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目录（ 数理逻辑）

目录（ 数理逻辑）. 第一章 命题演算基础 （ 5 学时） 第二章 命题演算的推理理论（ 5 学时） 第三章 谓词演算基础（ 5 学时） 第四章 谓词演算的推理理论（ 5 学时） 第五章 递归函数论（ 4 学时）. 什么是计算 ？. 首先指的就是数的加减乘除； 其次则为方程的求解、函数的微分积分等； 计算在本质上还包括定理的证明推导。 可以说，“计算”是一个无人不知无人不晓的数学概念 。. 什么是计算 ？. 从符号串 12+3 变换成 15 就是一个加法计算。 如果符号串 f 是 x 2 ，而符号串 g 是 2x, 从 f 到 g 的计算就是微分。

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  1. 目录（数理逻辑） 第一章 命题演算基础 （5学时） 第二章 命题演算的推理理论（5学时） 第三章 谓词演算基础（5学时） 第四章 谓词演算的推理理论（5学时） 第五章 递归函数论（4学时）

  2. 什么是计算 ？ 首先指的就是数的加减乘除； 其次则为方程的求解、函数的微分积分等； 计算在本质上还包括定理的证明推导。 可以说，“计算”是一个无人不知无人不晓的数学概念 。

  3. 什么是计算 ？ 从符号串12+3变换成15就是一个加法计算。 如果符号串f是x2，而符号串g是2x,从f到g的计算就是微分。 令f表示一组公理和推导规则，令g是一个定理,那么从f到g的一系列变换就是定理g的证明。 如f代表一个英文句子，而g为含意相同的中文句子，那么从f到g就是把英文翻译成中文。 ——从己知符号(串)开始，一步一步地改变符号(串)，经过有限步骤，最后得到一个满足预先规定的符号(串)的变换。

  4. 可计算函数？ 例1 例2

  5. 可计算性理论的计算模型 递归函数 Turing机 λ演算 POST系统 20世纪30-40年代 丘奇-图灵论点：凡是可计算的函数都是一般递归函数(或是图灵机可计算函数等)

  6. 递归函数论——可计算性理论 递归函数——数论函数，定义域和值域均为自然数。 递归函数论——为能行可计算函数找出各种理论上的、严密的类比物。 有效？

  7. 可计算性理论的研究对象 可计算函数——讨论一个函数是否可计算，建立了原始递归函数、图灵机等许多数学模型，判定一个函数是否属于可计算函数。 判定问题——判定方程是否有解。 计算复杂性——讨论NP=P?问题，即非确定型多项式（Nondeterministic Polynomial）可解问题：是否存在时间和空间复杂度是多项式的有效算法。

  8. 第五章 递归函数论 5.1 数论函数和数论谓词 5.1.1 数论函数 5.1.2 数论谓词和特征函数 5.2 函数的构造

  9. 数论函数 定义：数论函数是指以自然数集为定义域及值域的函数。

  10. 常用的数论函数 x . y x .. y x+y指x与y的和. xy指x与y的积. 指x与y的算术差, 即xy时,其值为x减y,否则为0. 指x与y的绝对差,即大数减小数. 其中x，y均为自然数域中的变元。

  11. 常用的数论函数 [ ] [x/y] rs(x,y) dv(x,y) lm(x,y) 指x的平方根的整数部分。 指x与y的算术商。 指y 除x的余数，约定y=0时，rs(x,0)=x。 指x与y的最大公约数,约定xy=0时,其值为x+y。 指x与y的最小公倍数,约定xy=0时,其值为0。

  12. 本原函数 I(x)函数值与自变量的值相同，称为幺函数。 Imn(x1，…,xn，…，xm)= xn,即函数值与第n个自变元的值相同，称为广义幺函数，也称为投影函数。 O(x)=0即函数值永为0，称为零函数。 S(x)=x+1，此函数为后继函数。 特别地，把广义幺函数、零函数和后继函数称为本原函数，它们是构造函数的最基本单位。

  13. 常用的数论函数 D(x)指x的前驱，称为前驱函数。 当x=0时，其值为0，x>0 时，其值为 x-1。 Ca(x)=a，即函数值永为a，这个函数称为常值函数。

