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9.5 乘幂法

9.5 乘幂法. 乘幂法是适用于求一般矩阵按模最大特征值及相应特征向量的算法. 9.5.1 求 按模最大特征值和特征向量的乘幂法. 设 A 是 n 阶矩阵，其 n 个特征值按模从大到小排序为. 又假设关于 λ 1 ，λ 2 ，…，λ n 的特征向量 v 1 ，v 2 ，…，v n 线性无关. 任意取定初始向量 x 0. 建立迭代公式 ：. …………. 因为. 故当 k→∞ 时， x k →λ 1 k a 1 v 1. 因此， x k 可看成是关于特征值 λ 1 的近似特征向量.

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9.5 乘幂法

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  1. 9.5 乘幂法 乘幂法是适用于求一般矩阵按模最大特征值及相应特征向量的算法.

  2. 9.5.1 求按模最大特征值和特征向量的乘幂法 • 设A是n阶矩阵，其n个特征值按模从大到小排序为 又假设关于λ1，λ2，…，λn的特征向量 v1，v2，…，vn线性无关.

  3. 任意取定初始向量x0 建立迭代公式 ： …………..

  4. 因为 故当k→∞时， xk→λ1ka1v1. 因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量 有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不 为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可 能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢）

  5. 因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量xk进行“规范化”。迭代格式改为因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量xk进行“规范化”。迭代格式改为

  6. 对任意给定的初始向量x0 类似地

  7. 当1>0时 当1<0时

  8. 按模最大特征值λ1及其相应的特征向量v1的乘幂法的计算公式：按模最大特征值λ1及其相应的特征向量v1的乘幂法的计算公式：

  9. 9.7 QR方法 QR方法在特征值计算问题的发展上具有里程碑意义。在1955年的时候人们还觉得特征值的计算是十分困扰的问题，到1965年它的计算——基于QR方法的程序已经完全成熟。直到今天QR方法仍然是特征值计算的有效方法之一。

  10. 9.7.1 两个基本定理 定理9.7.1设A是n阶矩阵，其n个 特征值为 .那么存在一个酉矩阵U，使 UＨAU是以为 对角元的上三角矩阵. 定理9.7.2设A是n阶实矩 阵，那么，存在一个正交矩阵Q，使QＴAQ为一个准上三角矩阵，它的对角元是A的一个特征值，对角元上的二阶块矩阵的两个特征值是A的一对共轭复特征值.

  11. 9.7.2 相似约化为上Hessenberg矩阵 对一般n阶矩阵，QR算法的每一个迭代步需要O(n３)次乘法运算.如果矩阵阶数稍大，这个算法几乎没有实际的应用价值. 通常采用的方法是先将矩阵相似约化为上Hessenberg形式的矩阵，在此基础上应用QR迭代.这时，一个QR迭代步的乘法运算次数只需O(n２）次.

  12. 所谓上Hessenberg矩阵是指一个n阶矩阵A，如果当i>j+1时，aij=0，称A为上Hessenberg矩阵.例如：一个5阶的上Hessenberg矩阵具有如下的形式： 下面介绍QR方法时，都假设矩阵A是一个上Hessenberg矩阵.

  13. 9.7.3 QR算法 • 设A是n阶矩阵且有QR分解A＝QR，(2) 这里，Q是酉矩阵，R是上三角矩阵.如果A是满秩并规定R有正对角元，这个分解是惟一的.

  14. QR方法是1961年由作者J.G.F.Francis和 V.N.Kublanovskaya设计的 设A是n阶矩阵且有QR分解A＝QR， 这里，Q是酉矩阵，R是上三角矩阵.如果A是满秩并规定R有正对角元，这个分解是惟一的. QR分解是QR算法的基础

  15. 一、QR算法的基本思想 • 记A＝A１且有A１＝Q 1R1.将等号右边两个矩阵因子的次序交换，得A２＝R１Q１，且 ，(3) 即A２～A１. 不难证明: 即Ak+1～Ak～…～A１，矩阵序列｛Ak｝有相同的特征值. 记

  16. 容易得到 是Ak的一个QR分解 如果A是一个满秩的上Hessenberg矩阵，可以证明，经过一个QR迭代步得到的A2＝Q－１１A1Q１仍然是上Hessenberg矩阵. 因为上Hessenberg矩阵次对角线以下的元素全为0，因此，只要证明，当k→∞时，由迭 代格式(4)产生的矩阵Ak的次对角元趋向于零就可以了.

  17. 二、 QR算法的收敛性 • 定理9.7.3设n阶矩阵A的n个特征值满足|λ１|>|λ２|>…>|λn|>0，其相应的n个线性无关特征向量为x1，x2，…，xn. 记X＝(x1,x2,…,xn), Y= X－１.如果Y存在LU分解，那么，由(4) 式产生的矩阵Ak基本收敛于上三角矩阵R.这里，基本收敛的含义指｛Ak｝的元素中除对角线以下的元素趋于零外，可以不收敛于R的元素.

  18. 三、 QR算法的迭代过程 • 1. 一个QR迭代步的计算 ①对l=1，2，…，n-1，构造n-1个平面旋转矩阵Pl,l+1,使A1的次对角元全部零化，实现A1的QR分解的计算， 这里,

  19. ②用Pl,l+1右乘(24)，所得结果也放回矩阵A相应的元素中.②用Pl,l+1右乘(24)，所得结果也放回矩阵A相应的元素中.

  20. 2. QR算法的迭代控制 • 当迭代步数k充分大时，由迭代格式(4)产生的Ak的次对角元趋于0.在 实 际计算中，控制迭代次数常用的一种办法是，预先给定一个小的正数ε，在一个迭代步的计 算结束后，对l=n-1, n-2,…，1，依次判别次对角元的绝对值是否满足  或更严格的准则是 或不太严格的准则是 如果上面三个不等式中有一个成立， 把 看做实际上为零.

  21. 9.7.4 带原点位移的ＱＲ算法 • 由ＱＲ算法收敛性证明可以看出，ＱＲ算法的收敛速度 依赖于矩阵相邻特征值的比 值.为了加快算法的收敛速度，在迭代过程中，对矩阵Ak确定一个原点位移量sk，称Ak-skI为带原点位移量的矩阵，再对Ak-skI应用ＱＲ算法.这时，迭代格式改为 称为带原点位移的QR算法

  22. 对称矩阵 三对角矩阵 对角矩阵 一般矩阵 上Hessenberg矩阵 上三角矩阵 计算特征值问题的QR方法，实际上总是分成2个阶段：

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