§9.5 对弧长的曲线积分

1. §9.5 对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算

2. 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 • 曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(xy)处的线密度为(xy) • 把曲线弧L分成n个小段s1s2sn(si也表示弧长) • 任取(ii)si 得第i小段质量的近似值(ii)si

3. 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 • 曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(xy)处的线密度为(xy) • 把曲线弧L分成n个小段s1s2sn(si也表示弧长) • 任取(ii)si 得第i小段质量的近似值(ii)si • 整个曲线形构件的质量近似为 • 令max{s1s2sn}0则整个曲线形构件的质量为

4. 如果当max{s1s2sn}0时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作 • 对弧长的曲线积分 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(xy)在L上有界 将L任意分成n个小弧段 s1s2sn(si也表示第i个小弧段的长度) 在每个小弧段si上任取一点(ii)作和 >>>光滑曲线 其中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段

5. 曲线形构件的质量就是曲线积分 的值 • 对弧长的曲线积分 说明 • 对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 • 当函数f(xy)在光滑曲线弧L上连续时 函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(xy)在L上是连续的 • 类似地可以定义函数f(xyz)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分

6. 函数f(xy)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作  • 对弧长的曲线积分 说明 • 如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积 分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 • 例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2则规定

7. 对弧长的曲线积分的性质 • 性质1设c1、c2为常数 则 • 性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2则 • 性质3设在L上f(xy)g(xy)则 特别地 有

8. 二、对弧长的曲线积分的计算 根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(xy)则曲线形构件L的质量为 另一方面 如果曲线L是光滑的 其参数方程为 x(t)y (t) (t) 则曲线形构件L的质量为 提示 曲线形构件L的质量元素为

9. 二、对弧长的曲线积分的计算 根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(xy)则曲线形构件L的质量为 另一方面 如果曲线L是光滑的 其参数方程为 x(t)y (t) (t) 则曲线形构件L的质量为

10. 二、对弧长的曲线积分的计算 • 定理 设f(xy)在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为 x(t)y(t) (t) 其中(t)、(t)在[]上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0 应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限

11. 设曲线 L的参数方程为x(t)y(t) (t)则 讨论 提示 (1)L的参数方程为xxy(x)(axb)

12. 设曲线 L的参数方程为x(t)y(t) (t)则 讨论 提示 (2)L的参数方程为x(y)yy(cyd)

13. (3)若曲线的参数方程为x(t)y(t)z(t)(t) 设曲线 L的参数方程为x(t)y(t) (t)则 讨论 提示

14. B(1 1)之间的一段弧 设曲线 L的参数方程为x(t)y(t) (t)则 解 曲线L的参数方程为xxyx2 (0x1)因此

15. 设曲线 L的参数方程为x(t)y(t) (t)则 例2计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1) 解 取坐标系如图所示 则曲线L的参数方程为 xRcosyRsin () 于是所求转动惯量I为 提示 转动惯量的元素为dIy2dsy2ds

16. 设曲线 L的参数方程为x(t)y(t) (t)则 例2计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1) 解 取坐标系如图所示 则曲线L的参数方程为 xRcosyRsin () 于是所求转动惯量I为

17. xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧 解 在曲线上有 x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2 并且

18. xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧 解 在曲线上有 x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2 并且