变量还是中间变量，函数 y = f (u) 的微分形式总是 dy = f (u)du .

  17. 例6　设 y = sin(2x)，求微分 dy . 解　利用微分形式不变， 有 dy = cos 2x d(2x) = 2cos 2xdx .

  18. 例7　设 y = e-3x cos 2x，求 dy . 解 dy = d(e-3x cos 2x) = e-3x dcos 2x + cos 2xde-3x = -e-3x sin 2xd(2x)+ e-3x cos 2xd(-3x) = -e-3x (2sin 2x + 3cos 2x)dx ， 由此也可知 y  = -e-3x (2sin 2x + 3cos 2x) .

  19. 四、微分在近似计算中的应用 当 | x | 很小时(记作| x | << 1)， 有 y  dy . 即 f (x0+x) -f (x0)f (x0) x， f (x0+x) f (x0)+f (x0) x， 或 f (x) f (x0) +f (x0)(x - x0).

  20. 例8　一个充好气的气球，半径为 4 m. 升空后，因外部气压降低气球半径增大了10 cm， 问气球的体积近似增加多少？ 解　球的体积公式是 当 r 由 4 m 增加到 4 + 0.1 m ， v的增加为 v 时， v dv. 而 dv= vdr = 4r2 dr， 即 v 4r2 dr . 此处 dr = 0.1，r = 4. 代入上式得体积近似增加了 v 4  3.14  42  0.1  20 (m3) .

  21. 例9　计算 cos 3012  的近似值. 解　选函数 f (x) = cos x， f (x) = - sin x， 代入公式 f (x0) = cos 30， f (x) f (x0) + f (x0)(x -x0) ， 得

  22. 例11　试证当 |h| << 1 时， eh 1 +h . 证　选函数 f (x) = ex，x0 = 0， f (x) = ex， 则x = h. f (0) = 1， f (0) = 1， 代入公式 f (x)  f (x0) +f (x0) (x - x0) ， 有 eh 1 + 1 · (h - 0)= 1 +h .

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