Некоторые именные теоремы о треугольниках

1. Некоторые именные теоремы о треугольниках Борд Лиза 10М Учитель: Муравьёва Анна Петровна

2. Теорема Чевы • Три чевианы AA1,BB1,CC1 треугольника проходят через одну точку тогда и только тогда, когда

3. Теорема Менелая • Если точки A1,B1 и C1 лежат соответственно на прямых BC,CA и AB треугольника или на их продолжениях, то они лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда A C1 B1 A1 B C

4. Задача №1 • Доказать, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центроидами противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 3:1, считая от вершин.

5. Задача №1 • Для ∆A1DD2 и прямой AA2по теореме Менелая: • Так как A2– центроид BCD, то • Так как D2 – центроид ABC, то • Поэтому

6. Задача №1 • Проведём теперь медиану CC1и отрезок CC2.Допустим что CC2 пересекает DD2в точке O1. Докажем что О и О1 совпадают. • ∆СС1С2 и прямая DD2=>CO:OC2=3:1 О

7. Задача №1 • Аналогично для ∆АА1А2 и прямой DD2=>AO:OA2=3:1 • Для ∆BB1B2и прямой DD2=>BO:OB2=3:1 • Замечание: Для правильного тетраэдра его центроид является центром вписанных и описанных шара и сферы.

8. Теорема Ван-Обеля • Пусть на сторонах АВ, ВС и АС взяты соответственно точки С1, А1 и В1. Если прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О, то имеет место равенство

9. Доказательство • Построим А2В2ΙΙАВ • ∆OCB2~∆OC1B; ∆OCA2~∆OC1A; • ∆OA2B2~∆OAB => • ∆A2CA1~∆ABA1; ∆CB2B1~∆ABB1=> • Следовательно, А2 С B2 О А1 В1 В С1 А

10. Задача №2 • В каком отношении делятся биссектрисы треугольника точкой их пересечения? • Поэтому, используя теорему Ван-Обеля находим

11. Теорема Стюарта C • Пусть в ∆ABCAB=c, BC=a, AC=b, точка D делит сторону AB на отрезки AD=c1, BD=c2; CD=d. Тогда имеет место равенство b a d α B A c1 D c2 c

12. Доказательство C • Пусть CE – высота в ∆АВС. Тогда cosα=DE/d. • Умножим первое равенство на с2, второе на с1 и сложим • Из этого получаем b a d α B A c1 D E c2 c

13. Задача №3 C • Вычислить биссектрису СС1 ∆АВС по его сторонам АВ=с, АС=b, ВС=а. • Биссектриса СС1 делит сторону АВ на отрезки АС1=с1 и ВС1=с2. Тогда с1+с2=с и ac1=bc2. • Подставим эти равенства в равенство теоремы Стюарта • Отсюда b a c B A С1 c1 c2

14. Спасибо за внимание!

15. Годы жизни • Чева Джованни (1648-1734) – итальянский инженер, гидравлик и геометр. Доказал теорему в 1678 году. • Менелай Александрийский(1 в.) – древнегреческий астроном и математик. Автор работ по сферической тригонометрии. Арабские авторы упоминают также о книге Менелая по гидростатике. • М. Стюарт (Stewart Matthew 1717-1785) – английский математик, опубликовавший теорему в 1746 в труде «Некоторые общие теоремы».