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龍華科技大學 機械工程系 微積分 （ 一 ） 網路教學 　　　　李瑞貞老師

龍華科技大學 機械工程系 微積分 （ 一 ） 網路教學 　　　　李瑞貞老師. 課程大綱 第一章 極限與連續性 1.1 極限的定義與基本性質 1.2 單邊極限 1.3 無窮極限 1.4 連續性. 第二章 導數與不定式 2.1 導數與可微分 2.2 函數導數的基本公式 2.3 高階導數與隱函數的導數 2.4 三角函數與反三角函數的導數 2.5 指數函數與對數函數的導數 2.6 不定式. 第三章 導數的應用 3.1 切線與法線方程式

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  1. 龍華科技大學 機械工程系 微積分（一）網路教學 　　　　李瑞貞老師

  2. 課程大綱 第一章 極限與連續性 1.1 極限的定義與基本性質 1.2 單邊極限 1.3 無窮極限 1.4 連續性

  3. 第二章 導數與不定式 2.1 導數與可微分 2.2 函數導數的基本公式 2.3 高階導數與隱函數的導數 2.4 三角函數與反三角函數的導數 2.5 指數函數與對數函數的導數 2.6 不定式

  4. 第三章 導數的應用 3.1 切線與法線方程式 3.2 極值的定義 3.3 函數的圖形 3.4 極值的應用題與相關變率 3.5 微分符號的應用

  5. 第四章 多變數函數的微分學 4.1 極值與連續性 4.2 偏導數與微分 4.3 鏈導法則與隱函數的導數 4.4 二變數函數的極值

  6. 第一章 極限與連續性 §1.1 極限的定義與基本性質 考慮一邊長為的正方形，如圖1.1.1 所示，則其面積 為邊長 的函數，即

  7. 我們仔細觀察二者的變化關係如下表所示: 4 4.5 4.9 4.99 5 5.01 5.1 5.5 6 16 20.25 24.01 24.90 25 25.10 26.01 30.25 36 由上表得知，當 趨近於 5 時，則 趨近於 25， 因此我們說當 趨近於 5 時， 的極限值等於 25， 我們用 表示之。

  8. 因此，對於任何函數 ，當 的值趨近於 ( 但不等於 ) 時，若 的值趨近 ，則我們寫作 為了提到“極限值”這個名詞，我們特別使用“趨近 於”(close) 這個語句去詮釋，事實上，我們亦可用“大 約、大概、逼近於……”等語句來解釋“極限值”這個名詞上 所代表的意義。

  9. 定義1.1.1 極限值 ( limit ) ■

  10. 定理1.1.1 極限值的基本定理 (1) 極限性的唯一性:若存在，則其值必 為唯一。 (2)為實數常數。 (3)若 且 (與為實數常 數)，則 (a) (b) (c) 且

  11. (d) 為實數常數。 (e) 當 為偶數正整數時則恆需 。 (f)

  12. 例1. 試用趨近的觀念求下列各極值 (1)(2) (3) 設試求 解: (1) ■ (2) ■ (3) 但■

  13. 例2. 試利用通分與約分的技巧求下列各極值 (1) (2) (3)

  14. 解: (1) ■ (2) 原式 ■

  15. (3) 原式 ■

  16. 例3: 試利用有理化的技巧求下列各極值 (1) (2)

  17. 解: (1) ■

  18. (2) ■

  19. 定理1.1.2 極限的不等式 若 與 且 則□

  20. 定理1.1.3 三明治定理 ( 挾擠定理 ) 若 且 存在，則 ， 為實數常數 □

  21. § 1.2 單邊極限 定義1.2.1 單邊極限 (1)左極限: (2)右極限: ■

  22. 定理1.2.1 極限的存在定理 □ 例1. 試求下列各極限值 (1)(2) (3)(4)

  23. 解: (1) 不存在 不存在■

  24. (2) 不存在 ■

  25. (3) 不存在 ■

  26. (4) 不存在 ■

  27. 例2. 試求下列各極限值 (1) (2) 解: (1) 不存在 ■

  28. (2)無意義 (即不存在) 不存在 ■

  29. §1.3 無窮極限 定義1.3.1 無窮極限 ( infinite limits ) (1) (2) (3)

  30. (4) (5) (6) (7) (8)

  31. (9) (10) ■

  32. 定義1.3.1 在 或 的極 限值 (1) (2) ■

  33. 例1. 試求下列各極限值 (1) (2) 解：原式 ■

  34. (2) 原式 ■

  35. § 1.4 連續 定義1.4.1 連續 ( Continuity ) 函數 在 連續 ■ 由定義得知，若函數 在 連續，則必須滿足 下列三個條件: (1) 函數值 存在 ( 即 必在函數 的定義域內)， (2) 極限值 存在，亦即極限值 且 成立， (3) ( 即“極限值等於函數值”)。

  36. 定義1.4.2 左連續、右連續 (1) 函數 在 為左連續 : (2) 函數 在 為右連續 : █ 定義1.4.3 若函數 在 連續， I，則稱函數 在區間 I 內連續。 ■

  37. 定理1.4.1 若函數 在 內連續，而且 與 存在，則函數 在 內連 續。 □

  38. 下面幾個例子即是函數 在 不連續的情況:

  39. 例1. 試討論下列各函數的連續性 (1) (2) (3) (4)

  40. 解: (1) 的定義域，即函數值 存在。 即 在 不連續，但在 處均 連續。

  41. (2) 的定義域即函數值 存在 即 在 為連續，在 處亦連續。

  42. (3) 的定義域即函數值 不存在 在 不連續，但在 處均連續。

  43. (4) 的定義域即函數值 存在 存在 不 不連續，但在 在 處均連續。

  44. 定理1.4.2 連續的基本性質 (1) 若 與 在 均為連續函數，則 與 與 以及 為常數 且 在 均為連續函數。 (2) 若 在 連續，且 在 連續， 則 在 連續。 (3)多項式函數、有理函數與三角函數、指數函數、對 數函數、雙曲線函數等超越函數在它們的定義域內 均為連續函數。 □

  45. 例2. 試求下列各題; (1) 設 為連續函數，試求 值。 (2) 設 為連續函數，試求 值。

  46. 解: (1) 且 又 為連續函數 即 ■

  47. (2) 且 與 又 為連續函數 即 ■

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