博士たちの愛する素数

博士たちの愛する素数 Mathematics that the professor loved 徳山　豪東北大学 Prime numbers that professors love

素数の魅力 • 素数：１と自分以外の約数を持たない自然数 • 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37． • 無数にあるか？どのくらいの頻度であるか？ • 素数分布定理 • 素数の判定法はあるか？ • 因数分解の不思議　 • 素数を法とする数の世界：　有限体の世界

古くて役に立つ数論 • 百五減算：　塵劫記（吉田光由、１６２７）碁石がいくつかあります。７個づつに分けると２個余ります。５個づつに分けると１個余ります。３個づつに分けると１個余ります。　碁石はいくつありますか？　ただし、碁石は最大で１８０個しかありません。

中国人剰余定理（Chinese reminder theorem) 互いに素な数n1,n2,..nkの積ｎを考える。 ni未満の非負整数miを任意に与える。 ⇒ m≡mi (mod ni)i=1,2,..,k　を満たすｎ未満の非負整数ｍは必ず１つだけ存在する孫子（BC５世紀）に名前の由来があるらしい百五計算と同等、ユークリッド（BC３世紀）の互助法を利用して計算できる。

数のべき乗の不思議 • 徳山が子供のころ見つけたこと • １から９までの数のべき乗の１の桁には面白いルールがある。　なぜだろう？ • １　２　３　４　５　６　７　８　９ • １　４　９　６　５　６　９　４　１ • １　８　７　４　５　６　３　２　９ • １　６　１　６　５　６　１　６　１　 • １　２　３　４　５　６　７　８　９

素数判定と乱数 • 　与えられた数が素数であるかどうかの判定 • 　フェルマテスト • p　が素数なら、すべての数a< p について • ap-1 –1 はpで割り切れる • ｐが普通の数だと、確率1/2以下でしか成り立たない • フェルマテストにパスしないものは素数でない • パスしたら、素数か、「カーマイケル数」　 • 素数のみを選び出すにはどうするか？ • ラビンテスト • 少し簡単なバージョン（ここではこちらを紹介）

素数判定アルゴリズム • ランダムにa<p を１００個選ぶ。 • a（p-1）/2 (mod p)を計算する • 結果が１またはp-1でなければ素数でない • 全部1になったら、素数でない • テストにパスしたら、他の数のべき乗かどうか調べる • べき乗になっているかどうかは手軽にわかる • 全てパスすれば素数

フェルマの小定理 • 定理１：　自然数ｂ＜ｐに対して、ｂｐ－１のｐでの剰余は１になる（１と合同という） • 証明：　（１＋ｘ）ｐを展開してみよう • 定理２　　ｂ（p-1）/2は１または－１と合同である。また、－１になる数はｐ未満の自然数全体の半数である • 証明：　１．方程式の解の数を考えよう　　　ｘ (p-1)/2 = 1 の解は(p-1)/２個しかない

フェルマの小定理が成立するのは素数だけか？フェルマの小定理が成立するのは素数だけか？ • オイラーの定理　任意の自然数ｎと、ｎと互いに素な自然数ｂに対して　　　　　　はオイラー関数ｎ以下の、ｎと互いに素な数の個数　オイラー関数の値がｎ－１になるのは素数だけ。 n = pqr なら(p－１)(q－１)(r－１)となる

フェルマの小定理が成立するのは素数だけか？フェルマの小定理が成立するのは素数だけか？　奇数素数の積　ｎ＝ｐｑｒと、ｎと互いに素な自然数ｂに対して　　とすると、 n = 3 x 11 x 17　＝５６１　だと？(カーマイケル数）素数判定のアイデア：　カーマイケル数だと、(n-1)/２乗で１になってしまう

素数判定アルゴリズムの正当性 • 定理　(素数判定定理）　奇数の合成数ｎが、素数のべき乗でないとき、 a(n-1)/2≡　-１になるaが存在すれば、 a(n-1)/2が1,-1以外になる数が存在する。　また、そのような数の個数は(n-1)/2以上中国人剰余定理を利用して証明しよう

証明 • a(n-1)/2≡　-１ mod n • n = pe m = km • 中国人剰余定理から、次のようなｂが存在 • b ≡　a mod k • b ≡　1 mod m • b (n-1)/2≡　-1mod k • b (n-1)/2≡　1 mod m • b (n-1)/2 mod n は1でも-1でもない

素数判定アルゴリズムの正当性 • フェルマの小定理と素数判定定理から、 a(n-1)/2のｎでの剰余を計算して • 　１または-１でなければ、ｎは必ず合成数 • 　　毎回１なら、高い確率で素数でない • 　　１とー１が混ざれば、高い確率で素数

素数判定アルゴリズムの正答率 • 　素数であり、テストをパスしない確率は？ • 　１００個のaで全てa (p-1)/2 = 1 • 確率　1/２100 • 合成数であり、テストをパスしてしまう確率は？ • a で-１になるものがあり、１００個のaで全て１かー１になる • 確率1/２100

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