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Master MPRI Rappels : dualité de la programmation linéaire

Master MPRI Rappels : dualité de la programmation linéaire. Michel de Rougemont http://www.lri.fr/~mdr mdr@lri.fr. Programmation linéaire et dualité. Simplex Principe de Dualité Dual et Primal. Théorème du Minimax Faisabilité et impossibilité Complémentarité Interprétation économique

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Master MPRI Rappels : dualité de la programmation linéaire

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Presentation Transcript

  1. Master MPRIRappels : dualité de la programmation linéaire Michel de Rougemont http://www.lri.fr/~mdr mdr@lri.fr

  2. Programmation linéaire et dualité • Simplex • Principe de Dualité • Dual et Primal. • Théorème du Minimax • Faisabilité et impossibilité • Complémentarité • Interprétation économique • Simplex révisé

  3. Introduction au Simplex • Résolution d’un système linéaire de maximisation: • Introduction de variables d’écart • Solution initiale • Itération pour augmenter la valeur de la solution. • Terminaison

  4. Exemple d’itération

  5. Itérations possibles Augmentons Les contraintes sont : Nouvelle solution:

  6. Nouveau système Substituons

  7. Itération 2 Augmentons Les contraintes sont: Nouveau système: La valeur z ne peut plus être augmentée: optimum.

  8. Méthode générale • Mise sous forme normale. • Itération: • Choix d’un pivot qui augmente la solution. • Détection de l’optimum ou d’infaisabilité • Problèmes possibles: • Solution non bornée • Infaisabilité • Cycles • Solution initiale

  9. Difficultés du Simplex • Initialisation : peut-on toujours trouver une solution initiale? • Itération : peut-on toujours itérer? • Terminaison : les itérations terminent-elles toujours?

  10. Interprétation géométrique • Contrainte sur n variables : hyperplan de dimension n • Dimension 2 : droites • Dimension 3 : plans

  11. Interprétation géométrique X1 rentre X5 sort

  12. Interprétation géométrique X2 rentre X3 sort

  13. Interprétation géométrique X5 rentre X4 sort

  14. Interprétation géométrique Optimum

  15. Difficultés d’itération • Itération : peut-on toujours itérer? • Solution non bornée • Itération dégénérée • Cycle • Solution non bornée: entre dans la base : seule borne est Solution z arbitraire !

  16. Itération dégénérée entre dans la base. Seule contrainte est: sort de la base (au choix). On obtient:

  17. Itération dégénérée Solution dégénérée car Equation 2 impose:

  18. Itération dégénérée Solution identique à la précédente! L’itération est dégénérée. Remarque: l’itération suivante est aussi dégénérée et la suivante est optimale.

  19. Cycles

  20. Cycles

  21. Cycles Chaque itération est dégénérée.

  22. Initialisation Solution faisable, Dictionnaire faisable? Problème auxiliaire:

  23. Initialisation Infaisable: Pivot : Faisable:

  24. Initialisation Pivot : Optimum : Dictionnaire d’origine:

  25. Initialisation générale • Etape 1 : • Etape générale : simplex • Terminaison:

  26. Interprétation géométrique de l’initialisation • Le point (0,0,…0) n’est pas dans le polytope. • Trouver un autre point en ajoutant -x0 pour être sur de trouver une solution.

  27. Interprétation géométrique de l’initialisation • Contraintes sont:

  28. Interprétation géométrique de l’initialisation • Ecrire les contraintes avec x0

  29. Interprétation géométrique de l’initialisation • Ecrire les contraintes avec x0

  30. Interprétation géométrique de l’initialisation • Dictionnaire infaisable: x0 entre et x4 sort (b minimum)

  31. Interprétation géométrique de l’initialisation • Dictionnaire : x1 rentre et x0 sort Optimum X0=0 donc faisable

  32. Interprétation géométrique de l’initialisation • Dictionnaire global

  33. Simplex à deux phases • Phase 1 : résolution du problème auxiliaire. • Phase 2 : résolution du problème original. • Théorème fondamental. • Pour chaque problème LP: • Soit le problème est infaisable • Soit le problème n’est pas borné • Soit le problème a une solution optimale

  34. Simplex révisé Représentation compacte d’un dictionnaire. Forme Matricielle:

  35. Bases de la Dualité Estimation de z > a z>5 avec (0,0,1,0) z>22 avec (3,0,2,0) …. Estimation de z <b ? Quel est le témoin?

  36. Dualité : z < b Montrons que z <275/3 2nd contrainte . 5/3 Donc z <275/3

  37. Dualité 2nd contrainte +3ème contrainte Donc z <58 Méthode systématique.

  38. Dualité : méthode Conditions pour que le membre gauche >

  39. Dualité On obtient donc le système dual:

  40. Remarques générales Problème Primal de Maximisation donne un problème Dual de minimisation. A l’optimum:

  41. Théorème de dualité Préliminaires: relations entre variables d’écart et variables duales x3 rentre et x7 sort

  42. Théorème de dualité Itération 2: x4 rentre et x5 sort. Après plusieurs itérations:

  43. Préliminaires au théorème de dualité Variables d’écart: x5, x6, x7 liées aux variables duales y1, y2, y3 La solution z= 29 ……..-11x5 +0.x6 –6.x7 donne la solution optimale du dual: y1=11, y2=0, y3=6 !!!

  44. Interprétation géométrique du dual • Primal

  45. Formulation en primal

  46. Dual • Problème de minimisation

  47. Solution du Dual

  48. Solution du Dual y0 entre et y4 sort

  49. Solution du Dual y1 entre et y5 sort y3 entre et y0 sort

  50. Dual y0=0 solution initiale Minimum=6

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