数据库系统概论 An Introduction to Database System 第 6 章关系数据理论

数据库系统概论 An Introduction to Database System 第6章关系数据理论

第6章关系数据理论 6.1 问题的提出 6.2 规范化 6.3 数据依赖的公理系统 *6.4 模式的分解

6.3 数据依赖的公理系统 • 函数依赖的推导公理（Armstrong公理） • 函数依赖与属性关系 • 闭包及其计算 • 函数依赖集的最小集 • 候选关键字的求解理论和算法

五、候选关键字的求解理论和算法 对于给定的关系R（A1，A2，…，An）和函数依赖集F，属性分为四类： L类：仅出现在F的函数依赖左部的属性 R类：仅出现在F的函数依赖右部的属性 N类：在F的函数依赖左右两边均未出现的属性 LR类：在F的函数依赖左右两边均出现的属性

1、快速求解候选关键字的一个充分条件 • 定理1 对于给定的关系模式R和函数依赖集F，若X（X∈R）是L类属性，则X必为R的任一候选关键字的成员。 • 推论1 对于给定的关系模式R和函数依赖集F，若X（X∈R）是L类属性，且X+包含了R的全部属性，则X必为R的唯一候选关键字。

1、快速求解候选关键字的一个充分条件 [例] 设关系模式R（A，B，C，D），函数依赖集F={D→B，B→D，AD→B，AC→D} 求R的所有候选关键字。解：考察F发现，A，C两属性是L类属性，由定理1可知，AC必是R的任一候选关键字的成员，又因为(AC)+=ACDB，由推论1可知，AC是R的唯一候选关键字。

1、快速求解候选关键字的一个充分条件 • 定理2对于给定的关系模式R和函数依赖集F，若X（X∈R）是R类属性，则X不在任何候选关键字中。 • 定理3对于给定的关系模式R和函数依赖集F，若X（X∈R）是N类属性，则X必为R的任一候选关键字的成员。 • 推论2对于给定的关系模式R和函数依赖集F，若X（X∈R）是L类和N类组成的属性集，且X+包含了R的全部属性，则X必为R的唯一候选关键字。

1、快速求解候选关键字的一个充分条件 [例] 设关系模式R（A，B，C，D，E，P），函数依赖集F={A→D，E→D，D→B，BC→D，DC→A} 求R的所有候选关键字。解：考察F发现，C，E两属性是L类属性，由定理1可知，CE必是R的任一候选关键字的成员，又P是N类属性，故由定理3可知，P也必是R的任一候选关键字的成员。又因为(CEP)+=CEPDAB，所以由推论2可知，CEP是R的唯一候选关键字。

2、左边为单属性的函数依赖集的候选关键字成员图论判定方法2、左边为单属性的函数依赖集的候选关键字成员图论判定方法定义：函数依赖图G是一个有序二元组（R，F），记作 G=（R，F）其中：（1）R=（A1，A2，…,An）是一个有限非空集， Ai (i=1,2,…,n)是G的结点，他们表示对应关系模式R=（A1，A2，…,An）的属性。（2）F是G的边集，每条边表示一个函数依赖Ai→Aj，则F是R的单属性最小依赖集

A3 A1 A2 A5 A4 2、左边为单属性的函数依赖集的候选关键字成员图论判定方法 • 术语： • 引入线/引出线： • 原始点：只有引出线的结点（L类属性） • 终结点：只有引入线的结点（R类属性） • 途中点：既有引入线又有引出线的结点（LR类属性） • 孤立点：既无引入线又无引出线的结点（N类属性） • 关键点：原始点和孤立点统称为关键点 • 关键属性：关键点对应的属性 • 独立回路：不能被其他结点到达的回路

2、左边为单属性的函数依赖集的候选关键字成员图论判定方法2、左边为单属性的函数依赖集的候选关键字成员图论判定方法 • 定理4关系模式R的函数依赖图G中若存在关键结点，则关键结点对应的属性必在R的任何候选关键字中，而所有终结点必不在R的任何候选关键字中。 • 定理5属性集X是R的唯一候选关键字的充要条件是X为能到达G中任一结点的关键属性集。 • 推论3在单属性情况下，R具有唯一候选关键字的充要条件是G中不存在独立回路。 • 定理6设Y是途中点，则Y必在某个候选关键字中的充要条件是Y为某一个独立回路中的结点。

2、左边为单属性的函数依赖集的候选关键字成员图论判定方法2、左边为单属性的函数依赖集的候选关键字成员图论判定方法定理7 设F是单属性依赖集，R的关键属性集X不能到达G中的某些结点，G中存在k(k≥1)个独立回路r1,r2,…,rk,各回路的结点集分别为： AA1={A11，A12，…,A1n1} AA2={A21，A22，…,A2n2} AAk={Ak1，Ak2，…,Aknn} 其中Aij (i=1,2,…,k;j=1,2,…,n)都是R的属性则：（1）R的候选关键字必不唯一（2）R的每个候选关键字均由两部分组成： • 关键属性集X（包括X为空） • k个独立回路中，每个独立回路任选一个点作为候选关键字的成员，候选关键字的集合Y是AA1，AA2，…,AAk的笛卡儿积。（3）候选关键字的个数等于各独立回路中结点个数的乘积，即： M=n1×n2×…×nk （4）每个候选关键字所含属性个数是一个常数，它等于关键属性个数|X|加上独立回路个数，即 N=|X|+k

算法：单属性依赖集图论求解法 输入：关系模式R，R的单属性依赖集F 输出：R的所有候选关键字方法：（1）求F的最小依赖集F’。（2）构造函数依赖图FDG。（3）从图中找出关键属性集X（X可为空）。（4）查看G中有无独立回路，若无则输出X，即为R的唯一候选关键字，转（6）；若有则转（5）。（5）从各回路中各取一结点对应的属性与X组合成一候选关键字，并重复这一过程取尽所有可能的组合，即为R的全部候选关键字。（6）结束。

S D I B Q O 单属性依赖集图论求解法例：设R=（O，B，I，S，Q，D） F={ S→D，D→S，I→B，B→I，B→O，O→B } 求R的所有候选关键字。解：（1）F’=F={ S→D，D→S，I→B，B→I，B→O，O→B } （2）构造FDG （3）关键属性集{Q} （4）有两条独立回路，SDS，IBOBI 共有候选关键字M=2×3=6个每个候选关键字有N=1+2=3个属性（5）R的所有候选关键字为：QSI，QSB，QSD，QDI，QDB，QDO

3、多属性依赖集候选关键字求解法 输入：关系模式R及其函数依赖集F 输出：R的所有候选关键字方法：（1）将R的所有属性分为L，R，N和LR四类，并令 X代表L，N两类属性，Y代表LR类属性。（2）求X+，若X+包含了R的全部属性，则X即为R的唯一候选关键字，转（5）；否则，转（3）。（3）在Y中取一属性A，求（XA）+。若它包含了R的全部属性，则转（4）；否则，调换一属性反复进行这一过程，直到试完所有Y中的属性。（4）如果已找出所有候选关键字，则转（5）；否则在Y中依次取两个，三个，…，求他们的属性闭包，直到其闭包包含R的全部属性。（5）停止，输出结果。

3、多属性依赖集候选关键字求解法 例：R（X，Y，Z，W） F={ W→Y，Y→W，X→WY，Z→WY，XZ→W } 求R的所有候选关键字。解：（1）考察F发现，X，Z属性为L类属性，Y，W为LR类属性（2）所以，计算（XZ）+=XYZW 包含了R的全部属性，因此XZ为R的唯一候选关键字。

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