  14. 常用的数论函数 N(Ny)=N2y N3y=Ny Ny+N2y=1

  15. 数论谓词、数论语句 数论谓词——以自然数集为定义域以真假为值域的谓词。 数论语句——由数论谓词利用联结词和量词构成的公式。

  16. 数论语句例子 • 2为质数 • 8>7且9为平方数 • x为质数 • x>7且y为平方数

  17. 特征函数 设A(x1，x2，…，xn)是一个含有n个变量的语句， f(x1，x2，…，xn)是一个数论函数， 若对于任何变元组均有： • A(x1，…，xn)为 真时，f(x1，…，xn)=0； • A(x1，…，xn)为 假时，f(x1，…，xn)=1。 则 f(x1,…,xn)是语句A(x1 ,…, xn)的特征函数， 记为 ct A(x1，x2，…，xn)。

  18. 定理1(p55) 任何一个语句均有唯一的特征函数。 证明： (1) 存在性(略) (2) 唯一性(略)

  19. 定理2 (p55) 如果有一函数f(x1，…，xn)满足下列条件： A(x1，…，xn)为真当且仅当f(x1，…，xn)=0 则 N2 f(x1，…，xn) 为语句A 的特征函数。 准特征函数

  20. 二、简单语句的特征函数 语句 特征函数 x ≠ 0 N x x=0 N2 x x为y的倍数 N2 rs(x，y) x ≤ y x ＜ y N2(x . y) N2((x+1) . y)

  21. 简单语句的特征函数(续) 语句 特征函数 x=0 N2 x x≠0 N x x=a x≠a x与y互质 N2(dv(x,y) .. 1) N2(x .. a) N(x .. a)

  22. 三、复合语句的特征函数 定理1：设A，B为任意两个语句，则有 • ctA=1ctA=NctA • ct(AB)=ctA ctB=min(ctA，ctB) • ct(AB)= N2(ctA+ctB)=max(ctA，ctB) • ct(AB)= ctB NctA • ct(AB)= ctActB

  23. 例1 (p56) x异于0且x为平方数 解：记A: x异于0. A的特征函数为: Nx 记B: x为平方数, B的特征函数为: 于是，A B 的特征函数为：

  24. 例a=1或a=x 解：令C表示“a=1”， D表示“a=x”， 则C的特征函数为N2(a  1) D的特征函数为N2(a  x) 于是CD的特征函数为： ct(CD)= ctCctD = N2(a 1)N2(a x)

  25. 例由a除尽x可推出a=1或a=x 解：令B表示“a除尽x”， C表示“a=1”，D表示“a=x”， 则B的特征函数为N2rs(x，a) C的特征函数为N2(a  1) D的特征函数为N2(a  x) 于是B (CD)的特征函数为： ct(B (CD))= ctCctDNctB = N2(a  1)N2(a  x)Nrs(x，a)

  26. 例2 (p56) x2且 解：令A表示“x2”，其特征函数为 N2(2  x) F表示“由a除尽x可推出a=1或a=x” 其特征函数为： ct(F)= N2(a  1)N2(a  x)Nrs(x，a) 于是原句AF的特征函数为： ct(AF)= max(ctA+ctF) =max(N2(2  x), N2(a 1)N2(a x)Nrs(x，a)) N2(N2(2  x)+ N2(a 1)N2(a x)Nrs(x，a)) 即

  27. 例2 x2且由a除尽x可推出a=1或a=x 解：令A表示“x2”，其特征函数为N2(2  x) B表示“a除尽x”，其特征函数为N2rs(x，a) C表示“a=1”，其特征函数为N2(a  1) D表示“a=x”，其特征函数为N2(a  x) 则原句的特征函数为： ct(A(B(CD))) =N2(ctA+ctCctDNctB) =N2(N2(2  x)+ N2(a 1)N2(a x)Nrs(x，a)) =max(N2(2  x), N2(a 1)N2(a x)Nrs(x，a))

  28. 受限全称量词、受限存在量词 表示对于任何0到n之间的一切x均使得A(x)成立。此量词称为受限全称量词。 表示对于任何0到n之间至少有一个x使得A(x)成立。此量词称为受限存在量词。 定理2：设A(x)为任意一个含有x的语句，则有

  29. 第五章 递归函数论 5.1 数论函数和数论谓词 5.1.1 数论函数 5.1.2 数论谓词和特征函数 5.2 函数的构造

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